代数4-整式、分式、因式分解 · 第 040 讲

第17讲因式分解三（双十字、待定系数法）

13 道题5 个知识模块答案解析精校中

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知识模块 01 · 原讲小节

双十字相乘法

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知识讲解定义、性质与方法

双十字相乘

一、双十字相乘法：

⑴适用范围：双十字相乘法适用于对形如 $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F$ 的二次多项式进行因式分解.

⑵条件：① $A = a_{1} a_{2}$ ， $C = c_{1} c_{2}$ ， $F = f_{1} f_{2}$

② $a_{1} c_{2} + a_{2} c_{1} = B$ ， $c_{1} f_{2} + c_{2} f_{1} = E$ ， $a_{1} f_{2} + a_{2} f_{1} = D$

即： $a_{1} x$ $c_{1} y$ $f_{1}$

$a_{2} x$ $c_{2} y$ $f_{2}$

则 $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = (a_{1} x + c_{1} y + f_{1}) (a_{2} x + c_{2} y + f_{2})$

知识模块 02 · 原讲小节

⑶步骤

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知识讲解定义、性质与方法

①用十字相乘法分解二次三项式 $A x^{2} + B x y + C y^{2} = (a_{1} x + c_{1} y) (a_{2} x + c_{2} y)$ ，用十字交叉线表示（共两列）；

②用十字相乘法分解二次三项式 $C y^{2} + E y + F = (c_{1} y + f_{1}) (c_{2} y + f_{2})$ ，继续用十字交叉线表示，即把常数项 $F$ 分解成两个因式填在第三列上.

③用十字相乘法分解二次三项式 $A x^{2} + D x + F$ ，检验是否等于 $(a_{1} x + f_{1}) (a_{2} x + f_{2})$ ，若相等，则双十字相乘法分解因式成功.

(4) 特殊情况：形如 $A x^{4} + B x^{3} + C x^{2} + D x + E$ 一元四次五项式．

即： $a_{1} x^{2}$ $c_{1} x$ $e_{1}$

$a_{2} x^{2}$ $c_{2} x$ $e_{2}$

其中， $A = a_{1} a_{2}$ ， $B = a_{1} c_{2} + a_{2} c_{1}$ ， $D = c_{1} e_{2} + c_{2} e_{1}$ ， $E = e_{1} e_{2}$ ，特别的， $C = c_{1} c_{2} + a_{1} e_{2} + a_{2} e_{1}$ ．

则 $A x^{4} + B x^{3} + C x^{2} + D x + E = (a_{1} x^{2} + c_{1} x + e_{1}) (a_{2} x^{2} + c_{2} x + e_{2})$

题目SH-040-001难度 A · 基础

双十字相乘法分解因式：

⑴ $x^{2} - x y - 6 y^{2} - x + 13 y - 6$

⑵ $6 x^{2} + 5 x y - 6 y^{2} + 9 x + 20 y - 6$

⑶ $x^{2} + 2 x y - 8 y^{2} - 7 x z - 22 y z + 6 z^{2}$

⑷ $10 x^{2} - 7 x y - 6 y^{2} - 14 x z + 27 y z - 12 z^{2}$

题目SH-040-002难度 B · 巩固

双十字相乘法分解因式：

⑴ $x^{2} - y^{2} + x + 5 y - 6$

⑵ $x^{2} - 5 x y + 6 y^{2} + 2 y - 4$

题目SH-040-003难度 C · 综合

双十字相乘法分解因式：

⑴ $x^{4} + 2 x^{3} + 6 x^{2} + 5 x + 6$

⑵ $2 x^{4} + 7 x^{3} + 3 x^{2} + 10 x - 8$

待定系数法

知识模块 03 · 原讲小节

⑴恒等式的定义

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知识讲解定义、性质与方法

恒等式就是当用任何数值替代式中的字母时，都能使等式左右两边的值相等的等式.

用符号“ $\equiv$ ”表示恒等，读作“恒等于”.

例如，我们之前学过的乘法公式 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ ， ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 都是恒等式.

知识模块 04 · 原讲小节

⑵关于恒等式的定理

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知识讲解定义、性质与方法

如果 $a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + a_{2} x^{n - 2} + \dots + a_{n - 1} x + a_{n}$ $\equiv b_{0} x^{n} + b_{1} x^{n - 1} + b_{2} x^{n - 2} + \dots + b_{n - 1} x + b_{n}$ ，

则 $a_{0} = b_{0}$ ， $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{2} = b_{2}$ ，…， $a_{n - 1} = b_{n - 1}$ ， $a_{n} = b_{n}$ .

知识模块 05 · 原讲小节

待定系数法

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知识讲解定义、性质与方法

⑴待定系数法：

待定系数法是解决关于恒等式题目的常用方法，特点是先找到一个恒等式，其中含有待定的系数，然后根据恒等式的性质列出一个或几个方程，解这个方程或方程组，求出各待定系数的值，从而使问题得到解决.

确定待定系数主要是利用恒等的概念和定理，主要方法有系数比较法和赋值法.

