第1讲 有理数（一）

学而思老师进行颠球比赛，以$10$个为标准，超过次数用正数表示，不足的用负数表示（比如要是颠球$14$个，记为$4$，颠球$6$个,记为$-4$）,其中$8$名老师的成绩如下表：

① 这$8$名老师中最多与最少的两个老师相差个；

② 这$8$名老师颠球的平均值是个．

在下表适当的空格里面打“√”

判断下列说法正确与否．

⑴ 一个有理数不是整数就是分数（）

⑵ 一个有理数不是正数就是负数（）

⑶ 一个整数不是正的，就是负的（）

⑷ 一个分数不是正的，就是负的（）

⑸ 没有最大的非正数，也没有最小的非负数（）

⑹ 不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等（）

相关概念

数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．

⑴ 单位长度是一条人为规定的代表“$1$”的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定．

同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变．

⑵ 有理数与数轴的关系：

① 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来；数轴上的点不都代表有理数，如$\pi$；

② 一般地，数轴上右边的数总大于左边的数．

数轴画法常见错例	原因
	无原点
	没有正方向
	单位长度不统一
	没有单位长度

相反数：只有符号不同的两个数互为相反数（$oppositenumber$）．特别地，$0$的相反数仍是$0$．

例如：$+3$与$-3$互为相反数，而$+3$与$-2$虽然符号不同，但它们不互为相反数．

⑴ 相反数必须成对出现，不能单独存在．

⑵ 实数$a$的相反数是$-a$，零的相反数是零；

⑶ 数轴上表示相反数的两个点关于原点对称；

⑷ 如果$a$与$b$互为相反数，那么$a+b=0$，$a=-b$，$b=-a$．

绝对值：一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值（$absolutevalue$）

用符号$\left|a\right|$表示数$a$的绝对值．

例如：$9$的绝对值是$9$，记作$\left|9\right|=9$；$-9$的绝对值是$9$，记作$\left|-9\right|=9$；$0$的绝对值是$0$，记作$\left|0\right|=0$

倒数：乘积为$1$的两个数互为倒数．$a, b$互为倒数，则$a\cdot b=1$；反之亦然．

⑴ 倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数；

⑵ 非零实数$\frac{q}{p}$的倒数为$\frac{p}{q}$；零没有倒数；

⑶ 如果$a$与$b$互为倒数，那么$ab=1$，$b=\frac{1}{a}$，$a=\frac{1}{b}$．

Tip：若$ab=-1$，则$a, b$互为负倒数．

多重符号的化简：遵循“奇负偶正”原则．（其中“奇偶”是指正数前面的“$-$”号个数的奇偶性，“负正”是指最后化简结果的符号）．

例如：$+\left[\text{+}\left(\text{+}6\right)\right]=6$；$-\left\{-\left[-\left(-6\right)\right]\right\}=6$；$-\left[-(-5）\right]=-5$．

⑶ 相反数：

① $-\left(-3\right)$的相反数是；$-\frac{7}{2}b$是的相反数；$c-4$是的相反数．

② 如果$a<0$，化简下列各数的符号，并判断是正数还是负数：

$-\left(+a\right)=$　　 　，为数；

$-\left(-a\right)=$　 　　，为 数；

⑷ 绝对值：

① 若$\left|a\right|=\frac{5}{2}$，则$a=$ ；

② 绝对值小于$\pi$的整数有，它们的和为．

⑴ 下列说法正确的是（ ）

A．符号相反的数互为相反数

B．任何有理数都有倒数

C．最小的自然数是$1$

D．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远

⑵ $a$和$b$是满足$ab\ne 0$的有理数，下列说法正确的有 （ ）．

① $\frac{a-2}{b^2+4}$的相反数是$\frac{2-a}{b^2+4}$；

② $a-b$的相反数是$a$的相反数与$b$的相反数的差；

③ $ab$的相反数是$a$的相反数和$b$的相反数的乘积；

④ $ab$的倒数是$a$的倒数和$b$的倒数的乘积．

A． $1$个B． $2$个C． $3$个D． $4$个

⑶ 在数轴上任取一条长度为$2020\frac{1}{2020}$的线段，则此线段在这条数轴上能盖住的整数点的个数是．

$a, b, c, d$分别为有理数，$a$是绝对值最小的有理数，$b$是最小的正整数，$c$的相反数是其本身，$d$为负数且它的倒数是本身．求：① $ab$的值；② $a+b+c-d$的值．

