第8讲 梯形综合

⑴梯形$ABCD$中，$AD\parallel BC$，$AD=1$，$BC=4$，$\angle C=70°$，$\angle B=40°$，则$AB$的长为．

⑵在梯形$ABCD$中，$AB\parallel CD$，$\angle A=60°$，$\angle B=30°$，$AD=CD=6$，则$AB$的长度为．（总结：两下底角和为$90°\Rightarrow$平移腰或延长腰）

⑶如图，在梯形$ABCD$中，$\angle B=52°$，$\angle C=38°$，$AD=6$，$BC=10$，点$E$、$F$分别是$AD$、$BC$的中点，则$EF$的长度．

（总结：已知上底、下底中点$\Rightarrow$平移腰）

如图，在$Rt△ABC$中，$\angle ACB=90°$，$\angle B=60°$，$BC=2$．点$O$是$AC$的中点，过点$O$的直线$l$从与$AC$重合的位置开始，绕点$O$作逆时针旋转，交$AB$边于点$D$. 过点$C$作$CE\parallel AB$交直线$l$于点$E$，设直线$l$的旋转角为$\alpha$．

⑴①当$\alpha$=时，四边形$EDBC$是等腰梯形，此时$AD$的长为____；

②当$\alpha$=时，四边形$EDBC$是直角梯形，此时$AD$的长为____；

⑵当$\alpha =90°$时，判断四边形$EDBC$是否为菱形，并说明理由．

⑴求证：$BE=AD$；

⑵求证：$AC$是线段$ED$的垂直平分线；

⑶$△DBC$是等腰三角形吗？并说明理由．

已知：如图，等腰梯形$ABCD$中，$AB\parallel CD$，对角线$AC\perp BD$于$O$，$BC=13\sqrt{2}$，设$AB=a$，$CD=b$，$a+b=34$．求$a$、$b$的值．

$M$是$AB$边的中点，

⑴求证：$CM\perp DM$；⑵求点$M$到$CD$边的距离．

⑴求证：$CM\perp DM$；

⑵求点$M$到$CD$边的距离．(用$a,b$的式子表示)

如图所示，梯形$ABCD$中，$AB\parallel DC$，$E$是$AD$的中点．

⑴当$BE\perp CE$时，$AB$、$DC$、$BC$满足什么数量关系：．

⑵$BC=AB+DC$，$BE$、$CE$满足什么位置关系：．

⑶$BC=AB+DC$时，$\angle ABE$、$\angle CBE$满足什么数量关系：．

⑷$\angle DCE=\angle BCE$，$AB$、$DC$、$BC$满足什么数量关系：．

$CD$中点，联结$AE$，且$AE=2\sqrt{3}$，$\angle DAE=30°$，作$AF\perp AE$交$BC$于$F$，求$BF$的长度．

如图，在梯形$ABCD$中，$AD\text{/}\text{/}BC$，中位线$EF=\frac{1}{2}AB$，下列结论：

①$EF=\frac{1}{2}\left(AD+BC\right)$；②$\angle AFD+\angle BFC=90°$；③$S_{△ABF}=\frac{1}{2}{S}_{梯形ABCD}$；④ $BF$平分$\angle ABC$．其中正确的有________．

四边形$ABCD$中，$AB=CD$，$E、F$分别是$BC、AD$的中点，联结$EF$并延长，

分别交$BA、CD$的延长线于点$G、H$．求证：$\angle BGE=\angle CHE$ ．

则$\angle A=$____________．

⑴求证：$AF=BE$；

⑵请你猜测$\angle BPF$的度数，并证明你的结论．

⑶如图，在梯形$ABCD$中，$AD\parallel BC$，$\angle B+\angle C=90°$，$E$、$M$、$F$、$N$分别为$AB$、$BC$、$CD$、$DA$的中点，已知$BC=7$，$MN=3$，则$EF$的值为____________．

⑴求$EG$的长；

⑵求证：$CF=AB+AF$．