第1讲平行四边形 · 章法数学

知识模块 01 · 原讲小节

平行四边形的定义与性质

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

定义	示例剖析
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（如图）．平行四边形的表示：一般按一定的方向依次表示各顶点．	四边形 $A B C D$ 是平行四边形 $\Rightarrow {\begin{matrix} A B ∥ C D \\ A D ∥ B C \end{matrix}$
中心对称图形：在平面内，一个图形绕某点旋转 $180 °$ ，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形. 中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分.
性质	示例剖析
① 平行四边形的对边相等；	四边形 $A B C D$ 为平行四边形 $\Rightarrow$ $A B = D C$ 且 $A D = B C$
② 平行四边形的对角相等；	四边形 $A B C D$ 为平行四边形 $\Rightarrow ∠ A = ∠ C$ ， $∠ B = ∠ D$ ．
③ 平行四边形对角线互相平分	四边形 $A B C D$ 为平行四边形 $\Rightarrow O A = O C$ ， $O B = O D$ ．
④ 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．
重要结论	示例剖析
Ⅰ．联结四边上任意一点和平行四边形的对称中心，与另一条边相交于一点，则这两个点关于平行四边形的对称中心对称． Ⅱ．经过平行四边形对称中心的任意一条直线都把平行四边形分成面积和周长相等的两部分．	Ⅰ．四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $E$ 、 $F$ 在 $A D ， B C$ 上，且线段 $E F$ 过点 $O$ $\Rightarrow O E = O F$ Ⅱ. $S_{四边形 A B F E} = S_{四边形 D E F C}$ $C_{四边形 A B F E} = C_{四边形 D E F C}$
Ⅲ．四边形的知识是三角形知识的延伸，所以在解决平行四边形相关问题时，要结合三角形和全等三角形的知识综合运用．	$S_{△ A O B} = S_{△ B O C} = S_{△ D O C} = S_{△ D O A}$ $△ A O B ≌ △ C O D$ $△ A O D ≌ △ C O B$ $△ A B C ≌ △ C D A$ $△ B C D ≌ △ D A B$ $△ B C D ≌ △ D A B$

题目SH-117-001难度 C · 综合

如图，以平行四边形 $A B C D$ 的边 $C D$ 为斜边向内作等腰直角 $△ C D E$ ,使 $A D = D E = C E$ , $∠ D E C = 90 °$ ,且点 $E$ 在平行四边形内部，联结 $A E$ 、 $B E$ ,则 $∠ A E B$ 的度数为 $__________$ ．

题目SH-117-002难度 B · 巩固

⑴如图，在 $▱ A B C D$ 中，已知 $A D = 12 c m$ ， $A B = 8 c m$ ， $A E$ 平分 $∠ B A D$ 交 $B C$ 边于点 $E$ ，则 $C E$ 的长等于 $__________$ ．

题目SH-117-003

⑵如图，在 $▱ A B C D$ 中， $B M$ 是 $∠ A B C$ 的平分线交 $C D$ 于点 $M$ ,且 $M C = 2$ , $▱ A B C D$ 的周长是 $14$ ，则 $D M$ 等于 $__________$ ．

题目SH-117-004

⑶在平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = 2$ ， $A E$ 平分 $∠ D A B$ 交 $C D$ 于点 $E$ ， $B F$ 平分 $∠ A B C$ 交 $C D$ 于点 $F$ .若 $E F = 1$ ，则平行四边形 $A B C D$ 的周长为 $__________$ ．

题目SH-117-005难度 B · 巩固

⑴如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A E ⊥ B C$ 于 $E$ ， $A F ⊥ C D$ 于 $F$ ，若 $A E = 4$ ， $A F = 6$ ，平行四边形 $A B C D$ 的周长为 $40$ ，则平行四边形 $A B C D$ 的面积为（）

$A$ ． $24$ $B$ ． $36$ $C$ ． $40$ $D$ ． $48$

题目SH-117-006

⑵在 $▱ A B C D$ 中， $B C$ 边上的高为 $4$ ， $A B = 5$ , $A C = 2 \sqrt{5}$ ，则 $▱ A B C D$ 周长等于________．

题目SH-117-007难度 C · 综合

⑴如图， $▱ A B C D$ 的周长为 $20 c m$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ , $O E ⊥ A C$ 交 $A D$ 于点 $E$ ,则 $△ C D E$ 的周长为 $__________$ ．

