第10讲代数方程 · 章法数学

知识模块 01 · 原讲小节

整式方程

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

01

知识讲解定义、性质与方法

标准式

如： $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ ，此时设 $y = x^{2}$ ，原方程化为含 $y$ 的一元二次方程 $a y^{2} + b y + c = 0$ ，求出 $y$ 值再代入 $x^{2}$ 之值，从而求出 $x$ 之值；

知识模块 02 · 原讲小节

双二次方程的推广形式

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01

知识讲解定义、性质与方法

如： ${(a x^{2} + b x + c)}^{2} + m (a x^{2} + b x + c) + d = 0$ ，此时设 $y = (a x^{2} + b x + c)$ 也可转化为含 $y$ 的一元二次方程 $y^{2} + m y + d = 0$ ，解出 $y$ 值代入 $a x^{2} + b x + c = y$ ，从而求出原方程的根 $x$ 之值；

$(x + a) (x + b) (x + c) (x + d) + m = 0$ 类型

核心思路：两个括号一组去括号，结果分别为 $a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 和 $a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ ，

分组原则：⑴若 $m$ 为常数，凑 $a_{1} = a_{2}$ ， $b_{1} = b_{2}$ ；

⑵若 $m$ 为 $x^{2}$ 的项，凑 $a_{1} = a_{2}$ ， $c_{1} = c_{2}$ ；

⑶若 $m$ 为 $x^{4}$ 的项，凑 $b_{1} = b_{2}$ ， $c_{1} = c_{2}$ ；

小技巧：令 $4$ 个括号为 $0$ 的 $x$ 排序：若 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，一般情况下， $x_{1}$ 与 $x_{4}$ 一组， $x_{2}$ 与 $x_{3}$ 一组．

题目SH-062-001难度 B · 巩固

解关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ ．

题目SH-062-002难度 A · 基础

解下列方程：

⑴ $x^{4} + 3 x^{2} - 10 = 0$ ；

⑵ ${(x^{2} - 3 x + 2)}^{2} = 9 x - 3 x^{2} - 2$

题目SH-062-003难度 A · 基础

用分组分解法解下列高次方程：

⑴ $x^{3} - x^{2} + x - 1 = 0$ ；

⑵ $3 x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 6 = 0$ ；

⑶ $x^{4} + 2 x^{3} - 9 x^{2} - 2 x + 8 = 0$

题目SH-062-004难度 A · 基础

解方程： $(x - 2) (x + 1) (x + 4) (x + 7) = 19$

题目SH-062-005

用倒数法解方程： $2 x^{4} + 3 x^{3} - 16 x^{2} + 3 x + 2 = 0$

题目SH-062-006难度 C · 综合

用倒数法解方程：

$2 x^{4} - 7 x^{3} + 2 x^{2} + 7 x + 2 = 0$ .

知识模块 03 · 原讲小节

分式方程

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01

知识讲解定义、性质与方法

定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
方程的根：一元方程的解也叫做方程的根．
解分式方程的步骤：

去分母，化为整式方程．
解整式方程（去括号，移项，合并同类项，系数化为 $1$ ……）．
验根:检验所得整式方程的根是否为増根．

题目SH-062-007

解分式方程的常见技巧：

分离整系数、整式；
换元（整体思想）；
裂项．

知识模块 04 · 原讲小节

基本型

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题目SH-062-008难度 A · 基础

解方程： $\frac{x - 2}{x - 1} + \frac{x + 3}{x + 1} + \frac{2}{x^{2} - 1} = 1$ ．

知识模块 05 · 原讲小节

裂项相消型

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题目SH-062-009难度 B · 巩固

解方程: $\frac{1}{(x - 1) x} + \frac{1}{x (x + 1)} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{(x + 9) (x + 10)} = \frac{11}{12}$

题目SH-062-010难度 C · 综合

解方程： $\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{x + 8} = \frac{1}{x + 6} + \frac{1}{x + 7}$

题目SH-062-011难度 D · 提升

解方程： $\frac{2}{x + 8} + \frac{5}{x + 9} = \frac{3}{x + 15} + \frac{4}{x + 6}$ ．

知识模块 06 · 原讲小节

换元型

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题目SH-062-012难度 D · 提升

解方程： $\frac{4 x}{x^{2} + x + 3} + \frac{5 x}{x^{2} - 5 x + 3} = - \frac{3}{2}$ ．

题目SH-062-013难度 D · 提升

解方程： $\frac{2}{3} x = \frac{1}{12} x^{2} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x}$ ．

题目SH-062-014难度 C · 综合

对于实数 $a$ ，只有一个实数值 $x$ 满足等式 $\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1} + \frac{2 x + a + 2}{x^{2} - 1} = 0$ ，试求所

有这样的实数 $a$ 的和．

⑴解方程： $x^{2} {(x - 1)}^{2} - 3 x (x - 1) (x + 2) + 2 {(x + 2)}^{2} = 0$

⑵解方程： ${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2} = 4 x^{2} - 8 x + 17$

知识模块 07 · 原讲小节

综合练习

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题目SH-062-015

解方程： $6 x^{4} - 25 x^{3} + 12 x^{2} + 25 x + 6 = 0$
解方程 $\frac{3}{x^{2} - x - 2} + \frac{x + 3}{2 x + 2} = \frac{1}{x - 2}$ ．
解方程： $x^{2} + 3 x - 8 = \frac{20}{x^{2} + 3 x}$
解方程：

⑴ $\frac{1 - x}{x - 2} + \frac{x + 3}{2 - x} = - 1$

⑵ $\frac{2}{x^{2} + 3 x} + \frac{3}{3 x - x^{2}} = \frac{14}{x^{2} - 9}$

题目SH-062-016

解方程： $\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x - 2} - \frac{x}{x - 1} = 1$

题目SH-062-017

已知 $a - b = 4$ ， $a b + c^{2} + 4 = 0$ ，则 $a + b =$ ．
解方程： $\sqrt{2 + \sqrt{4 - x^{2}}} - \sqrt{4 - 2 x} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
解方程： $x^{2} + 2 x - \frac{6}{x^{2} + 2 x} = 1$
解方程： ${(\frac{x - 1}{x})}^{2} - \frac{3 (x - 1)}{x} - 18 = 0$
关于 $x$ 的方程： $\frac{a x + 1}{x - 1} - \frac{2}{1 - x} = 1$ ．

⑴当 $a = 3$ 时，求这个方程的解；

⑵若这个方程有增根，求 $a$ 的值．

当 $k$ 为何值时，关于 $x$ 的方程 $\frac{x + 3}{x + 2} = \frac{k}{(x - 1) (x + 2)} + 1$ ，

⑴有增根；⑵解为非负数．

题目SH-062-018

解方程： $\frac{x + 1}{x + 2} + \frac{x + 6}{x + 7} = \frac{x + 2}{x + 3} + \frac{x + 5}{x + 6}$