中考-二模 · 第 143 讲

第1讲二模复习之代数综合

19 道题4 个知识模块答案解析精校中

本讲答案与解析正在逐题精校，完成后在题卡下方开放。当前请先独立作答，再回来对照。

知识模块 01 · 原讲小节

代数式

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

1.常数的拆项公式：

① $\frac{m + n}{m n} = \frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ （ $m$ ， $n$ 为正整数）；② $\frac{1}{n (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ （ $n$ 为正整数）；

③ $\frac{k}{n (n + k)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + k}$ （ $n$ ， $k$ 为正整数）； ④ $\frac{2}{n (n + 1) (n + 2)} = \frac{1}{n (n + 1)} - \frac{1}{(n + 1) (n + 2)}$ （ $n$ 为正整数）

2.整式的乘法公式：

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ ； ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ ；

${(a \pm b)}^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}$ ； $(a \pm b) (a^{2} \mp a b + b^{2}) = a^{3} \pm b^{3}$ ；

${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a$ ； $(a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$ ．

3.因式分解：一提二代三分组

4.分式：

⑴分式的运算是以分式的基本性质、通分和约分的概念与运算法则为基础，一整式的变形、因式分解为工具．

⑵分式化简求值：拆项变形、整体代入、取倒数等．

5.根式：

⑴基本性质① $\sqrt{a}$ ： $a \geq 0$ ， $\sqrt{a} \geq 0$ ；② $\sqrt{a^{2}} = | a |$ ， ${(\sqrt{a})}^{2} = a$

⑵常用技巧：非负性性质、公式、换元、拆项、整体代入等．

知识模块 02 · 原讲小节

方程与不等式

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

1.一元不等式（组）

2.一元二次方程

3.分式方程：

⑴去分母化为整式方程，注意验根；

⑵换元法．特别地，倒数型，还具有 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 、 $x + \frac{1}{x}$ 或 $x - \frac{1}{x}$ 等因式的平方型．

⑶特殊方程：形如 $\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 4} = \frac{1}{x - 6} - \frac{1}{x - 4}$ 的分式方程，可先左右分别通分．

4.无理方程：

⑴两边平方去根号化为整式方程，注意验根；

⑵换元法．

5.二元二次方程组：主要是运用 “代入消元”和“因式分解降次”两种思路．

基本代数问题

此类问题主要是在二模选择题、填空题和 $19$ 与 $20$ 题中出现，包含幂运算、锐角三角比、因式分解、分式化简求值、不等式（组）、分式方程（组）、二元二次方程组等．考查学生的代数基本功，难度不大．

题目SH-143-001难度 B · 巩固

幂运算

题目SH-143-002

⑴计算 ${(- 2)}^{2} - 2^{- 1} \sqrt{8} + {(1 - \sqrt{2})}^{0} + \frac{1}{\sqrt{2} + 1} =$ ________．

题目SH-143-003难度 B · 巩固

分式计算

题目SH-143-004

⑴先化简，再求值：

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - x} \cdot \frac{x}{x + 1} - {(\frac{x - 1}{x})}^{- 1}$ ，其中 $x = \sqrt{2} + 1$ ．

⑵化简 ${(1 - \frac{1}{x^{2}})}^{- 1} + {(\frac{1}{x} - x)}^{- 1}$ ，并求当 $x = \sqrt{3} - 2$ 时的值．　

⑶化简： $\frac{x^{2} - 8 x + 16}{x^{2} + 2 x} \div (\frac{12}{x + 2} - x + 2) + \frac{1}{x + 4}$

题目SH-143-005难度 B · 巩固

锐角三角比计算

题目SH-143-006

计算：

⑴ ${(s i n 30 °)}^{- 1} \times (s i n 60 ° - c o s 45 °) - \sqrt{{(1 - t a n 60 °)}^{2}}$

⑵ $t a n 30 ° + 2 \sqrt{3} - 3 c o s 60 ° + {(2013 - π)}^{- 1}$

⑶ $\frac{s i n 45 ° + c o s 30 °}{3 - 2 c o s 60 °} - s i n 60 ° (1 - s i n 30 °)$

⑷ $c o s^{2} 45 ° - \frac{c o s 60 °}{1 - s i n 30 °} + t a n^{2} 45 ° - t a n^{2} 60 °$

⑸ ${(s i n 45 °)}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{0} - 1 2^{\frac{1}{2}} \cdot {(\sqrt{3} - 1)}^{- 1} + c o t 30 °$

知识模块 03 · 原讲小节

组

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题目SH-143-007难度 C · 综合

解一元一次不等式（组）

题目SH-143-008

解下列不等式（组），并把解集用数轴表示出来

⑴ $- 2 \leq - \frac{x + 1}{2} \leq 5$ ；

⑵ $\frac{1 + 2 x}{4} + \frac{1 - 3 x}{10} > - \frac{1}{5}$ ；

⑶ $x - \frac{x}{2} + \frac{x + 1}{3} < 1 + \frac{x + 8}{6}$ ；

⑷ ${\begin{matrix} \frac{2 x - 1}{3} - \frac{5 x + 1}{2} \leq 1 \\ 5 x - 1 < 3 (x + 1) \end{matrix}$ ；

