第23讲分式方程(二)

知识模块 01 · 原讲小节

分式方程复习

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

⑴定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

⑵方程的根：一元方程的解也叫做方程的根（root）．

知识模块 02 · 原讲小节

⑶解分式方程的步骤

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

①去分母（一般需因式分解确定最简公分母），化为整式方程．

②解整式方程（去括号，移项，合并同类项，系数化为 $1$ ……）．

③验根:检验所得整式方程的根是否为增根．

增根的定义：在分式方程变形时，有时可能产生不适合原分式方程的根，这种根叫做原分式方程的增根（extraneous root）．

分式方程必须验根的原因：分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围（分式方程中分母不等于零，而整式方程无此限制），所以解分式方程必须检验．

验根方法：只需将整式方程的根代入原分式方程的分母，看是否使分母为零（或直接代入最简公分母）．如为零，则为增根，需舍去；如不为零，则为原分式方程的根．

增根需满足的两个条件为：①是去分母后整式方程的解；②使原分式方程中的分母为零．

知识模块 03 · 原讲小节

常见解题技巧

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知识讲解定义、性质与方法

裂项法
分离整系数

例

解方程：

\frac{x + 5}{x + 3} + \frac{x^{2} - 3}{x^{2} - 9} = \frac{2 x - 5}{x - 3}

$\frac{x + 3 + 2}{x + 3} + \frac{x^{2} - 9 + 6}{x^{2} - 9} = \frac{2 x - 6 + 1}{x - 3}$

$1 + \frac{2}{x + 3} + 1 + \frac{6}{x^{2} - 9} = 2 + \frac{1}{x - 3}$

$\frac{2}{x + 3} + \frac{6}{x^{2} - 9} = \frac{1}{x - 3}$ ，去分母解得 $x = 3$ ，

经检验， $x = 3$ 为增根，∴原方程无解.

分组通分法

例

解方程：

\frac{1}{x + 6} + \frac{1}{x + 8} = \frac{1}{x + 9} + \frac{1}{x + 5}

$\frac{x + 8 + x + 6}{(x + 6) (x + 8)} = \frac{x + 5 + x + 9}{(x + 9) (x + 5)}$

$\frac{2 x + 14}{x^{2} + 14 x + 48} = \frac{2 x + 14}{x^{2} + 14 x + 45}$

∵ $x^{2} + 14 x + 48 \neq x^{2} + 14 x + 45$

∴ $2 x + 14 = 0$ ，解得 $x = - 7$

经检验， $x = - 7$ 为原方程的根

∴原方程的根为 $x = - 7$ .

换元法

例

⑴

\frac{2 x}{x - 1} + \frac{x - 1}{x} = 5

,设

\frac{x}{x - 1} = y

，则原方程可化为.

⑵已知 $(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) - 4 (x + \frac{1}{x}) + 4 = 0$ ,设 $x + \frac{1}{x} = y$ ，则原方程可化为.

⑴ $2 y + \frac{1}{y} = 5$ ；

⑵因为 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2$ ；所以 $y^{2} - 4 y + 2 = 0$ ．

编者注

本讲的分式方程相对来说比较复杂，化为整式方程之后大多是一元二次方程，目前可以先用十字相乘来求解.对于无解的情况，先用配方法简单说明即可，也可以简单提及后续一元二次方程的内容.

题目SH-047-001难度 B · 巩固

⑴方程 $\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x + 4} = 1 - \frac{x - 10}{x^{2} + x - 12}$ 的增根为（）

A. $x = 3$ B. $x = - 4$ C. $x = 3$ 或 $x = - 4$ D.没有增根

⑵若方程 $\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x + 4} = 1 - \frac{x - m}{x^{2} + x - 12}$ 无解，则 $m$ 的值为（）

A. $m = 10$ B. $m = 24$ C. $m = 10$ 或 $m = 24$ D.不存在

题目SH-047-002难度 C · 综合

解方程： $\frac{1}{x^{2} - x} + \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{1}{x^{2} - 5 x + 6} + \frac{1}{x^{2} - 7 x + 12} = \frac{4}{5}$

题目SH-047-003难度 C · 综合

解方程： $\frac{x - 5}{x - 7} + \frac{x - 2}{x - 4} = \frac{x - 3}{x - 5} + \frac{x - 4}{x - 6}$

题目SH-047-004难度 D · 提升

解方程： $\frac{x^{2} + x - 3}{x - 1} - 1 = \frac{2 x^{2} + 5 x - 4}{2 x + 3}$

题目SH-047-005难度 C · 综合

解方程： $\frac{3}{x^{2} + 8 x + 9} - \frac{8}{x^{2} + 8 x + 11} + \frac{3}{x^{2} + 8 x + 13} = 0$

题目SH-047-006难度 C · 综合

解方程： $\frac{x^{2} + x + 2}{x^{2} + 2} + \frac{2 x^{2} + x + 4}{x^{2} + x + 2} = \frac{19}{6}$

题目SH-047-007难度 C · 综合

解方程： $\frac{8 x}{x^{2} + x + 2} + \frac{x}{x^{2} - 2 x + 2} = 3$

题目SH-047-008难度 C · 综合

解方程：

⑴ $2 x^{2} + \frac{2}{x^{2}} - 7 x - \frac{7}{x} + 9 = 0$ ⑵ $x^{2} - 4 x + \frac{4}{x^{2}} - \frac{8}{x} + 7 = 0$

题目SH-047-009难度 D · 提升

解方程： $x - \frac{17}{x} + \frac{24}{x^{2}} + \frac{36}{x^{3}} = 4$

题目SH-047-010

解方程： $\frac{x^{2} + x - 3}{x^{2} + x - 2} + 1 = \frac{2 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

题目SH-047-011

解方程： $\frac{x + 3}{x + 2} + \frac{x + 4}{x + 3} = \frac{x + 5}{x + 4} + \frac{x + 2}{x + 1}$

题目SH-047-012

方程： $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + 3} + \frac{2 x^{2} + x + 4}{x^{2} + x + 1} = 3$ 的解为__________.

