第4讲 四边形中的全等

如图，在矩形$ABCD$中，$M$是$BC$边上一点，联结$AM$，$DM$．将$△CMD$以$DM$为对称轴翻折，点$C$正好落在$AM$上，记为$E$．若$DE=DC=1$，$AE=2EM$，则$BM$的长为________．

如图，正方形$ABCD$中，$AB=6$，点$E$在边$CD$上，且$CD=3DE$．将$△ADE$沿$AE$对折至$△AFE$,延长$EF$交边$BC$于点$G$，联结$AG$，$CF$．下列结论：

①$△ABG≌△AFG$；②$BG=GC$；③$AG\parallel CF$；④$S_{△FGC}=3$．

其中正确结论的个数是（ ）．

$A$．$1$个 $B$．$2$个 $C$．$3$个 $D$．$4$个

如图，点$G$是正方形$ABCD$对角线$CA$的延长线上一点，对角线$BD$与$AC$交于点$O$，以线段$AG$为边作一个正方形$AEFG$，联结$BE$，$DG$．

⑴求证：$BE=DG$；

⑵若$AB=5$，$AG=2\sqrt{2}$，求$BE$的长．

如图，正方形$MNBC$内有一点$A$，以$AB$、$AC$为边向$△ABC$形外作正方形$ABRT$和正方形

$ACPQ$，连接$RM$、$BP$．求证：$BP\parallel RM$．

如图，$△ACD$、$△ABE$、$△BCF$均为直线$BC$同侧的等边三角形．求证：四边形$ADFE$为平行四边形．

如图，正方形$ABCD$边长为$2$，分别在边$BC、DC$上取点$E、F$，使得$△CEF$的周长为$4$，求$\angle EAF$大小．

如图，正方形$ABCD$中，$E，F$是$AB，BC$边上两点，且$EF=AE+FC，DG\perp EF$于$G$，求证：$DG=DA$

如图，在直角梯形$ABCD$中，$\angle ABC=\angle BCD=90°$，$AB=BC=10$，点$M$在边$BC$上，使得$△ADM$为正三角形，则$△ABM$与$△DCM$的面积和为________．

如图，以平行四边形$ABCD$两邻边$BC$、$CD$为边向外做正$△BCE$、正$△CDF$．

求证：$△AEF$为正三角形．

如图，点$M$、$N$分别在正方形$ABCD$的边$BC$、$CD$上，已知$△MCN$的周长等于正方形$ABCD$周长的一半，求$\angle MAN$的度数

如图，将边长为$8cm$的正方形$ABCD$折叠，使点$D$落在$BC$边的中点$E$处，点$A$落在$F$处，折痕为$MN$，则线段$CN$的长是________．

已知：如图，在梯形$ABCD$中，$AD//BC$，$AB=DC$．点$E$，$F$，$G$分别在$AB$，$BC$，$CD$上，$AE=GF=GC$．

⑴求证：四边形$AEFG$是平行四边形；

⑵当$\angle FGC=2\angle EFB$时，求证：四边形$AEFG$是矩形．

如图，$A$在线段$BG$上，$ABCD$和$DEFG$都是正方形，面积分别为$7c{m}^2$和$11c{m}^2$，则$△CDE$的面积等于________．

如图，已知四边形$ABCD$中，$AB=AD$，$\angle BAD=60°$，$\angle BCD=120°$．

证明：$BC+DC=AC$．

如图，以$△ABC$的边$AB$和$AC$分别为一边，向形外作正方形$ABDE$、正方形$ACFG$，则试证明：

⑴ $BG$和$CE$垂直且相等；

⑵设$EG$中点为$P$，则$AP=\frac{1}{2}BC$，且$AP\perp BC$；

⑶在⑵的条件下，倍长$AP$至点$Q$，使得$PQ=AP$，则$QC\perp BF$，$QC=BF$．

图⑶

⑴如图①，已知正方形$ABCD$和正方形$CGEF(CG>BC)$，$B、C、G$在同一直线上，$M$为线段$AE$的中点$M$．探究：线段$MD、MF$的关系．

⑵如图②，若将正方形$CGEF$绕点$C$逆时针旋转$45°$，使得正方形$CGEF$对角线$CE$在正方形$ABCD$的边$BC$的延长线上，$M$为$AE$的中点．试问：（1）中探究的结论是否还成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．

如图，正方形$ABCD$被两条与边平行的线段$EF$、$GH$分割成$4$个小矩形，$P$是$EF$与$GH$的交点，若矩形$PFCH$的面积恰是矩形$AGPE$面积的$2$倍，试确定$\angle HAF$的大小，并证明你的结论．

如图，在$△ABC$中，$\angle BAC=45°，AD\perp BC，$垂足为$D，$$BD=3，$$CD=2，$求$AD$的长．