几何5-圆 · 第 140 讲

第15讲圆与圆的位置关系

16 道题6 个知识模块答案解析精校中

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知识模块 01 · 原讲小节

连心线

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

1．定义：经过两个圆的圆心的直线叫做连心线．

2．性质：圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴．两圆的连心线是这两个圆所成图形的对称轴．

如果两个圆相交，那么它们的两个交点关于连心线对称，于是有：

定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．

定理：相切两圆的连心线经过切点．（反证法可证明）

三、设 $⊙ O_{1}$ 、 $⊙ O_{2}$ 的半径分别为 $R$ 、 $r$ （其中 $R > r$ ），两圆圆心距为 $d$ ，则两圆位置关系如下表：

分类	位置关系	图形	定义	性质及判定
相离	外离		两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．	$d > R + r \Leftrightarrow$ 外离
相离	内含		两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部．两圆同心是两圆内含的一种特例．	$0 \leq d < R - r \Leftrightarrow$ 内含
相切	外切		两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．	$d = R + r \Leftrightarrow$ 外切
相切	内切		两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．	$0 < d = R - r \Leftrightarrow$ 内切
相交	相交		两个圆有两个公共点．	$R - r < d < R + r \Leftrightarrow$ 相交

注：1．相切包括内切与外切两种情况．（注意分类讨论）

2．两圆为同心圆是两圆内含的一种特殊情况．
3．等圆不可能内切和内含．
注：两圆关系用到的工具有：
⑴ 定义+勾股定理
抓住三要素：两圆半径 $R$ 、 $r$ ； $d$ --圆心距

建立关系式：外切（ $d = R + r$ ），内切（ $d = | R - r |$ ），

然后通过寻找或是构造直角三角形，运用勾股定理．

⑵ 锐角三角比（相等的角的锐角三角比是相同的）
寻找相等的角，或是通过添加高或是平行线构造相等的角，运用锐角三角比

⑴ 已知 $⊙ O_{1}$ 和 $⊙ O_{2}$ 的半径长分别为 $6$ 和 $7$ ， $O_{1} O_{2} = 0.5$ ，则 $⊙ O_{1}$ 和 $⊙ O_{2}$ 的位置关系是________．

⑵ 已知 $⊙ O_{1}$ 和 $⊙ O_{2}$ 的半径长分别为 $6$ 和 $7$ ， $O_{1} O_{2} = 14$ ，则 $⊙ O_{1}$ 和 $⊙ O_{2}$ 的位置关系是________．

⑶ $⊙ O_{1}$ 和 $⊙ O_{2}$ 相切， $⊙ O_{1}$ 的直径为 $9 c m$ ， $⊙ O_{2}$ 的直径为 $4 c m$ ．则 $O_{1} O_{2}$ 的长是________．

⑷ $⊙ O_{1}$ 和 $⊙ O_{2}$ 相交， $⊙ O_{1}$ 的半径为 $5 c m$ ， $⊙ O_{2}$ 的半径为 $6 c m$ ．则圆心距 $d$ 的取值范围是________．

题目SH-140-001

已知 $⊙ O_{1}$ 与 $⊙ O_{2}$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $A B = 4 c m$ ，两圆半径分别为 $6 c m$ 和 $4 c m$ ，求 $O_{1} O_{2}$ 的长．

题目SH-140-002

⑴ 如图，正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 边上一点．以 $E$ 为圆心， $E C$ 为半径的半圆与以 $A$ 为圆心， $A B$ 为半径的圆弧外切，则 $s i n ∠ E A B$ 的值为________．

⑵ 某人用如下方法测一钢管的内径：将一小段钢管竖直放在平台上，向内放入两个半径为 $5 c m$ 的钢球，测得上面一个钢球顶部高 $D C = 16 c m$ （钢管的轴截面如图所示），则钢管的内直径 $A D$ 的长为______ $c m$ ．

题目SH-140-003

⑶ 如图， $P Q = 10$ ，以 $P Q$ 为直径的圆与一个以 $20$ 为半径的 $⊙ O$ 内切于点 $P$ ，与正方形 $A B C D$ 切于点 $Q$ ，其中 $A$ 、 $B$ 两点在 $⊙ O$ 上．求 $A B =$ ________．

题目SH-140-004

【 $2021$ 金山】

已知：如图， $⊙ O_{1}$ 与 $⊙ O_{2}$ 外切于点 $T$ ，经过点 $T$ 的直线与 $⊙ O_{1}$ 、 $⊙ O_{2}$ 分别相交于点 $A$ 和点 $B$ ．

⑴求证： $O_{1} A ∥ O_{2} B$ ；

⑵若 $O_{1} A = 2$ ， $O_{2} B = 3$ ， $A B = 7$ ，求 $A T$ 的长．

正多边形与圆

知识模块 02 · 原讲小节

正 n 边形的定义

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知识讲解定义、性质与方法

各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形．

如果一个正多边形有 $n$ 条边，那么这个正多边形叫做正 $n$ 边形．

知识模块 03 · 原讲小节

正 n 边形有关的概念

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题目SH-140-005

正 $n$ 边形的中心：一个正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心( $O$ 点 )．

正 $n$ 边形的半径：外接圆的半径（ $R$ ）．

正 $n$ 边形的边心距：正多边形的内切圆的半径长（ $r$ ）

正 $n$ 边形的中心角：正多边形的一边所对关于外接圆的圆心角，中心角是 $\frac{360 °}{n}$ ．

正 $n$ 边形的一个内角的度数是： $\frac{(n - 2) \cdot 180 °}{n}$ ．

正 $n$ 边形的外角的度数是： $\frac{360 °}{n}$ ．

正多边形的中心角与外角的大小关系是相等．

知识模块 04 · 原讲小节

正 n 边形的性质及对称性

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知识讲解定义、性质与方法

正 $n$ 边形都是轴对称图形，一个正 $n$ 边形共有 $n$ 条对称轴， $n$ 条对称轴交于中心．

正 $n$ 边形都是旋转对称图形：边数为奇数的正多边形不是中心对称图形，边数是偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心就是对称中心．