题目SH-117-008

⑵平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 和 $B D$ 相交于点 $O$ ，如果 $A C = 12$ ， $B D = 10$ ， $A B = m$ ，那么 $m$ 的取值范围是________．

题目SH-117-009难度 C · 综合

⑴如图，过 $▱ A B C D$ 的对角线 $B D$ 上一点 $M$ 分别作平行四边形两边的平行线 $E F$ 与 $G H$ ，那么图中的 $▱ A E M G$ 的面积 $S_{1}$ 与 $▱ H C F M$ 的面积 $S_{2}$ 的大小关系是 $__________$ ．

题目SH-117-010

⑵如图， $▱ A B C D$ 中， $P$ 是中间任意一点， $△ A B P, △ B C P, △ C D P, △ A D P$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}$ ，则一定成立的是（）

$A .$ $S_{1} + S_{2} > S_{3} + S_{4}$ $B .$ $S_{1} + S_{2} = S_{3} + S_{4}$

$C .$ $S_{1} + S_{2} < S_{3} + S_{4}$ $D .$ $S_{1} + S_{3} = S_{2} + S_{4}$

题目SH-117-011

⑶如图， $▱ A B C D$ 中，平行于边的两条线段 $E F$ ， $G H$ 把 $▱ A B C D$ 分成四部分，分别记这四部分的面积为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 和 $S_{4}$ ，则下列等式一定成立的是（）．

$A$ ． $S_{1} = S_{3}$ $B$ ． $S_{1} + S_{3} = S_{2} + S_{4}$

$C$ ． $S_{3} - S_{1} = S_{2} - S_{4}$ $D$ ． $S_{1} \cdot S_{3} = S_{2} \cdot S_{4}$

平行四边形的判定

判定	示例剖析
① 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形	$\begin{matrix} A D ∥ B C \\ A B ∥ C D \end{matrix}} \Rightarrow$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形
② 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形	$\begin{matrix} A B ∥ C D \\ A B = C D \end{matrix}} \Rightarrow$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形
③ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形	$\begin{matrix} A B = C D \\ A D = B C \end{matrix}} \Rightarrow$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形
④ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形	$\begin{matrix} ∠ A = ∠ C \\ ∠ B = ∠ D \end{matrix}} \Rightarrow$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形
⑤ 对角线互相平分的四边形是平行四边形	$\begin{matrix} O A = O C = \frac{1}{2} A C \\ O B = O D = \frac{1}{2} B D \end{matrix}} \Rightarrow$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形

题目SH-117-012

已知四边形 $A B C D$ ,在条件：① $A B ∥ C D$ ；② $B C ∥ A D$ ；③ $A B = C D$ ；

④ $∠ A = ∠ C$ 中任取两个，能使四边形是平行四边形的条件组合共有 $__________$ 个．

$4$ 个．①②；①③；①④；②④都可以判定四边形为平行四边形．

②③反例：等腰梯形

③④反例：等腰 $△ A B E$ ,在底边 $A E$ 上找一个异于 $A$ , $E$ ,及 $A E$ 中点的 $D$ ,构造 $△ B D E ≌ △ D B C$ ,则四边形 $A B C D$ 即为反例.

题目SH-117-013难度 B · 巩固

如图，已知： $A D$ 是 $Δ A B C$ 的角平分线， $D E ∥ A B ，$ 在 $A B$ 上截取 $B F = A E$ ，连接 $D E ， E F$ ，求证：四边形 $B D E F$ 是平行四边形

题目SH-117-014难度 C · 综合

如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $M$ 、 $N$ 是对角线 $A C$ 上的点，且 $A M = C N$ ， $D E = B F$ ，求证：四边形 $M F N E$ 是平行四边形．

题目SH-117-015难度 C · 综合

如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A E ⊥ B C$ ， $C F ⊥ A D$ ， $D N = B M$ ．求证： $E F$ 与 $M N$ 互相平分．

题目SH-117-016难度 D · 提升

等边三角形 $A B C$ 中，点 $D$ 在 $B C$ 上，点 $E$ 在 $A B$ 上，且满足 $C D = B E$ .以 $A D$ 为边作等边 $△ A D F$ .求证：四边形 $C D F E$ 是平行四边形.

