第8讲 一元二次方程的应用（二）

判别式解决整数解问题(二）

判别式为完全平方数（式）：设$k^2$法

1. （老师直接讲，小朋友模仿着做后面的例题）

已知关于$x$的方程$x^2+\left(a-1\right)x-2a+3=0$有整数解，求整数$a$的值．

因为关于$x$的方程$x^2+\left(a-1\right)x-2a+3=0$有整数解，

所以判别式$\Delta ={\left(a-1\right)}^2-4\left(-2a+3\right)=a^2+6a-11$应该是一个完全平方数，

设$a^2+6a-11=k^2$（$k$是自然数），$\therefore {\left(a+3\right)}^2-20=k^2$，

$\left(a+3+k\right)\left(a+3-k\right)=20$，显然$a+3+k$与$a+3-k$奇偶性相同，

且$a+3+k\ge a+3-k$，

所以$\{\begin{array}{c}a+3+k=10\\ a+3-k=2\end{array}$或$\{\begin{array}{c}a+3+k=-2\\ a+3-k=-10\end{array}$，

解得$\{\begin{array}{c}a=3\\ k=4\end{array}$或$\{\begin{array}{c}a=-9\\ k=4\end{array}$，

经检验$a=3$，$a=-9$时方程就有整数解，符合题意．

注：也可部分因式分解求解，$x^2+\left(a-1\right)x-2a+3=0\Rightarrow \left(x-2\right)\left(x+a+1\right)=-5$

韦达定理：由根与系数的关系得到用待定字母表示的两根和、积式．

接下来可用以下两类方法求解：

已知关于$x$的方程$a{x}^2+bx+c=0$，$b{x}^2+cx+a=0$和$c{x}^2+ax+b=0$有一个公共根，求$\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$的值.

当$m$为整数时，关于$x$的方程$\left(2m-1\right)x^2-\left(2m+1\right)x+1=0$是否有有理根？如果有，求出$m$的值；如果没有，请说明理由．

已知关于$$x$$的方程：$$x^2+\left(a-6\right)x+a=0$$的两根都是整数，求$$a$$的值．

已知关于$x$的一元二次方程$x^2+px+q=0$的两根是非零整数，且$p+q=198$．求$p$的值．

求满足如下条件的所有$k$值：使关于$x$的方程$k{x}^2+\left(k+1\right)x+\left(k-1\right)=0$的根都

是整数．

如果方程$x^2-px+2q=0$和$x^2-qx+2p=0\left(p\ne q\right)$有公共根，求公共根

求所有的整数对$(x\text{,}y)$，使$x^3-x^{2}y+x{y}^2-y^3=4x^2-4xy+4y^2+47$．

$b$为何值时，对任何有理数$a$,关于$x$的方程$2x^2+\left(a+1\right)x-\left(3a^2-4a+b\right)=0$都有有理根．

$n$为正整数，关于$x$的方程$x^2-(\sqrt{3}+1)x+\sqrt{3}n-6=0$有一个整数根，则$n=$________．

方程$$2x^2-xy-3x+y+2016=0$$的正整数解$$(x,y)$$共有________对．

已知$a$、$b$是实数，关于$x$、$y$的方程组$\{\begin{array}{c}y=x^3-a{x}^2-bx\\ y=ax+b\end{array}$有整数解$(x\text{,}y)$，求$a$、$b$满足的关系式．

已知关于$x$的方程$4x^2-8nx-3n=2$①和$x^2-\left(n+3\right)x-2n^2+2=0$②．是否存在这样的$n$，使第一个方程的两个实数根的差的平方，等于第二个方程的一个整数根？若存在，求出这样的$n$值，若不存在，请说明理由．

关于$x$的方程$x^2-\left(2m-1\right)x+2m^2+m=0$的两个根分别为$x_1$，$x_2$．

⑴若$\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{5}$，求$m$的值；

⑵若$x_1$，$x_2$均为整数，求$m$的值．

已知关于$x$的一元二次方程$x^2+\left(k+1\right)x+\left(k-1\right)=0$有两个整数根，求$k$．

已知关于$x$的一元二次方程$x^2+cx+a=0$的两个整数根恰好比方程$x^2+ax+b=0$的两个根都大$1$，求$$a+b+c$$的值．