有理数加减法

有理数的加法

有理数加法法则：

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．

⑴ 若两个有理数的和是正数，那么一定有结论（ ）

A．两个加数都是正数； B．两个加数只有一个为正数；

C．一个加数为正数，另一个加数为零； D．两个加数不能同为负数．

⑵$2020$个不全相等的有理数之和为$0$，则这$2020$个有理数中（ ）

A．至少有一个是零； B．至少有$1010$个是正数；

C．至少有一个是负数； D．至多有$1010$个是负数．

计算：

⑴ $\left(-7.5\right)+\left(-3\frac{3}{5}\right)$； ⑵ $\frac{7}{6}+\left(-\frac{53}{6}\right)$；

⑶ $\left(-3\frac{1}{4}\right)-\left[\left(-3\frac{1}{9}\right)-3\frac{1}{4}\right]-3\frac{1}{9}$； ⑷ $2.875+\left(-4\frac{5}{12}\right)+\left(-1\frac{1}{8}\right)+\left(-3\frac{7}{12}\right)$；

⑸ $-\frac{1}{3}-\left|1\frac{2}{5}-\left(-\frac{3}{5}\right)\right|-\frac{2}{3}$；

⑹ $\left(-7\frac{6}{13}\right)-\left\{\left[3\frac{9}{32}-\left(3.275-6\frac{7}{13}\right)\right]-4.225\right\}$．

有理数的乘除法

有理数的乘法

1. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同$0$相乘，都得$0$．

2. 有理数乘法的运算步骤：先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数．

3. 有理数乘法运算律：

① 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即$ab=ba$．

② 乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积相等，即$\left(ab\right)c=a\left(bc\right)$．

③ 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，

即$a\left(b+c\right)=ab+ac$．

有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值．

⑴ $\frac{1}{9}\times \left(-2\right)÷\left(-\frac{4}{3}\right)$； ⑵ $(-\frac{1}{2})\times (-\frac{2}{3})\times (-1\frac{1}{4})\times (-1\frac{1}{3})\times (-1\frac{1}{5})$；

⑶ $\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{2}{3}-\frac{3}{14}\right)÷\left(-\frac{1}{42}\right)$ ； ⑷ $-\frac{1}{42}÷\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{2}{3}-\frac{3}{14}\right)$；

⑸ $\frac{4}{7}÷(-2\frac{2}{5})-\frac{3}{7}\times \frac{5}{12}-\frac{5}{3}÷(-4)$；

⑹ $-3.375\times 12+4.375÷\frac{1}{12}-36\times (\frac{1}{18}-\frac{1}{12}+\frac{1}{3})$．

$1\frac{5}{12}$的倒数是________．

绝对值小于$2\frac{1}{2}$的负整数有：

若$\left|3-x\right|=x-3$，则下列成立的是（）．

A．$x>3$；B．$x<3$；C．$x\ge 3$；D．$x\le 3$．

若$\left|a\right|=3$，则$a=$ ；若$\left|-b\right|=1\frac{1}{2}$，则$b=$ ．

计算：$\left[1\frac{1}{24}-\left(\frac{3}{8}+\frac{1}{6}-\frac{3}{4}\right)\times \left(-24\right)\right]÷\left(-5\right)$．

计算：$\left[25\times \frac{3}{4}+25\times \frac{1}{2}+25\times (-\frac{1}{4})\right]÷\left[(1\frac{3}{8}+1\frac{1}{3}-2\frac{3}{4})\times 24\right]$．

