第3讲 二模复习之翻折与旋转

勾股定理与锐角三角比

如图，已知在$△ABC$中，$AB=AC$，$tanB=\frac{1}{3}$，将$△ABC$翻折，使点$C$与点$A$重合，折痕$DE$交边$BC$于点$D$，交边$AC$于点$E$，那么$\frac{BD}{DC}$的值为________．

锐角三角形

如图，$\text{R}\text{t}△ABC$中，$\angle C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，$D$是$AB$的中点，$P$是直线$BC$上一点，把$△BDP$沿$PD$所在的直线翻折后，点$B$落在点$Q$处，如果$QD\perp BC$，那么点$P$和点$B$间的距离等于．

在矩形$ABCD$中，$AB=4，AD=3$，点$P$在$AB$上．若将$△DAP$沿$DP$折叠，使点$A$落在矩形对角线上的$A\text{'}$处，则$AP$的长为________．

三垂直相似

点$E$是矩形$ABCD$边$CD$所在直线上一点，且$DE=\frac{1}{3}CD$，将矩形$ABCD$沿某直线折叠，使点$B$与点$E$重合，若$AB=3，AD=4$，则折痕的长为________．

勾股定理

如图，一张矩形纸片$ABCD$，其中$AD=8cm$，$AB=6cm$，先沿对角线$BD$对折，点$C$落在点$C\text{'}$的位置，$BC\text{'}$交$AD$于点$G$；再折叠一次，使点$D$与点$A$重合，得折痕$EN$，$EN$交$AD$于点$M$，求$EM$的长．

勾股定理

如图，平面直角坐标系$xOy$中，矩形$OABC$的边$OA$、$OC$分别落在$x$、$y$轴上，点$B$坐标为$\left(6,4\right)$，反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图像与$AB$边交于点$D$，与$BC$边交于点$E$，联结$DE$，将$△BDE$沿$DE$翻折至$△B\text{'}DE$处，点$B\text{'}$恰好落在正比例函数$y=kx$图像上，则$k$的值是___________ .

如图，在菱形纸片$ABCD$中，$AB=2$，$\angle A=60°$，将菱形纸片翻折，使点$A$落在$CD$的中点$E$处，折痕为$FG$，点$F$、$G$分别在边$AB$、$AD$上，则$cos\angle EFG$的值­_________________ .

已知平面直角坐标系内两点$A(\sqrt{3},1)$， $B(1,\sqrt{3})$，将$△AOB$绕点$O$旋转$150°$得到$△A\text{'}OB\text{'}$，则此时点$A$的对应点$A\text{'}$的坐标为．

如图，已知梯形$ABCD$中，$AD\parallel BC$，$\angle B=90°$，$AD=3$，$BC=5$，$AB=1$，把线段$CD$绕点$D$逆时针旋转$90°$到$DE$位置，联结$AE$，则$AE$的长为．

旋转的性质+直角三角形的判定

如图，已知钝角三角形$ABC$，$\angle A=35°$，$OC$为边$AB$上的中线，将$△AOC$绕着点$O$顺时针旋转，点$C$落在$BC$边上的点$C\text{'}$处，点$A$落在点$A\text{'}$处，联结$BA\text{'}$，如果点$A$、$C$、$A\text{'}$在同一直线上，那么$\angle BA\text{'}C\text{'}$的度数为．

旋转相似

如图，在$△ABC$中，$AB=AC=5$，$BC=8$，将$△ABC$绕着点$B$旋转的$△A\text{'}BC\text{'}$，点$A$的对应点$A\text{'}$，点$C$的对应点$C\text{'}$．如果点$A\text{'}$在$BC$边上，那么点$C$和点$C\text{'}$之间的距离等于．

旋转角与锐角三角比

如图，在等腰$△ABC$中，底边$BC$的中点是点$D$，底角的正切值是$\frac{1}{3}$，将该等腰三角形绕其腰$AC$上的中点$M$顺时针旋转，使旋转后的点$D$与$A$重合，得到$△A\text{'}B\text{'}C\text{'}$，如果旋转后的底边$B\text{'}C\text{'}$与$BC$交于点$N$，那么$\angle ANB$的正切值等于__________ .

