第1讲整式的加减 · 章法数学

知识模块 01 · 原讲小节

整式的加减

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

列代数式

“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号代替数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．”

用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别．字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用．

代数式：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子．

单独的一个数或一个字母也是代数式．例如： $5$ ， $a$ ， $\frac{2}{3} (a + b)$ ， $a b$ ， $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 等等．

列代数式：列代数式表示简单的数量关系，实际上是用数学符号语言表达文字语言的一种形式，

其关键是准确理解题意，明确运算顺序和括号的使用方法，这是列方程解应用题的基础．

代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值．
列代数式注意事项：

⑴乘法：

①字母与字母相乘：乘号通常写成 $“ \cdot ”$ 或者省略不写．如 $x \times y$ 应写成 $x \cdot y$ 或 $x y$ ；

②数字与字母相乘：要把数字因数写在字母因数的前面, 且需把带分数化成假分数后再与数字、字母相乘．如 $a \times 4$ 应写成 $4 \cdot a$ 或 $4 a$ ； $a \times 5 \frac{1}{3}$ 应写作 $\frac{16}{3} a$ ；

③数字与数字相乘：用 $“ \times ”$ 而不用 $“ \cdot ”$ ，也不能省略不写．

⑵除号：一般用分数线表示．如 $3 \div m$ 应写成 $\frac{3}{m}$ ；

⑶代数式为和或差的形式时，若需注明单位，应用括号将代数式括起来，后面再写单位．

题目SH-043-001难度 B · 巩固

⑴一个分数的分子是 $x$ ，分母比分子的 $2$ 倍多 $1$ ，则这个分数是；

⑵如果从一卷粗细均匀的电线上截取 $1$ 米长的电线，称得它的质量为 $a$ 克，再称得剩余电线的质量为 $b$ 克，那么原来这卷电线的总长度是；

⑶标价为 $x$ 元的某件商品，按标价八折出售仍盈利 $b$ 元，已知该件商品的进价是 $a$ 元，则标价 $x$ 等于__________元．

题目SH-043-002难度 C · 综合

⑴ $20 %$ 的盐水 $m$ 克，若蒸发掉 $n$ 克水，这时的盐水浓度为；

⑵浓度为 $a %$ 的盐水 $m$ 千克与浓度为 $b %$ 的盐水 $n$ 千克混合后的溶液浓度为．

单项式和多项式

一、整式：单项式和多项式统称为整式．

二、单项式：

定义：数或字母的积，这样的代数式叫做单项式．如 $4 x, v t, 6 a^{2}, a^{3}, - n, 2 π r$ ．

单独的一个数或一个字母也是单项式．

两个概念：

①系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；

②次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．

【知识小结】：

①数字单项式的系数是它本身，次数为 $0$ ．如 $- 7$ 的系数是 $- 7$ ，次数为 $0$ ；

②圆周率 $π$ 是常数．如 $2 π r$ 的系数是 $2 π$ ，次数是 $1$ ； $π r^{2}$ 的系数是 $π$ ，次数是 $2$ ；

③系数是 $1$ 或 $- 1$ 时，通常省略不写，如 $a^{2} b c$ , $- a b c$ 等，系数是带分数时，写成假分数，如 $1 \frac{3}{4} x y^{2}$ 写成 $\frac{7}{4} x y^{2}$ ．

三、多项式：

定义：几个单项式的和叫做多项式．例如： $a^{2} - 2 a b + b^{2}, m n - 3$ 等．

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．

如：多项式 $x^{2} - 3 x + 2$ ，它的项分别是 $x^{2}, - 3 x, 2$ ，常数项是 $2$ ．

两个概念：

①项数：多项式含有的单项式个数；

②次数：多项式里次数最高的项的次数．

两者统称为几次几项式．

如： $x^{2} y - 3 x^{2} y^{2} + 4 x^{3} y^{2} + y^{4}$ 是五次四项式，最高次项是 $4 x^{3} y^{2}$ ．

四、多项式的排列：

降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来叫做这个多项式按这个字母的降幂排列；

升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来叫做这个多项式按这个字母的升幂排列．

（移动多项式的项时，需连该项的符号一起移动；进行多项式的排列时，要先确定按哪个字母的指数来排列．）

注意区分整式和分式：分式看形式，整式看结果．

题目SH-043-003难度 A · 基础

认识单项式：

⑴判断下列各代数式中，哪些是单项式，并写出各单项式的系数和次数．

	$\frac{2}{3} x y^{2}$	$- a$	$\frac{a}{b c}$	$\frac{m n}{2} + 3$	$2^{5} t^{7}$	$- 3 a^{2} b^{3} c$	$2 + π$	$- \frac{x}{π}$
是/否
单项式的系数
单项式的次数