⑸ ${\begin{matrix} 3 (x + 1) < 2 x + 3 \\ \frac{x - 1}{3} \leq \frac{x}{2} \end{matrix}$ ；

⑹ ${\begin{matrix} - 3 (x + 1) - (x - 3) < 8 \\ \frac{2 x + 1}{3} - \frac{1 - x}{2} \leq 1 \end{matrix}$ ．

题目SH-143-009难度 C · 综合

解二元一次方程

⑴解方程组 ${\begin{matrix} x + 3 y = 8 \\ x^{2} - 4 x y - 5 y^{2} = 0 \end{matrix}$ ；

⑵解方程组： ${\begin{matrix} x^{2} + 6 x y + 9 y^{2} = 9 \\ x^{2} - y^{2} - 4 x + 4 y = 0 \end{matrix}$

⑶解方程组 ${\begin{matrix} 4 x^{2} - y^{2} = 0 \\ 3 x^{2} - x y + x + 2 y + 6 = 0 \end{matrix}$

复杂代数问题

知识模块 04 · 原讲小节

综合练习

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题目SH-143-010难度 D · 提升

分式方程

题目SH-143-011

⑴若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2}{x - 2} + \frac{m x}{x^{2} - 4} = \frac{3}{x + 2}$ 无解，则 $m =$ ________．

⑵方程 $\frac{x}{2} + \frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \dots + \frac{x}{2008 \times 2009} = 2008$ 的解是 $x =$ ________．

题目SH-143-012难度 D · 提升

二次根式

题目SH-143-013

⑴若 $b = \sqrt{a^{2} - 16} + \sqrt{16 - a^{2}} - 2$ ，则 $\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{b}}$ 的值为________．

⑵已知 $3 \sqrt{x} + 4 \sqrt{y} = 16$ ， $m = 4 \sqrt{x} - 3 \sqrt{y}$ ，则 $m$ 的取值范围是_________________ .

⑶已知整数 $x$ 、 $y$ 满足： $x \sqrt{y} + y \sqrt{x} - \sqrt{2009 x} - \sqrt{2009 y} + \sqrt{2009 x y} = 2009$ ，且 $1 < x < y < 100$ ，则 $\sqrt{x + y + 10} =$ ________．

题目SH-143-014难度 D · 提升

公式

⑴已知正数 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $a b + a + b = b c + b + c = c a + c + a = 99$ ，

则 $(a + 1) (b + 1) (c + 1) =$ ___________．

⑵把 $(a + b + c + d) (b + c - a - d) (c + a - b - d) (a + b - c - d) + 16 a b c d$ 因式分解为________．

⑶设 $a - b = 2 + \sqrt{3}$ ， $b - c = 2 - \sqrt{3}$ ，则 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a =$ ________．

⑷已知： $a + x^{2} = 2015$ ， $b + x^{2} = 2016$ ， $c + x^{2} = 2017$ ，且 $a b c = 12$ ，则 $\frac{a}{b c} + \frac{c}{a b} + \frac{b}{a c} - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} - \frac{1}{c} =$ ________．

题目SH-143-015难度 E · 挑战

题目SH-143-016

⑴方程 $x + \frac{x}{1 + 2} + \frac{x}{1 + 2 + 3} + \dots + \frac{x}{1 + 2 + 3 + \dots + 2009} = 2009$ 的解是 $x =$ ________．

⑵解方程 $\frac{1}{x^{2} + x} + \frac{1}{x^{2} + 3 x + 2} + \frac{1}{x^{2} + 5 x + 6} + \frac{1}{x^{2} + 7 x + 12} = \frac{4}{21}$ 得________．

题目SH-143-017

已知 $x = \sqrt{3} + 1$ ，则 $\sqrt{\frac{x^{2}}{1 - 2 x + x^{2}}} =$ ________．
⑴计算： $\sqrt{18} - 9^{\frac{1}{2}} + \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} - 4 \sqrt{\frac{1}{8}}$ ；

⑵计算： $- 3^{3} + | \sqrt{3} - 2 | + {(\frac{1}{3})}^{- 2} - \frac{2}{t a n 60 ° - 1}$

题目SH-143-018

解方程： $\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{1}{x + 2} = \frac{16}{x^{2} - 4}$
解方程： $\sqrt{\frac{x + 2}{x - 1}} + \sqrt{\frac{x - 1}{x + 2}} = \frac{5}{2}$ ．
已知正数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $a b + a + b = b c + b + c = a c + a + c = 3$ ，则 $(a + 1) (b + 1) (c + 1) =$ ________．

题目SH-143-019

满足 ${(x^{2} + x - 1)}^{x + 3} = 1$ 的所有 $x$ 的个数有________个．
观察下列式子， $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 \frac{1}{2}$ ， $\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 \frac{1}{6}$ ， $\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 \frac{1}{12}$ ，…，根据此规律，若 $\sqrt{1 + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}} = 1 \frac{1}{90}$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ ________．