在下列数中，哪些是整数？哪些是正数？哪些是非负整数？哪些是有理数？

$7$，$-2$，$6\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{9}$，$69$，$0$，$0.33$，$-1\frac{2}{5}$，$-3.1$

整数：；正数：；

非负整数：；有理数：．

⑴ $-\left(-2\right)$与_________互为相反数；$-\frac{1}{2}a$是_________的相反数；$b+4$是_________的相反数；

⑵$-\left\{-\left[+\left(-4\right)\right]\right\}=$_________；

⑶ $-\left\{-\left[+\left(-5\right)\right]\right\}$与_________互为相反数，$-\left(-a-b\right)$与_________互为相反数．

⑷ $-2\frac{4}{7}$的倒数是_________，$3.75$的负倒数是_________．

⑴ 下列说法正确的是（）

A．$a+b$的相反数是$a-b$；

B．$a+b$的倒数是$\frac{1}{a+b}$；

C．负数的倒数一定比本身大；

D．已知$x$是一个有理数，$M={\left(-x\right)}^2$，$N=-\frac{1}{x^2}$，则$M$一定大于$N$．

⑵ 在下列说法中，正确的个数是（）

① $\pi$和$-3.14$互为相反数；

② 任何一个有理数都可以用数轴的一个点来表示；

③ 数轴上的每一个点都表示一个有理数；

④ 任何有理数的绝对值都不可能是负数；

⑤ 每个有理数都有相反数；

⑥ 一个数的相反数一定是负数．

A．$1$； B．$2$； C．$3$； D．$4$．

⑴ 已知$a, b$互为倒数，$c, d$互为相反数，$m$为最大的负整数，$e$为绝对值最小的数，试求$\frac{m}{3}\times e+ab+\frac{2020\left(c+d\right)}{4m^2}$的值．

⑵ $a, 2b$互为相反数，$c, d$互为倒数，$e$的绝对值是$3$，求$\frac{a}{2020e}+\frac{b}{1010e}+\frac{cd}{8e}$ 的值．

计算：

⑴ $\left(-1\frac{3}{4}\right)+\left(1\frac{4}{5}\right)$；

⑵ $\left(-9\frac{4}{5}\right)+\left(-40\frac{1}{2}\right)+3.8$；

⑶ $\left(-\frac{5}{6}\right)+\left(-2\frac{1}{2}\right)+\left(+\frac{5}{6}\right)+\left(-\frac{4}{5}\right)$；

⑷ $2\frac{1}{3}-5\frac{2}{7}+6\frac{3}{5}-2\frac{5}{7}+1\frac{2}{3}-3\frac{3}{5}$．

计算：

⑴ $\left(+4\right)÷\frac{2}{3}\times \frac{3}{2}÷\left(-\frac{1}{4}\right)$；

⑵ $-0.25÷\left(-\frac{3}{7}\right)\times \left(-1-\frac{1}{5}\right)$；

⑶ $\frac{2}{5}÷\left(-2\frac{2}{5}\right)-\frac{8}{21}\times \left(-1\frac{3}{4}\right)-0.2$；

⑷ $\left(-17.65\right)\times 2\frac{6}{11}+7.15\times 2\frac{6}{11}+10.5\times \left(-\frac{5}{11}\right)$．