⑵判断下面各题是否正确:

① $- 7 x y^{2}$ 的次数是 $3$ ；

② $- x^{2} y^{3}$ 与 $x^{3}$ 没有系数；

③ $- a b^{3} c^{2}$ 的次数是 $0 + 3 + 2$ ；

④ $- a^{3}$ 的系数是 $- 1$ ；

⑤ $- 3^{2} x^{2} y^{3}$ 的次数是 $7$ ；

⑥ $\frac{1}{3} π r^{2} h$ 的系数是 $\frac{1}{3}$ ；

⑦ $\frac{x - 5}{2}$ 是单项式．

⑶若 $- \frac{m}{4} x^{m - 1} {y^{n}}^{- m}$ 是系数为 $- 1$ 的五次单项式，求 $m ， n$ 的值．

题目SH-043-004难度 B · 巩固

⑴若单项式 $(n - 2) x^{2} y^{| 1 - n |}$ 是关于 $x 、 y$ 的三次单项式，则 $n =$ ；

⑵若多项式 $5 x^{2} y^{| m |} + (n - 3) y^{2} - 2$ 是关于 $x 、 y$ 的四次二项式，则 $m^{2} - 2 m n + n^{2} =$ ；

⑶同时含有 $a 、 b 、 c$ ，且系数为 $1$ 的七次单项式共有个．

整式的加减

一、同类项

如果两个单项式所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，则称为同类项．
几个常数项都是同类项；把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
合并同类项法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．

二、整式的加减运算步骤：先去括号，括号要先去小括号，再去中括号、大括号，后合并同类项．

【注意】：括号前是负号时，去括号后括号内各项要改变符号；

交换律、结合律和分配律在整式加减中依然适用．

题目SH-043-005难度 C · 综合

⑴若单项式 $\frac{5}{4} a^{8 - 3 m} b^{3 n}$ 与 $- 2 a^{2 n} b^{m + 1}$ 是同类项，求 $m + n$ 的值．

⑵若 $- 4 x^{a} y + x^{2} y^{b} = - 3 x^{2} y,$ 则 $a + b =$ ．

⑶若单项式 $\frac{2}{3} a^{3} b^{5}$ 与单项式 $m a^{3} b^{| m - 2 |}$ 的和为单项式，则 $m$ 的值是____________．

题目SH-043-006难度 C · 综合

⑴化简： $(4 x - 3 y) - [- (3 y - x) + (x - y)] - 5 x$

⑵化简： $4 x y^{2} - 3 x^{2} y - {3 x^{2} y + x y^{2} - [2 x y^{2} - 4 x^{2} y + (x^{2} y - 2 x y^{2})]}$

题目SH-043-007难度 C · 综合

⑴已知多项式 $2 a x^{4} + 5 a x^{3} - 13 x^{2} - x^{4} + 2021 + 2 x + b x^{3} - b x^{4} - 13 x^{3}$ 是关于 $x$ 的二次多项式，那么 $a^{2} + b^{2} =_______$ ；

⑵若 $A = 3 x^{2} y + 4 x y + x - 7$ ， $B = x^{2} y + 3 x y - 3 x$ ，且 $A - 3 B$ 与 $x$ 无关，求 $y$ 与 $A - 3 B$ 的值．

题目SH-043-008难度 D · 提升

已知 $\frac{5}{2} {(a - 3)}^{2} = - \frac{3}{4} | \frac{1}{2} b - 1 |$ ，化简代数式，并求该代数式的值．

题目SH-043-009

原件 $m$ 元先加价 $50 %$ ，再降价 $30 %$ ，再降价 $10 %$ ，则价格为_______．

题目SH-043-010

在代数式 $\frac{1}{2} x^{2} - 3 x$ ， $\frac{2 x^{2} y}{π}$ ， $\frac{1}{x}$ ， $- 6$ ， $a$ ， $0$ 中，单项式有______________________．

题目SH-043-011

$- \frac{5 a b c^{2} - 17 a b π - 2 a - 20}{3}$ 中的二次项系数是_______________．

题目SH-043-012

将多项式 $3 + 6 x^{2} y - 2 x y^{4} - 5 x^{3} y^{2} - x^{4} y^{3}$ 按字母 $y$ 升幂排列_________________________．