在平行四边形 $A B C D$ 中，

⑴若 $∠ A = 120 °$ ，则 $∠ D =$ ________；

⑵若 $∠ A - ∠ B = 40 °$ ，则 $∠ A =$ ________；

⑶若 $∠ A = 30 °$ ， $A B = 7$ ， $A D = 6$ ，则 $S_{▱ A B C D} =$ ________

题目SH-117-017

⑴如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A C$ 、 $B D$ 为对角线， $B C = 6$ ， $B C$ 边上的高为 $4$ ，则阴影部分的面积为（）．

$A$ ． $3$ $B$ ． $6$ $C$ ． $12$ $D$ ． $24$

⑵如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ O D A = 90 °$ , $A C = 10 c m$ ， $B D = 6 c m$ ，则 $A D$ 的长为 $__________$ ．

题目SH-117-018

⑶已知 $▱ A B C D$ 的周长为 $30 c m$ ，对角线 $A C, B D$ 相交于 $O$ 点， $△ A O B$ 的周长比 $△ B O C$ 的周长少 $1 c m$ ，则 $A B$ 的长度为 $__________$ ．

题目SH-117-019

如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $∠ A D B = ∠ C B D$ ,添加下列一个条件后，仍不能判定四边形 $A B C D$ 是平行四边形的是（）

题目SH-117-020

$A .$ $∠ A B D = ∠ C D B$ $B .$ $∠ D A B = ∠ B C D$

$C .$ $∠ A B C = ∠ C D A$ $D .$ $∠ D A C = ∠ B C A$

如图，在平行四边形 $A B C D$ 的各边 $A B ， B C ， C D ， D A$ 上，分别取 $E ， F ， G ， H$ ，使 $A E = C G$ ， $B F = D H$ ，求证：四边形 $E F G H$ 为平行四边形

题目SH-117-021

如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $E, G, F, H$ 分别为 $O A, O B, O C, O D$ 的中点，那么四边形 $E G F H$ 是不是平行四边形？

题目SH-117-022

如图，四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于 $O$ , $A D ∥ B C$ , $A C = 4$ , $B O = \sqrt{13}$ , $A B = 5$ , $B C = 3$ ．

⑴判断四边形 $A B C D$ 的形状并说明理由；

⑵求四边形 $A B C D$ 的边 $A B$ 上的高．

现有如图的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助师傅设计三种不同的分割方案．

题目SH-117-023

如图， $△ A C D$ 、 $△ A B E$ 、 $△ B C F$ 均为直线 $B C$ 同侧的等边三角形．

求证：四边形 $A D F E$ 为平行四边形．

题目SH-117-024

如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A D = 2 A B$ ， $F$ 是 $B C$ 的中点，作 $A E ⊥ C D$ ,垂足 $E$ 在

线段 $C D$ 上，联结 $E F$ 、 $A F$ ．下列结论：① $2 ∠ B A F = ∠ B A D$ ；② $E F = A F$ ；

③ $S_{△ A B F} \leq S_{△ A E F}$ ；④ $∠ B F E = 3 ∠ C E F$ ．其中一定正确的有 $__________$ ．

题目SH-117-025

在面积为 $15$ 的平行四边形 $A B C D$ 中，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，作 $A F ⊥ C D$

于点 $F$ ．若 $A B = 5$ ， $B C = 6$ ，则 $C E + C F$ 的值为（）

$A$ ． $11 + \frac{11}{2} \sqrt{3}$ $B$ ． $11 - \frac{11}{2} \sqrt{3}$

$C$ ． $11 + \frac{11}{2} \sqrt{3}$ 或 $11 - \frac{11}{2} \sqrt{3}$ $D$ ． $11 + \frac{11}{2} \sqrt{3}$ 或 $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

如图所示，在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $A D$ 、 $A B$ 边上的点，且 $B E = D F$ ， $B E$ 与 $D F$ 交于点 $G$ ．求证： $G C$ 平分 $∠ B G D$ ．

题目SH-117-026

如图，四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $P$ ，过点 $P$ 作直线交 $A D$ 于点

$E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ．若 $P E = P F$ ，且 $A P + A E = C P + C F$ ．求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

题目SH-117-027

如图，已知 $A C$ 是平行四边形 $A B C D$ 的对角线， $△ A C P$ 和 $△ A C Q$ 都是等边三角形，求证：四边形 $B P D Q$ 是平行四边形．