几何4-相似与三角 · 第 134 讲

第6讲相似三角形基本模型

19 道题5 个知识模块答案解析精校中

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知识模块 01 · 原讲小节

相似三角形基本模型

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

A字型与8字型

知识模块 02 · 原讲小节

模型变形——由一得三

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

若 $△ D F B ∽ △ E F C$ ，

则有 $△ D F E ∽ △ B F C$ ， $△ A B E ∽ △ A C D$ ， $△ A D E ∽ △ A C B$

常见考点：① $△ D F B ∽ △ E F C \Leftrightarrow △ D F E ∽ △ B F C$ 的互推

② $△ A B E ∽ △ A C D \Leftrightarrow △ A D E ∽ △ A C B$ 的互推

题目SH-134-001

⑴如图，已知点 $D$ 在 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上，联结 $A D$ ， $P$ 为 $A D$ 上一点，过点 $P$ 分别作 $A B$ 、 $A C$ 的平行线交 $B C$ 于点 $E$ 、 $F$ ，如果 $B C = 3 E F$ ，那么 $\frac{A P}{P D} =$ ________．

⑵秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 12$ ， $B C = 5$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A D = 0.4$ ，过点 $D$ 作 $D E ∥ A B$ 交 $C B$ 的延长线于点 $E$ ，过点 $B$ 作 $B F ⊥ C E$ 交 $D E$ 于点 $F$ ，那么 $B F =$ ________ .

题目SH-134-002

【 $2020$ 闵行】

如图，在 $△ A B C$ 中， $B D$ 是 $A C$ 边上的高，点 $E$ 在边 $A B$ 上，联结 $C E$ 交 $B D$ 于点 $O$ ，且 $A D \cdot O C = A B \cdot O D$ ， $A F$ 是 $∠ B A C$ 的平分线，交 $B C$ 于点 $F$ ，交 $D E$ 于点 $G$ ．求证：⑴ $C E ⊥ A B$ ；⑵ $A F \cdot D E = A G \cdot B C$ ．

知识模块 03 · 原讲小节

内接矩形类的模型及结论

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知识讲解定义、性质与方法

题目SH-134-003

注：其中 $\frac{C T}{C H} = \frac{D E}{A B}$ (高之比等于相似比)

⑴如图，矩形 $D E F G$ 的边 $E F$ 在 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上，顶点 $D$ 、 $G$ 分别在边 $A B$ ， $A C$ 上，已知 $△ A B C$ 的边 $B C$ 长 $60$ 厘米，高 $A H$ 为 $40$ 厘米，如果 $D E = 2 D G$ ，那么 $D G =$ ________厘米.

题目SH-134-004

⑵如图，正方形 $D E F G$ 的边 $E F$ 在 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上，顶点 $D$ 、 $G$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上．已知 $△ A B C$ 的边 $B C = 16 c m$ ，高 $A H$ 为 $10 c m$ ，则正方形 $D E F G$ 的边长为________ $c m$ ．

题目SH-134-005

⑶如图，已知 $△ A B C$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，正方形 $D E F G$ 的顶点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $A C$ 、 $A B$ 上，点 $F$ 、 $G$ 在边 $B C$ 上，那么 $A D$ 的长是________.

题目SH-134-006

如图，比较左右两图中 $R t △ A C B$ 的两个内接正方形的大小，并说明理由．（注：左右 $R t △ A B C$ 全等）

知识模块 04 · 原讲小节

共边型与射影模型

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

共边型（母子型）

角： $∠ D A C = ∠ C A B$ ， $∠ A C D = ∠ B$ ， $∠ A D C = ∠ A C B$

边： $\frac{A C}{A B} = \frac{A D}{A C} = \frac{C D}{B C}$ ， $A C^{2} = A D \cdot A B$

形： $△ A C D ∽ △ A B C$

知识模块 05 · 原讲小节

射影模型

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

角： $∠ B = ∠ D A C$ ， $∠ C = ∠ B A D$ ， $∠ B A C = ∠ A D C = ∠ B D A = 90 °$

边： $A B^{2} = B D \cdot B C$ ， $A C^{2} = C D \cdot B C$ ， $A D^{2} = B D \cdot C D$

题目SH-134-007

形： $△ A B C ∽ △ D B A ∽ △ D A C$

【 $2021$ 青浦】

已知：如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $E$ ， $A E \cdot C E = D E \cdot B E$