判断正误

知识模块 05 · 原讲小节

①不是正多边形的多边形各角不相等（）

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知识讲解定义、性质与方法

②正 $n$ 边形的对称轴只有 $n$ 条（）

知识模块 06 · 原讲小节

③正多边形一定是中心对称图形（）

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知识讲解定义、性质与方法

④各角均为 $120 °$ 的六边形是正六边形（）

⑴正十边形的中心角等于________度．

⑵正六边形的边心距与半径的比值为________（结果保留根号）.

⑶如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的 $\sqrt{2}$ 倍，那么这个正多边形的边数是 $($ 　 $)$

$A$ ． $3$ $B$ ． $4$ $C$ ． $5$ $D$ ．无法确定

⑴ 在 $360 °$ 的范围内，一个正 $n$ 边形绕它的中心至少转________度才能和原来的正 $n$ 边形合．

题目SH-140-006

⑵ 如图，边长为 $1$ 的正五边形 $A B C D E$ ，顶点 $A$ 、 $B$ 在半径为 $1$ 的 $⊙ O$ 上，其它各点在圆内，将正五边形 $A B C D E$ 绕点 $A$ 逆时针旋转，当点 $E$ 第一次落在圆上时，则点 $C$ 转过的度数为________．

题目SH-140-007

已知圆内接正六边形面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求该圆外切正方形边长．

题目SH-140-008

如图， $P Q$ 、 $P O_{1}$ 、 $O_{1} Q$ 分别是以 $O_{1}$ 、 $O_{2}$ 、 $O_{3}$ 为圆心的半圆 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 、 $C_{3}$ 的直径，圆 $C_{4}$ 内切于半圆 $C_{1}$ 及外切于半圆 $C_{2}$ 、 $C_{3}$ ．若 $P Q = 24$ ，求圆 $C_{4}$ 的面积．

题目SH-140-009

评定： $lALPDgQ9rN7UgP_M2s0Eaw_1131_218$

题目SH-140-010

已知 $⊙ O_{1}$ 和 $⊙ O_{2}$ 的半径长分别为 $3$ 和 $4$ ，根据下列条件判断 $⊙ O_{1}$ 和 $⊙ O_{2}$ 的位置关系：

⑴ $O_{1} O_{2} = 7$ ⑵ $O_{1} O_{2} = 4$ ⑶ $O_{1} O_{2} = 0.5$ ．

⑴ 已知两圆半径分别为 $8$ 、 $6$ ，若两圆内切，则圆心距为________；若两圆外切，则圆心距为________．

⑵ 已知两圆的圆心距是 $3$ ，它们的半径分别是方程 $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ 的两个根，那么这两个圆的位置关系是________．

⑶ 已知两圆的圆心距 $d = 8$ ，两圆的半径长是方程 $x^{2} - 8 x + 1 = 0$ 的两根，则这两圆的位置关系是______．

题目SH-140-011

⑷ 已知点 $A (4, 0)$ ， $B (0, 3)$ ，如果 $⊙ A$ 的半径为 $1$ ， $⊙ B$ 的半径为 $6$ ，则 $⊙ A$ 与 $⊙ B$ 的位置关系是（）

A．内切； B．相交； C．外切； D．外离．

⑴ 如图， $⊙ A$ 、 $⊙ B$ 的半径分别为 $1 c m$ 、 $2 c m$ ，圆心距 $A B$ 为 $5 c m$ ．将 $⊙ A$ 由图示位置沿直线 $A B$ 向右平移．当该圆与 $⊙ B$ 内切时， $⊙ A$ 平移的距离为________ $c m$ ．

题目SH-140-012

⑵ 如图， $⊙ O_{1}$ ， $⊙ O_{2}$ ， $⊙ O_{3}$ 两两相外切， $⊙ O_{1}$ 的半径 $r_{1} = 1$ ， $⊙ O_{2}$ 的半径 $r_{2} = 2$ ， $⊙ O_{3}$ 的半径 $r_{3} = 3$ ，则 $△ O_{1} O_{2} O_{3}$ 是（）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形

题目SH-140-013

⑴如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 4 c m$ ， $A C = 3 c m$ ， $⊙ O$ 是以 $B C$ 为直径的圆，如果 $⊙ O$ 与 $⊙ A$ 相内切，那么 $⊙ A$ 的半径为________．

题目SH-140-014

⑵半径分别为 $8 c m$ 与 $6 c m$ 的 $⊙ O_{1}$ 与 $⊙ O_{2}$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，圆心距 $O_{1} O_{2}$ 的长为 $10 c m$ ，那么公共弦 $A B$ 的长为________．

如图， $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接正方形， $P Q R S$ 是半圆的内接正方形，那么正方形 $P Q R S$ 与正方形 $A B C D$ 的面积之比为________．

题目SH-140-015

已知圆外切正六边形的周长为 $4 \sqrt{3} c m$ ，求该圆外切正方形的边长．

把两个半径为 $5$ 和一个半径为 $8$ 的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于________．

题目SH-140-016

如图， $∠ C A B = ∠ A B D = 90 °$ ， $A B = A C + B D$ ， $A D$ 交 $B C$ 于 $P$ ，作 $⊙ P$ 使其与 $A B$ 相切．试判断以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $⊙ P$ 的位置关系，并加以证明．