代数6-一元二次方程 · 第 073 讲

第9讲无理方程

20 道题5 个知识模块答案解析精校中

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知识模块 01 · 原讲小节

平方法

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题目SH-073-001

解无理方程及其方法

题目SH-073-002

解无理方程：

解无理方程的基本思路就是把无理方程化为有理方程．

解无理方程一定要验根．

基本方法：二次根式非负性，平方法，换元法．
特殊方法：有理化因式的巧用，比例性质的应用，构造法．

知识模块 02 · 原讲小节

平方法解无理方程的步骤

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知识讲解定义、性质与方法

移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；
两边同时平方，得到一个整式方程；
解整式方程；
验根．

说明

知识模块 03 · 原讲小节

只有一个含未知数根式的无理方程

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知识讲解定义、性质与方法

当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使这个二次根式单独在一边；然后方程两边同时平方，将这个方程化为有理方程．

题目SH-073-003

有两个含未知数根式的无理方程

当方程中有两个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使一个二次根式单独在一边，另外一个二次根式在方程的另一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程．

验根的必要性：

解无理方程可能产生增根的原因是两边同时平方，使原来对未知数的制约消失了，因为负数没有平方根，所以无理方程中，隐含着对未知数的取值要求．如 $\sqrt{3 x - 2} - \sqrt{2 x - 2} = 0$ 中，要求 $3 x - 2 \geq 0, 2 x - 2 \geq 0$ 即 $x \geq 1$ ，当方程移项，平方后的方程变为 $3 x - 2 = 2 x - 2$ ，解得 $x = 0$ ,但 $x = 0$ 是这个无理方程的增根．

题目SH-073-004难度 A · 基础

用平方法解下列无理方程

⑴ $2 \sqrt{x - 3} = x - 6$ ；

⑵ $\sqrt{3 x^{2} + 1} + 3 x = 1$ ．

题目SH-073-005难度 B · 巩固

用平方法解无理方程：

⑴ $\sqrt{x + \sqrt{x + 3}} = 3$ .

⑵ $\sqrt{3 x + 1} - \sqrt{x + 1} = 2$ ；

题目SH-073-006难度 C · 综合

用平方法解下列无理方程

⑴ $\sqrt{2 x - 1} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{6 - x}$ ．

⑵ $\sqrt{3 x - 3} + \sqrt{5 x - 19} - \sqrt{2 x + 8} = 0$ ．

特殊解法

换元法：

设辅助元化简无理方程的方法叫做换元法．
步骤：

题目SH-073-007

整理方程，找到适当的代数式（一般是带有根号的式子）设元，把原方程转换成关于辅助元的有理方程．
解关于辅助元的有理方程（检验辅助元）
把求出的有理方程的根代入，解出原方程的根
检验．

【说明】换元法注意观察方程形式：

无理方程中，只有一类根式并与根号外的代数式存在某种关系时，可以换一次元；
无理方程中，有两类（或多类）不同根式，且相互间存在某种关系，可以换两次元；
换元法是一种常用的数学解题方法．无论用“两边乘方”还是换元法解无理方程，总体思想都是化归思想（即把未知问题转化为已知问题，把复杂问题转化为简单问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题），在这里，它体现在把无理方程转化为有理方程．

