第17讲数形结合求参数

知识模块 01 · 原讲小节

数形结合求参数

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

数形结合是通过“以形助数”或“以数助形”，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机结合起来，解决问题的一种数学思想方法．它能使抽象问题具体化、复杂问题简单化．

数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相对应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息转化为代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的问题．

对于解不等式来说，数轴是一个必不可少的工具．特别是我们在解含参数不等式的时候，利用数轴是最直接、最直观的．

此外，还可利用口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．

题目SH-022-001

⑴关于 $x$ 的一次不等式组 ${\begin{matrix} x > a \\ x > 4 \end{matrix}$ 的解集是 $x > a$ ，则 $a$ 的取值范围是__________．

⑵关于 $x$ 的一次不等式组 ${\begin{matrix} x < a \\ x < 4 \end{matrix}$ 的解集是 $x < a$ ，则 $a$ 的取值范围是__________．

⑶关于 $x$ 的一次不等式组 ${\begin{matrix} x > a \\ x < b \end{matrix}$ 的解集是 $a < x < b$ ，则 $a$ ， $b$ 的大小关系是__________．

⑷关于 $x$ 的一次不等式组 ${\begin{matrix} x > a \\ x < 4 \end{matrix}$ 无解，则 $a$ 的取值范围是__________．

⑸关于 $x$ 的一次不等式组 ${\begin{matrix} x \geq a \\ x \leq 4 \end{matrix}$ 无解，则 $a$ 的取值范围是__________．

题目SH-022-002难度 B · 巩固

⑴不等式组 ${\begin{matrix} \frac{1}{3} x - 1 < 2 m \\ 2 x - m < 6 \end{matrix}$ 的解集是 $x < 6 m + 3$ ，求 $m$ 的取值范围．

⑵若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{matrix} \frac{x}{2} - 2 \geq x + 9 \\ a (x - 1) > a x - x + 5 \end{matrix}$ 无解，求 $a$ 的取值范围．

题目SH-022-003难度 C · 综合

关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{matrix} x + 15 > 2 x - 6 \\ 2 x + 2 < 3 x + 3 a \end{matrix}$ 只有 $4$ 个整数解，则 $a$ 的取值范围是．

注：关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{matrix} \frac{x + 15}{2} > x - 3 \\ \frac{2 x + 2}{3} < x + a \end{matrix}$ 只有 $4$ 个整数解，求 $a$ 的取值范围．——10世外六下期中

题目SH-022-004难度 D · 提升

常数 $a$ 取何值时，不等式组 ${\begin{matrix} 2 \leq \frac{x + 2}{3} < \frac{17}{3} \\ \frac{x - a}{3} \geq 0 \end{matrix}$ 只有 $2$ 个整数解？

题目SH-022-005难度 C · 综合

关于 $x$ 的不等式 $\frac{4 x + a}{3} > 1$ 的解都是不等式 $- \frac{2 x + 1}{3} < 0$ 的解，则 $a$ 的取值范围是多少？

题目SH-022-006难度 C · 综合

已知当 $1 < x < 3$ 时，关于 $x$ 的不等式 $x + \frac{3 - a}{2} > \frac{2 x - 1}{5}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

Tip：本问题有另一种问法：关于 $x$ 的不等式 $x + \frac{3 - a}{2} > \frac{2 x - 1}{5}$ 对于 $1 < x < 3$ 恒成立

题目SH-022-007难度 D · 提升

已知不等式 ${\begin{matrix} x - a < 1 \\ x - a > 0 \end{matrix}$ 的解集中任意 $x$ 的值均不在 $2 \leq x \leq 5$ 的范围内，求 $a$ 的取值范围．

题目SH-022-008难度 D · 提升

已知关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{matrix} \frac{1}{4} x + 2 < x - \frac{1}{4} \\ x > a \end{matrix}$ 的解集中任意 $x$ 的值均是不等式 ${\begin{matrix} x > 4 \\ \frac{1}{2} (2 x - 1) - \frac{1}{3} \geq \frac{8}{3} \end{matrix}$ 的解，则 $a$ 的取值范围是．

题目SH-022-009

若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{matrix} x < a \\ x > b \end{matrix}$ 的解集是无解，则 $a$ 、 $b$ 的大小关系是（）．

A． $a < b$ B． $a > b$ C． $a \leq b$ D． $a \geq b$

题目SH-022-010

如果不等式 $3 x - m \leq 0$ 的正整数解是 $1$ 、 $2$ 、 $3$ ，那么整数 $m$ 的可取值是_________．

试确定 $a$ 的取值范围，使不等式组 ${\begin{matrix} x + \frac{x + 1}{4} > 1 \\ 1.5 a - \frac{1}{2} (x + 1) > \frac{1}{2} (a - x) + 0.5 (2 x - 1) \end{matrix}$ 只有一个整数解．

题目SH-022-011

关于 $x$ 的不等式 ${\begin{matrix} 3 x - a > 0 \\ 3 x - a \leq 5 \end{matrix}$ 的正整数解不含有 $2, 3, 4, \dots, 9$ 中的任一个自然数，则字母 $a$ 的取值范围为_______________．

题目SH-022-012

如果关于 $x$ 的不等式 $3 x - k + 1 \leq 0$ 只有 $2$ 个正整数解，则 $k$ 的取值范围是_____________．

题目SH-022-013

如果 $x = 4$ ，是 $a x + 3 < 1 - a$ 的一个解，求 $a$ 的取值范围．
已知不等式组 ${\begin{matrix} x > a \\ \frac{x - 1}{3} < \frac{x - 2}{2} + 2 \end{matrix}$ 的解集为 $x > - 8$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．
若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{matrix} \frac{2 x - 1}{3} > x - 1 \\ x - k < 0 \end{matrix}$ 的解集为 $x < 2$ ，求 $k$ 的取值范围？
若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{matrix} \frac{x + 4}{3} > \frac{x}{2} + 1 \\ x + a < 0 \end{matrix}$ 的解集为 $x < 2$ ，试求出 $a$ 的取值范围．
已知不等式 ${\begin{matrix} x - a < 6 \\ x - a > 1 \end{matrix}$ 的解集中任意 $x$ 的值均为不在 $- 2 \leq x \leq 6$ 的范围内，求 $a$ 的取值范围．
已知关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{matrix} x - a > 0 \\ 3 - 2 x > 0 \end{matrix}$ 的整数解共有 $6$ 个，求 $a$ 的取值范围．

题目SH-022-014

已知关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{matrix} \frac{1}{4} x + 2 < x - \frac{1}{4} \\ x > a \end{matrix}$ 的解集是 $x > 3$ ，则 $a$ 的取值范围是．
已知关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{matrix} - 2 < x < 2 \\ x > a \end{matrix}$ 无解，求 $a$ 取值范围．
⑴关于 $x$ 的不等式 $4 x < a$ 的正整数解只有 $4$ 个，求 $a$ 的取值范围．

⑵已知关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{matrix} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} a \leq 0 \\ \frac{3}{2} - x > \frac{1}{2} \end{matrix}$ 只有六个整数解，则 $a$ 的取值范围是？

题目SH-022-015

⑴求关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{matrix} x - a < 0 \dots \dots ① \\ \frac{x + 1}{2} + \frac{x + 2}{3} < x \dots \dots ② \end{matrix}$ 的解集；
已知关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{matrix} 3 (x - a) < 6 - 2 a \\ a - 2 x < 0 \end{matrix}$ ；

①当 $a = - 3$ 时，求该不等式组的非负整数解．

②若原不等式组的非负整数解只有 $0, 1$ ．求 $a$ 的取值范围．