题目SH-047-013

已知实数 $x$ 满足 $x^{2} - 2 x = \frac{6}{x^{2} - 2 x} + 1$ ，则 $x$ 的值为______.

题目SH-047-014

关于 $x$ 的方程 $\frac{2}{x - 2} + \frac{a x}{x^{2} - 4} = \frac{3}{x + 2}$ 无解，求 $a$ 的值.
解方程： $\frac{1}{x^{2} + x} + \frac{1}{x^{2} + 3 x + 2} + \frac{1}{x^{2} + 5 x + 6} = - \frac{3}{2}$
解方程： $\frac{x + 1}{x + 2} + \frac{x + 6}{x + 7} = \frac{x + 2}{x + 3} + \frac{x + 5}{x + 6}$
解方程： $x^{2} + 3 x = \frac{12}{x^{2} + 3 x} + 1$
解方程：

⑴ $\frac{1}{x^{2} - 10 x - 29} + \frac{1}{x^{2} - 10 x - 45} - \frac{2}{x^{2} - 10 x - 69} = 0$

⑵ $\frac{1}{x^{2} + 11 x - 8} + \frac{1}{x^{2} + 2 x - 8} + \frac{1}{x^{2} - 13 x - 8} = 0$

题目SH-047-015

解方程：

⑴ $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 (x + \frac{1}{x}) + 3 = 0$ ⑵ $x^{2} - 3 x + \frac{4}{x^{2}} - \frac{6}{x} + 4 = 0$

题目SH-047-016

解方程：

⑴ $\frac{1 - x}{x - 2} + \frac{x + 3}{2 - x} = - 1$ ；

⑵ $\frac{2}{x^{2} + 3 x} + \frac{3}{3 x - x^{2}} = \frac{14}{x^{2} - 9}$ ．

题目SH-047-017

解方程： $\frac{x^{2} - 3 x + 3}{x - 2} = \frac{x^{2} + 4 x + 5}{x + 3} - 2$
解方程： $\frac{2 x - 1}{x + 2} + \frac{3 (x + 2)}{2 x - 1} = 4$
探索发现： $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ； $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ； $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \dots$

根据你发现的规律，回答下列问题：

⑴ $\frac{1}{4 \times 5} =$ 　　， $\frac{1}{n \times (n + 1)} =$ 　　；

⑵利用你发现的规律计算： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n + 1)}$ ；

⑶灵活利用规律解方程： $\frac{1}{x (x + 1)} + \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} + \dots + \frac{1}{(x + 99) (x + 100)} = \frac{1}{x + 100}$ ．

题目SH-047-018

解方程： $\frac{x + 3}{x + 4} - \frac{x + 4}{x + 5} = \frac{x + 1}{x + 2} - \frac{x + 2}{x + 3}$ ．

题目SH-047-019

解方程：

⑴ $\frac{1}{x + 1} + \frac{3}{2 - x} = 0$ ；

⑵ $2 - \frac{1}{x^{2} + x} = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ ．

题目SH-047-020

解方程： $\frac{1}{x^{2} + 3 x + 4} + \frac{3}{x^{2} + 3 x + 8} = 1$
解方程： ${(\frac{x}{x + 1})}^{2} - \frac{x}{x + 1} - 6 = 0$ ．
解方程： $\frac{1}{x + 10} + \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)} + \dots + \frac{1}{(x + 9) (x + 10)} = \frac{2}{5}$ ．
解方程： $\frac{x + 2}{x + 1} - \frac{x + 4}{x + 3} = \frac{x + 6}{x + 5} - \frac{x + 8}{x + 7}$ ．

题目SH-047-021

若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{3}{x + 2} = \frac{m}{x + 2} + 1$ 有增根，则 $m =$ 　　．
若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x - 4}{x - 1} = \frac{m x}{1 - x}$ 有正整数解，则整数 $m$ 为．
对于两数 $a$ 、 $b$ ，我们规定“ $*$ ”运算： $a * b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ，请解方程： $(x - 2) * (x^{2} - 4) = \frac{1}{2 - x}$ ．
解方程： $\frac{3 x}{x - 1} + \frac{x - 1}{x} = 4$
小明在解方程 $\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 4} = \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 5}$ 后得到 $x = \frac{7}{2}$ ，他不解方程： $\frac{1}{x - 7} - \frac{1}{x - 5} = \frac{1}{x - 6} - \frac{1}{x - 4}$ 发现 $x = \frac{11}{2}$ ，请你以解方程 $\frac{1}{x - 7} - \frac{1}{x - 3} = \frac{1}{x - 6} - \frac{1}{x - 2}$ 为例（要写过程），并猜出方程 $\frac{1}{x - a} - \frac{1}{x - b} = \frac{1}{x - c} - \frac{1}{x - d}$ 的解．（其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 为常数，且 $a + d = b + c)$