第3讲 绝对值（一）

3. 引申结论：$\frac{a}{\left|a\right|}=\frac{|a|}{a}=\{\begin{array}{c}1 \left(a>0\right)\\ -1 \left(a<0\right)\end{array}$

4. 绝对值化简（去绝对值）：⑴ 结合已知条件根据性质进行化简；

⑵ 根据数轴进行化简；

⑶ 零点分段法进行化简．

⑴如果$\left|a\right|=a$，则$a$是（ ）

A．正数； B．负数； C．非正数； D．非负数．

⑵已知$\left|a\right|=3$，$\left|b\right|=2$，且$a>b$，求$a+b$的值．

⑶已知$\left|a\right|=8$，$\left|b\right|=2$，且$|a-b|=b-a$，求$a$和$b$的值．

⑴已知$-\frac{5}{2}<x<5$，化简：$\left|2x+5\right|-\left|x-5\right|-\left|x^2+1\right|+x^2$；

⑵已知$-\frac{1}{2}<x<2$，化简：$\left|2-\left|7-\left|2x+1\right|\right|\right|$．

设$a,b,c$为非零实数，且$\left|a\right|+a=0$，$\left|ab\right|=ab$，$\left|c\right|-c=0$．化简$\left|b\right|-\left|a+b\right|-\left|c-b\right|+\left|a-c\right|$．

⑴已知$x>0$，$y<0$，$z<0$，且$\left|x\right|>\left|y\right|$，$\left|z\right|>\left|x\right|$，那么$x$，$y$，$z$的大小关系为___________．

⑵已知$x>0$，$y>0$，$z<0$，$\left|z\right|>\left|x\right|>\left|y\right|$，那么$\left|x+z\right|-\left|y+z\right|-\left|x+y\right|=$___________．

⑴$a$，$b$，$c$为非零有理数，且$a+b+c=0$，则$\frac{a}{\left|a\right|}+\frac{b}{\left|b\right|}+\frac{c}{\left|c\right|}$的值等于多少？

⑵$a$，$b$，$c$，$d$为非零有理数，且$\frac{\left|abcd\right|}{abcd}=-1$，求$\frac{\left|a\right|}{a}+\frac{\left|b\right|}{b}+\frac{\left|c\right|}{c}+\frac{\left|d\right|}{d}$的值．

⑶若$3a+\left|7a-4\right|+\left|4a-1\right|$化简后的值是一个定值，求$a$的取值范围．

零点分段法

零点分段讨论的一般步骤：

找零点：先求得令各绝对值式子为零的点，即为零点

分段：按照零点将数轴分为若干段

定符号：判断在各段上时，绝对值内式子的符号

去绝对值：去绝对值内化简求值．

化简：$\left|m\right|+\left|m-1\right|+\left|m-2\right|$；

⑴ 化简：$\left|x-5\right|+2x-7$；

⑵ 化简：$|x-5|+|2x-7|$．

化简：$\left|x+3\right|+\left|3-x\right|-\frac{9}{2}\left|x\right|+5$．

⑴ 求$\left|m\right|+\left|m-1\right|+\left|m-2\right|$的最小值．

⑵ 求$\left|x+3\right|+\left|3-x\right|-\frac{9}{2}\left|x\right|+5$的最大值．

已知$\left|a+b\right|+\left|a-b\right|=2b$，在数轴上给出关于$a$，$b$的四种情况如图所示，则成立的是________．

① ②③ ④

已知$x<-3$，化简$\left|3+\left|2-\left|1+x\right|\right|\right|=$__________．

已知有理数$a$、$b$、$c$在数轴上的位置如图所示，

有理数$a$、$b$、$c$在数轴上的位置如图所示，则$\left|a-b\right|-2\left|b+c\right|-\left|b-c\right|$=____________．

4. 已知$x<0<z，xy>0, \left|y\right|>\left|z\right|>\left|x\right|$，那么$\left|x+z\right|+\left|y+z\right|-\left|x-y\right|=$___________．

5. 下列可能正确的是（）

A．$\frac{\left|a\right|}{a}+\frac{b}{\left|b\right|}=1$； B．$\frac{\left|a\right|}{a}+\frac{\left|b\right|}{b}+\frac{\left|c\right|}{c}=2$；

C．$\frac{a}{\left|a\right|}+\frac{b}{\left|b\right|}+\frac{\left|c\right|}{c}+\frac{\left|d\right|}{d}=3$； D．$\frac{\left|a\right|}{a}+\frac{\left|b\right|}{b}+\frac{\left|c\right|}{c}+\frac{\left|d\right|}{d}+\left|\frac{a+b+c+d}{abcd}\right|=4$．

化简：⑴$\left|x+5\right|+\left|2x-3\right|$；⑵$\left|x-1\right|+\left|x-3\right|-|x+4|$．

1. 已知$$$\frac{a}{\left|a\right|}+\frac{\left|b\right|}{b}+\frac{c}{\left|c\right|}=1$，求${\left(\frac{\left|abc\right|}{abc}\right)}^{2021}÷\left(\frac{b}{\left|a\right|}\times \frac{c}{\left|b\right|}\times \frac{a}{\left|c\right|}\right)$的值．

2. ⑴ 若$a$，$b$，$c$均不为零，求$\frac{\left|a\right|}{a}+\frac{\left|b\right|}{b}+\frac{c}{\left|c\right|}$．

⑵若$0<a<1$，$-2<b<-1$，则$\frac{\left|a-1\right|}{a-1}-\frac{\left|b+2\right|}{b+2}+\frac{\left|a+b\right|}{a+b}$的值是（）

A．$0$ B．$-1$ C．$-3$ D．$-4$

⑴若$\left|x\right|=-x$，化简$\frac{\left|\left|x\right|-2x\right|}{\left|x-3\right|-\left|x\right|}$；

⑵若$a<0$，试化简$\frac{2a-\left|3a\right|}{\left|\left|3a\right|-a\right|}$．

已知$a$，$b$、$c$是有理数，

⑴当$ab>0$，$a+b<0$时，求$\frac{a}{\left|a\right|}+\frac{b}{\left|b\right|}$的值；

⑵当$abc\ne 0$时，求$\frac{a}{\left|a\right|}+\frac{b}{\left|b\right|}+\frac{c}{\left|c\right|}$的值；

⑶当$a+b+c=0$，$abc<0$，$\frac{b+c}{\left|a\right|}+\frac{a+c}{\left|b\right|}-\frac{a+b}{\left|c\right|}$的值．

化简：$\left|3-2x\right|-\frac{3}{2}\left|x+3\right|+\left|x-3\right|-2$．