⑴求证： $△ A B E ∽ △ A C B$ ；

⑵如果 $D A^{2} = D E \cdot D B$ ，求证： $A B \cdot E C = B C \cdot A E$ ．

题目SH-134-008

【 $2021$ 崇明】

已知：如图， $D$ 、 $E$ 分别是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 、 $A C$ 上的点，且 $∠ A E D = ∠ A B C$ ，联结 $B E$ 、 $C D$ 相交于点 $F$ ．

⑴求证： $∠ A B E = ∠ A C D$ ；

⑵如果 $E D = E C$ ，求证： $\frac{D F^{2}}{B D^{2}} = \frac{E F}{E B}$ ．

题目SH-134-009

已知：如图， $C E$ 是 $R t △ A B C$ 的斜边 $A B$ 上的高，延长 $C E$ 至 $P$ ，联结 $A P$ ，作 $B G ⊥ A P$ 于 $G$ ，交 $P E$ 于 $D$ ．求证： $C E^{2} = E D \cdot E P$ ．

题目SH-134-010

已知，如图，在 $R t △ B D C$ 中，点 $E$ 在 $C D$ 上， $D F ⊥ B C$ ， $D G ⊥ B E$ ， $F 、 G$ 分别为垂足．

求证： $F G \cdot B C = C E \cdot B G$ ．

题目SH-134-011

如图所示，已知 $A B C D$ 是正方形， $M$ 、 $N$ 分别在 $A B$ 、 $B C$ 边上，且 $B M = B N$ ．又 $B P ⊥ M C$ ，垂足为 $P$ ．求证： $P D ⊥ P N$ ．

题目SH-134-012

评定： $lALPDgQ9rN7UgP_M2s0Eaw_1131_218$

题目SH-134-013

如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A C$ 上， $A E$ 分别交线段 $B D$ 、边 $B C$ 于点 $F$ 、 $G$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $\frac{A F}{E F} = \frac{D F}{B F}$ ．求证： $B F^{2} = F G \cdot E F$ ．

题目SH-134-014

如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上， $D E$ 、 $B C$ 的延长线相交于点 $F$ ，且 $E F \cdot D F = B F \cdot C F$ ．

⑴ 求证： $A D \cdot A B = A E \cdot A C$ ；

⑵ 当 $A B = 12$ ， $A C = 9$ ， $A E = 8$ 时，求 $B D$ 的长与 $\frac{S_{△ A D E}}{S_{△ E C F}}$ 的值．

【 $2020$ 青浦】

已知：如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上， $A E ∥ B C$ ， $B E$ 与 $A D$ 、 $A C$ 分别相交于点 $F$ 、 $G$ ， $A F^{2} ＝ F G \cdot F E$ ．⑴求证： $△ C A D ∽ △ C B G$ ；⑵联结 $D G$ ，求证： $D G • A E ＝ A B • A G$ ．

题目SH-134-015

如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于 $D$ ， $E$ 为 $A C$ 中点， $D E$ 交 $B A$ 的延长线于 $F$ ．求证： $A B : A C = B F : D F$ ．

题目SH-134-016

如图，已知在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上， $C E ⊥ A B$ ， $C F ⊥ A D$ ， $E$ ， $F$ 分别是垂足；⑴求证： $A C^{2} = A F \cdot A D$ ；⑵联结 $E F$ ，求证： $A E \cdot D B = A D \cdot E F$

题目SH-134-017

如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $E B ⊥ A B$ ，垂足为点 $B$ 交 $A C$ 于点 $E$ ．

⑴求证： $\frac{B E}{B C} = \frac{O E}{O B}$ ；⑵若 $A E = 8$ ， $A B = 7$ ，求 $E C$ 的长．

题目SH-134-018

如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $A B^{2} = B E \cdot B C$ ， $E F ⊥ A B$ 于点 $F$ ．求证： $A D \cdot A E = A C \cdot E F$ ．

在 $△ A B C$ 中， $A B = 8$ ， $A C = 6$ ，点 $D$ 在直线 $A C$ 上，且 $A D = 2$ ．如果在直线 $A B$ 上找一点 $E$ ，使 $△ A D E$ 与原三角形相似，则 $B E =$ ________．

题目SH-134-019

已知：如图，在 $R t △ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ D A E = 45 °$ ．求证：⑴ $△ A B E ∽ △ D C A$ ⑵ $B C^{2} = 2 B E \cdot C D$ ．