题目SH-073-008

因式分解：换元法经常需要结合因式分解使用
有理化因式（也可考虑用换元法）
配方法：可用配方法求解的题目中，往往存在某类提示，如“ $2$ ”倍系数、代数式

间存在和积关系

知识模块 04 · 原讲小节

非负性

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题目SH-073-009难度 B · 巩固

⑴解无理方程： $\sqrt{x - \sqrt{10}} + \sqrt{π - x} = \sqrt{2019}$ ．

⑵解无理方程： $\sqrt{3 + \sqrt{3 - x}} = \sqrt{x}$ ．

题目SH-073-010难度 C · 综合

解下列无理方程

⑴ $x^{2} + x + \sqrt{x^{2} + x - 6} = 48$ ；

⑵ $3 x^{2} + 15 x - 2 + 2 \sqrt{x^{2} + 5 x + 1} = 0$ ；

题目SH-073-011难度 C · 综合

⑴解无理方程： $\sqrt{3 x^{2} - 2 x + 9} + \sqrt{3 x^{2} - 2 x - 4} = 13$ ；

⑵解无理方程： $\sqrt{5 x^{2} - 4 x + 4} + \sqrt{5 x^{2} - 4 x - 3} = 7$

知识模块 05 · 原讲小节

综合练习

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题目SH-073-012难度 C · 综合

解无理方程： $x^{2} + x + 2 x \sqrt{x + 2} = 14$

题目SH-073-013难度 D · 提升

解无理方程： $\sqrt{x} + \sqrt{x + 2} + 2 \sqrt{x^{2} + 2 x} = 4 - 2 x$ ．

题目SH-073-014难度 E · 挑战

解无理方程： $2 x + 1 + x \sqrt{x^{2} + 2} + (x + 1) \sqrt{x^{2} + 2 x + 3} = 0$ ．

题目SH-073-015

解方程：⑴ $\sqrt{x + 2} = - x$ ；

⑵ $\sqrt{2 x - 3} + x = 3$ ；

⑶ $\sqrt{3 x + 13} + 2 x = x - 3$

题目SH-073-016

解方程：⑴ $\sqrt{2 x + 1} - \sqrt{x + 2} = 2 \sqrt{3}$ ；

⑵ $\sqrt{x^{2} + x + 5} = \sqrt{3 - 2 x}$

⑶ $\sqrt{3 x + 6} - 2 = \sqrt{x + 3} - 1$

题目SH-073-017

解无理方程： $\sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 1} = \sqrt{2 x + 7}$ ；
解无理方程： $\frac{\sqrt{x + 1}}{5} - \frac{6}{5 \sqrt{x + 1}} = 1$ ．
解无理方程： $\sqrt{x^{2} + 5 x - 2} - \sqrt{x^{2} + 5 x - 5} = 1$ ．
解无理方程： $4 x^{2} + 2 x \sqrt{3 x^{2} + x} + x - 9 = 0$

题目SH-073-018

解无理方程 $\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1} - \sqrt{x^{2} - 1} = x$ ．
⑴解方程： $\sqrt{x + 2} - \sqrt{x} = 1$ ；

⑵解方程： $3 - \sqrt{2 x - 3} = x$ ；

⑴解方程： $\sqrt{5 - 2 x} - \sqrt{x + 2} = 1$ ；

⑵解方程： $\sqrt{x + 1} + \sqrt{2 x - 5} = 1$ ；

⑶解方程： $\sqrt{x + 7} - 2 = \sqrt{3 - x}$ ；

⑷解方程： $\sqrt{x + 5} - \sqrt{2 x - 7} = 2$

题目SH-073-019

解方程： $\frac{x}{x + 2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x + 2}} = - 1$
⑴解方程： $2 x^{2} - 4 x + 3 \sqrt{x^{2} - 2 x + 6} = 15$ ．

⑵解方程： $4 x^{2} - 10 x + \sqrt{2 x^{2} - 5 x + 2} = 17$ ．

⑶解方程： ${(x + 2)}^{2} - 4 \sqrt{x^{2} + 4 x + 9} = 0$ ．

题目SH-073-020

解方程： $2 x^{2} - 3 x + 2 x \sqrt{x^{2} - 3 x + 3} = 1$ ．
方程 $\sqrt{2 \sqrt{3} - 3} = \sqrt{x \sqrt{3}} - \sqrt{y \sqrt{3}}$ 的有理数解．
设实数 $x > 2$ ，并且满足方程 $x - 1 + \frac{3}{x - 2} = 2 \sqrt{x + 1}$ ，求 $x$ 的值．