⑵利用待定系数法分解因式：

有些较复杂的整系数多项式(＊见注释)的因式分解需要借助于待定系数法，其解题步骤如下：

第一步：设原多项式分解为含待定系数的因式的积；

第二步：采用系数比较法或赋值法，列出含待定系数的方程或方程组，解方程或方程组，求出待定系数的值，使得问题得到解决.

注：本讲主要讨论整系数多项式.一个整系数多项式如果能够分解为两个有理系数的因式的乘积，那么也一定能够分解为两个整系数的因式的乘积.所以只需讨论它有无整系数的因式即可.

题目SH-040-004难度 B · 巩固

⑴已知 $x^{2} - x - 1$ 是 $a x^{3} + b x^{2} + 1$ 的一个因式，求 $b$ 的值.

⑵已知 $x^{2} - 3 x - 1$ 是 $x^{4} - a x^{3} + 7 x^{2} + b x - 2$ 的一个因式，求 $a b$ 的值.

题目SH-040-005难度 B · 巩固

已知关于 $x, y$ 的二次多项式 $2 x^{2} - x y - 6 y^{2} + 2 x + 17 y + k$ 能分解为两个一次因式的乘积，求 $k$ 的值.

题目SH-040-006难度 C · 综合

已知 $x + y - k$ 是多项式 $x^{2} + a x y + b y^{2} - 5 x + y + 6$ 的一个因式（ $k$ ， $a$ ， $b$ 为整数），求 $a$ 与 $b$ 的值，并将多项式因式分解.

题目SH-040-007难度 C · 综合

用待定系数法分解因式： $x^{4} - 2 x^{3} - 27 x^{2} - 44 x + 7$ ．

题目SH-040-008难度 D · 提升

【题】

若多项式 $2 x^{4} - 3 x^{3} + a x^{2} + 7 x + b$ 能被 $x^{2} + x - 2$ 整除，求 $\frac{a}{b}$ 的值．

因式分解： $2 x^{2} + x y - 6 y^{2} + 23 y + 8 x - 10$

因式分解： $x^{2} - y^{2} - 3 x - 5 y - 4$

因式分解： $2 x^{4} + x^{3} - x^{2} - 3 x - 2$

题目SH-040-009

$x^{2} + x y + k y^{2} - 2 x + 11 y - 15$ 能分解成两个一次因式的乘积，求 $k$ 的值．

分解因式：

⑴ $x^{2} + 2 x y + y^{2} + 3 x + 3 y + 2$

⑵ $x^{2} + 2 x y - 15 y^{2} + x - 19 y - 6$

⑶ $20 x^{2} + 9 x y - 18 y^{2} - 18 x + 33 y - 14$

分解因式：

⑴ $x y + y^{2} + x - y - 2$

⑵ $15 x^{2} - 20 x y - x + 8 y - 2$

分解因式：

⑴ $x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 11 x + 12$

⑵ $x^{4} - x^{3} - 9 x^{2} + 2 x + 2$

题目SH-040-010

已知多项式 $3 x^{2} - 4 x y + k y^{2} + 5 x + 14 y - 12$ 能分解为两个一次因式的乘积，求 $k$ 的值并对其因式分解.
已知多项式 $4 x^{4} + 4 x^{3} + a x^{2} - 6 x + b$ 是完全平方式，求 $a$ 和 $b$ 的值.

题目SH-040-011

双十字相乘法分解因式： $x^{2} - 5 x y - 24 y^{2} + 4 x - 21 y + 3$
双十字相乘法分解因式： $a^{2} + 2 b^{2} + 3 c^{2} - 3 a b - 4 a c + 5 b c$
分解因式： $3 x^{4} - 13 x^{3} + 17 x^{2} - 5 x - 2$
若无论 $k$ 取何值， $k^{2} a + 2 (k - 1) b + (2 - k - k^{2}) c = 1$ 恒成立，求 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值.
一个二次三项式的完全平方展开式是 $x^{4} - 6 x^{3} + 7 x^{2} + a x + b$ ，求这个二次三项式.

题目SH-040-012

分解因式： $x^{2} - 3 x y + 2 y^{2} - 6 x + 8 y + 8$
分解因式： $x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} + 5 y z + 4 z x + 3 z^{2}$ .

因式分解： $x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 12$
已知多项式 $2 x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + 3 x - 3$ 能被多项式 $x^{2} - 3$ 整除，求 $a, b$ 及因式分解结果.
$x^{6} + x^{3} - 1$ 能否分解为两个整系数的三次因式的乘积？

题目SH-040-013

分解因式： $15 x^{2} - 20 x y - x + 8 y - 2$
分解因式： $6 x^{2} - 5 x y - 6 y^{2} - 2 x z - 23 y z - 20 z^{2}$
分解因式： $4 x^{4} - 14 x^{3} + 10 x^{2} + x - 6$
已知关于 $x, y$ 的多项式 $x^{2} - y^{2} + m x + 5 y - 6$ 可以分解为两个一次因式的乘积，求 $m$ 的值并分解此多项式.
已知 $x^{3} + p x + q$ 能被 ${(x - a)}^{2}$ 整除，求证： $4 p^{3} + 27 q^{2} = 0$ .