选择：

⑴ 如果两个数的和是负数，那么这两个数一定（）．

A．都是负数；B．一个正数和一个负数；

C．至少一个负数；D．至少一个正数．

⑵ 一个有理数和它的绝对值的和（）

A．可能是负数；B．一定是正数；

C．一定不是正数；D．一定是非负数．

⑶ 较小的数减去较大的数所得的差一定是（）．

A．正数；B．负数； C．零； D．不能确定．

⑷ 下列说法错误的是（ ）．

A．一个数与$0$相乘，积为$0$；

B．一个数与$1$相乘，积仍为这个数；

C．一个数与$-1$相乘，积为这个数的相反数；

D．一个数与它本身相乘，积为正数．

⑸ 下列说法正确的是（ ）．

A．如果两个数的和是正数，那么这两个数一定都是正数；

B．如果两个数的积是正数，那么这两个数一定都是正数；

C．互为相反数的两个数相减，差为零；

D．零减去一个数所得的差，一定等于这个数的相反数．

⑹ 如果两数之和是负数，且它们的积为负数，那么（）．

A．这两个数都是负数；

B．这两个数都是正数；

C．这两个数中，一个是正数，另一个是负数，且负数的绝对值大．

D．这两个数中，一个是正数，另一个是负数，且正数的绝对值大．

⑺ 已知两个不为零的有理数$a$和$b$，如果$a÷b$所得的商和$b÷a$所得的商相等，那么这两个数（）．

相等； B．绝对值相等； C．互为相反数； D．互为倒数；

填空：

⑴ 如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为；

⑵ 如果一个数的倒数等于它本身，那么这个数是；

⑶ 如果一个数的相反数等于它本身，那么这个数是．

判断：

⑴ 零除以任何一个不等于零的数都得零． （ ）

⑵ 任何负数的倒数都小于它的相反数． （ ）

计算

⑴ $\left(-\frac{4}{3}\right)+\left(-\frac{1}{6}\right)$； ⑵ $\left(-1\frac{3}{4}\right)+\left(+1\frac{4}{5}\right)$；

⑶ $\left(+1\frac{3}{4}\right)+\left(-\frac{5}{6}\right)+\left(-1\frac{1}{4}\right)+3\frac{1}{3}$； ⑷ $-3.75+6\frac{1}{3}+\left(-2\frac{1}{3}\right)+\left(-5.25\right)$；

⑸ $\left(+51\right)-\left(-19\right)$； ⑹ $\left(-\frac{2}{7}\right)-\left(-\frac{5}{7}\right)$；

⑺ $-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}-\frac{5}{8}$； ⑻ $\left(-\frac{5}{6}\right)+\left(-2\frac{1}{2}\right)+\left(+\frac{5}{6}\right)+\left(-\frac{4}{5}\right)$；

⑼ $9.37+\left[\left(-6.73\right)+\left(-5.37\right)\right]$； ⑽ $\left(-4\frac{1}{3}\right)+\left(-2\frac{1}{2}\right)+\left(-9\frac{2}{3}\right)+3$；

⑾ $2.875+\left(-4\frac{5}{12}\right)+\left(-1\frac{1}{8}\right)+\left(-3\frac{7}{12}\right)$； ⑿ $2\frac{1}{3}-5\frac{2}{7}+6\frac{3}{5}-2\frac{5}{7}+1\frac{2}{3}-3\frac{3}{5}$．

计算

⑴ $\left(-0.3\right)\times \left(-1\frac{3}{7}\right)$； ⑵ $\left(2\frac{1}{2}\right)\times \left(-1\frac{1}{5}\right)$；

⑶ $\left(-8.76\right)\times 2.5\times \left(-4\right)$； ⑷ $\left(-\frac{7}{8}\right)\times 15\times \left(-\frac{8}{7}\right)$；

⑸$\left(-\frac{3}{8}\right)\times \left(-16\right)\times \left(+0.5\right)\times \left(-4\right)$； ⑹$\left(-60\right)\times \left(\frac{3}{4}-\frac{11}{15}-\frac{5}{12}\right)$；

⑺$\left(-8\right)÷\left(-\frac{16}{5}\right)$； ⑻$\left(+\frac{5}{8}\right)÷\left(-5\right)$；

⑼ $\left(-8\right)÷\left(-1\frac{1}{9}\right)\times \left(0.125\right)$； ⑽ $\left(-3\frac{3}{4}\right)÷\left(-\frac{4}{5}\right)÷\left(-\frac{1}{6}\right)$．

⑾ $\left[\left(-1\frac{2}{5}\right)+\left(-2\frac{1}{3}\right)-\left(-1\frac{3}{4}\right)\right]÷\left(-7\right)$； ⑿ $\left(\frac{25}{72}-\frac{5}{108}+\frac{5}{144}\right)\times \left(\frac{9}{25}-1\frac{4}{5}\right)$．