旋转角与锐角三角比

如图，在$△ABC$中，$\angle C=90°$，$AB=10$，$tanB=\frac{3}{4}$，点$M$是$AB$边的中点，将$△ABC$绕着点$M$旋转，使点$C$与点$A$重合，点$A$与点$D$重合，点$B$与点$E$重合，得到$△DEA$，且$AE$交$CB$于点$P$，那么线段$CP$的长是__________ .

【$2013$奉贤二模】$\frac{7}{4}$

om]

将边长为$8cm$的正方形$ABCD$折叠，使点$D$落在$BC$中点$E$处，点$A$落在$F$处，折痕为$MN$，则$MN$的长度为．

如图，在直角梯形纸片$ABCD$中，$AD//BC$，$\angle A=90^{\circ }$，$\angle C=30^{\circ }$．折叠纸片使$BC$经过点$D$，点$C$落在点$E$处，$BF$是折痕，且$BF=CF=8$

⑴求$\angle BDF$的度数；

⑵求$AB$的长．

如图，$△ABC$中，$\angle BAC=90°$，$AB=3$，$AB=4$，点$D$是$BC$的中点，将$△ABD$沿$AD$翻折得到$△AED$，连$CE$，求线段$CE$．

如图，在$△ABC$中，$\angle C=90°$，$D$为边$AC$上的点，$\angle A=\angle DBC$，将线段$BD$绕点$B$旋转，使$D$落在线段$AC$延长线上，记作点$E$，已知$BC=2$，$AD=3$，则$DE=$ ．

Com]

⑴ 如图，在$Rt△ABC$中，$\angle ACB=90°$，$\angle ABC=62°$，将$△ABC$绕顶点$C$旋转到$△A\text{'}B\text{'}C$的位置，使顶点$B$恰好落在斜边$A\text{'}B\text{'}$上．设$A\text{'}C$与$AB$相交于点$D$，则$\angle BDC$的度数是．

如图，点$G$是$△ABC$的重心，$CG$的延长线交$AB$于点$D$，$GA=5cm$，$GC=4cm$，$GB=3cm$，将$△ADG$绕点$D$旋转$180°$得到$△BDE$，则$DE=$ $cm$，$△ABC$的面积$=$ $c{m}^2$．

如图①，$△ABC$中，$\angle ABC=45°$，$AH\perp BC$于点$H$，点$D$在$AH$上，且$DH=CH$，联结$BD$．

⑴求证：$BD=AC$；

⑴将$△BHD$绕点$H$旋转，得到$△EHF$（点$B$，$D$分别与点$E$，$F$对应），联结$AE$．

①如图②，当点$F$落在$AC$上时，（$F$不与$C$重合），若$BC=4$，$tanC=3$，求$AE$的长；

②如图③，当$△EHF$是由$△BHD$绕点$H$逆时针旋转$30°$得到时，设射线$CF$与分别$AH$、$AE$相交于点$Q$、$G$，联结$GH$，试探究线段$GH$与$EF$之间满足的数量关系，并说明理由．

图①图②图③

已知：如图$1$，$A\left(0,5\right)$，$C\left(\frac{20}{3},0\right)$，四边形$AOCD$为矩形，$OA=5$,$OC=\frac{20}{3}$,$AE$垂直于对角线$OD$于$E$，点$F$是点$E$关于$OA$的对称点，连$AF$、$OF$．

⑴求$AF$和$OF$的长；

⑵如图$2$，将$△OAF$绕点$O$顺时针旋转一个角$\alpha$$\left(0°<\alpha <180°\right)$，记旋转中的$△OAF$为$△OA\text{'}F\text{'}$，在旋转过程中，设$A\text{'}F\text{'}$所在的直线与线段$AD$交于点$P$，与线段$OD$交于点$Q$，是否存在这样的$P$、$Q$两点，使$△DPQ$为等腰三角形？若存在，求出$AP$的长；若不存在，请说明理由．

图$1$ 图$2$

如图，抛物线$y=a{x}^2+bx+c$经过$A(-\sqrt{3},0)$、$B(3\sqrt{3},0)$、$C(0,3)$三点，线段$BC$与抛物线的对称轴相交于点$D$．设抛物线的顶点为$P$，联结$PA$、$AD$、$DP$，线段$AD$与$y$轴相交于点$E$．