题目SH-043-013

若关于 $x$ 的代数式 $| a | x^{3} + (a - 1) x^{2} - 3 x + 5 - x^{3}$ 是二次三项式，那么 $a$ 的值为（）．

题目SH-043-014

A． $1$ B． $1$ 或 $- 1$ C． $- 1$ D．不能确定

计算： $6 a^{2} - 2 [5 a - 3 (a - 3) + 4 a^{2}] + 4$ ．

计算： $(3 x^{2} - 5 x) - [7 x - 4 (4 x^{2} - 2 x - 3) - (2 x^{2} + 6 x - 1)]$ ．

⑴某工厂有煤 $m$ 吨，计划每天用煤 $n$ 吨，实际每天节约用煤 $b$ 吨，节约后可以多用天；

⑵如图，在长为 $a$ ，宽为 $b$ 的草坪中间修建宽度为 $c$ 的两条道路，那么剩下的草坪面积为．

题目SH-043-015

⑴若 $\frac{1}{2} x^{2} y$ 与 $- \frac{1}{5} x^{p} y^{q} z^{m}$ 是同类项，则 $p + q - m =__________$ ．

⑵若 $2 a^{2 m - 5} b^{n + 2}$ 与 $m a b^{3 n - 2}$ 的和是单项式，则 $m =________;$ $n =_______$ ．

⑶如果两个同类项的系数互为相反数，那么合并同类项后，结果是 $________$ ．

⑷若 $A$ 与 $B$ 均为五次多项式，则 $A - B$ 一定是（）
$A$ ．十次多项式； $B$ ．零次多项式；
$C$ ．次数不高于五次的整式； $D$ ．次数低于五次的整式．

题目SH-043-016

⑴指出多项式： $4 n^{3} - 5 n^{2} + 7 n + 1$ 的项和次数，是几次几项式．

⑵把多项式 $3 x^{2} y^{2} + 4 x^{3} y^{3} + x y^{4} - 6 x^{5} + \frac{1}{2} y$ 重新排列：

①按 $x$ 升幂排列：

②按 $y$ 降幂排列：

题目SH-043-017

⑴已知多项式 $A$ 和 $x^{2} + 2 x - 3$ 相加得 $- 2 x^{2} - 3 x + 3$ ，求多项式 $A$ ;

⑵已知两个多项式的和是 $3 x^{2} - 2 x + 1$ ，差是 $x^{2} + 4 x - 5$ ，求这两个代数式．

题目SH-043-018

已知多项式 $x^{2} + a x - y + b$ 和 $b x^{2} - 3 x + 6 y - 3$ 的差的值与字母 $x$ 的取值无关，求代数式

$3 (a^{2} - 2 a b - b^{2}) - (4 a^{2} + a b + b^{2})$ 的值．

题目SH-043-019

⑴若 $3 x^{| m + 1 |} y^{3}$ 与 $- 7 x^{3} y^{n}$ 的和是单项式，则 $m^{n}$ 的结果为（）．

A． $8$ B． $6$ C． $64$ 或 $8$ D． $- 64$ 或 $8$

⑵若 $3 x^{| m + 1 |} y^{3}$ 与 $- m x^{3} y^{n}$ 的和是单项式，则 $m$ 的值为．

题目SH-043-020

$8 x^{3 - b} y^{2 b - 3}$ 与 $- a x^{3 - 2 a} y^{b - a}$ 的差为单项式，则 $a + b =$ ________．
⑴已知多项式 $2 x^{2} - a x + 3 y + b$ 和多项式 $b x^{2} + 5 x + 7 y - 3$ 的差与字母 $x$ 无关，

那么 $a + b =$ （）．

A． $- 7$ B． $- 3$ C． $3$ D． $7$

⑵已知关于 $x$ 的多项式 $2 a x^{3} + b x^{2} - 13 x + 2$ 与 $b x^{3} + x^{3} + 3 a x^{2} + 4 x - 5$ 的和为一次多项式，

那么 $a =$ （）．

A． $- 1$ B． $0$ C． $1$ D．不知道

⑴如图 $1$ ，用 $x$ 的代数式表示零件的体积．

⑵如图 $2$ ，用含有 $x$ 的代数式表示槽型钢材的体积．

⑶如图 $3$ ，计算四边形 $A E C F$ 的面积．

图 $1$ 图 $2$ 图 $3$