第8讲二模模拟 · 章法数学

题目SH-150-001

选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号】

题目SH-150-002

下列计算正确的是（）

A． $a^{2} + a^{2} = 2 a^{4}$ ； B． ${(- a^{2} b)}^{3} = - a^{6} b^{3}$ ； C． $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ ； D． $a^{8} \div a^{2} = a^{4}$ ．

题目SH-150-003

$\sqrt{79}$ 的值介于 $2$ 个连续的整数 $n$ 和 $n + 1$ 之间，则整数 $n$ 为（）

A． $7$ ； B． $8$ ； C． $9$ ； D． $10$ ．

函数 $y = \frac{- a^{2} - 1}{x}$ （ $a$ 为常数）的图像上有三点 $(- 4, y_{1})$ ， $(- 1, y_{2})$ ， $(2, y_{3})$ ，则函数值 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A． $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ ； B． $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ ； C． $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ ； D． $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ 、

如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 65 °$ ，将 $△ A B C$ 在平面内绕点 $A$ 旋转到 $△ A B' C'$ 的位置，使 $C C' ∥ A B$ ，则旋转角的度数为（）

A． $35 °$ ； B． $40 °$ ； C． $50 °$ ； D． $65 °$ ．

题目SH-150-004

已知一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数 $4$ ，则这组数据的平均数、中位数分别是（）

A． $4, 4$ ； B． $3, 4$ ； C． $4, 3$ ； D． $3, 3$ ．

题目SH-150-005

下列命题：

①对角线相等且垂直的四边形是正方形；

②平分弦的直径必垂直于弦；

③相等的圆心角所对的弧一定相等；

④买彩票中奖概率是 $\frac{1}{4}$ ，则买 $4$ 张彩票一定有一张会中奖；

⑤真命题的逆命题一定是真命题，

其中正确的命题个数是（）

A． $0$ 个； B． $1$ 个； C． $2$ 个； D． $3$ 个．

题目SH-150-006

填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

题目SH-150-007

已知中国海洋面积约 $2997000$ 平方公里，那么数 $2997000$ 用科学记数法可以表示为．
$\sqrt{64}$ 的平方根是，立方根是．
函数 $y = \sqrt{x + 2} + \frac{1}{x - 3}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是　．
分解因式： $m^{2} + \frac{1}{4} n^{2} - m n =$ 　　．
解不等式组 ${\begin{matrix} 1 - 2 (x - 1) \leq 5 \\ \frac{3 x - 2}{2} < x + \frac{1}{2} \end{matrix}$ 解集为．　
若一元二次方程 $(m - 1) x^{2} - 4 x - 5 = 0$ 有两个不同的实数根，则 $m$ 的取值范围是．
有 $4$ 根细木棒，它们的长度分别是 $3 c m$ ， $4 c m$ ， $5 c m$ ， $7 c m$ ，从中任取 $3$ 根恰好能搭成一个三角形的概率是．
计算： $\sqrt{8} + 2 \sqrt{\frac{1}{2}}$ 的结果是．
$6 t a n 45 ° - 2 c o s 60 ° =$ 　．
已知在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别为边 $A B$ 、 $A C$ 的中点，若 $\vec{D E} = k \vec{C B}$ ，那么 $k =$ ．
某机关单位 $2016$ 年 $2$ 月的三公经费为 $a$ 万元，为响应省委提倡节俭的号召，开始减少三公经费， $3$ 月份比 $2$ 月份减少 $10 %$ ， $4$ 月份又比 $3$ 月份减少 $15 %$ ，则 $4$ 月份的三公经费是万元（用含 $a$ 的式子表示）．
如图，半圆 $O$ 的直径 $A B = 10 c m$ ，把弓形 $A D$ 沿直线 $A D$ 翻折，交直径 $A B$ 于点 $C'$ ，若 $A C' = 6 c m$ ，则 $A D$ 的长为．

题目SH-150-008

解答题：（本大题共7题，满分78分）

（本题满分10分）

先化简，再求代数式的值 $\frac{a^{2} - a b}{a^{2}} \div (\frac{a}{b} - \frac{b}{a})$ ，其中 $a = 2 c o s 30 ° - t a n 45 °$ ， $b = 2 s i n 30 °$ ．

（本题满分10分）

解方程组： ${\begin{matrix} x^{2} + x y = 0 \\ x^{2} + 4 x y + 4 y^{2} = 9 \end{matrix}$ ．

（本题满分10分，其中第⑴小题5分，第⑵小题5分）

某公司需要购买甲、乙两种商品共 $150$ 件，甲、乙两种商品的价格分别为 $600$ 元和 $1000$ 元．且要求乙种商品的件数不少于甲种商品件数的 $2$ 倍．设购买甲种商品 $x$ 件，购买两种商品共花费 $y$ 元．

⑴请求出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式及 $x$ 的取值范围．

⑵试利用函数的性质说明，当购买多少件甲种商品时，所需要的费用最少？

（本题满分10分）

已知：如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $⊙ O$ 上一点， $C D ⊥ A B$ ，垂足为点 $D$ ， $F$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点， $O F$ 与 $A C$ 相交于点 $E$ ， $A C =$ $8$ cm， $E F = 2$ cm.

⑴求 $A O$ 的长；

⑵求 $s i n C$ 的值.

（本题满分12分，其中第⑴小题6分，第⑵小题6分）

如图，在 $⊙ O$ 中，直径 $A B$ 与弦 $C D$ 垂直，垂足为 $E$ ，连接 $A C$ ，将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 翻折得到 $△ A C F$ ，直线 $F C$ 与直线 $A B$ 相交于点 $G$ ．

⑴证明：直线 $F C$ 与 $⊙ O$ 相切；

⑵若 $O B = B G$ ，求证：四边形 $O C B D$ 是菱形．

[来源:Zxxk.Com]

（本题满分12分，其中第⑴小题3分，第⑵小题4分，第⑶小题5分）

已知，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ ，过 $A (- 1, 0)$ 、 $B (3, 0)$ 、 $C (0, - 3)$ ， $M$ 为顶点．

⑴求抛物线的解析式；

⑵若直线 $y = k x + b$ 经过点 $C$ 、 $M$ 两点．且与 $x$ 轴交于点 $E$ ． $△ A E C$ 的面积与 $△ B C M$ 的而积是否相等？如果相等，请给出征明；如果不相等，请说明理由；

⑶点 $P$ 在此抛物线的对称轴上，若 $⊙ P$ 经过 $A$ 、 $B$ 两点，且与直线 $C M$ 相切于点 $F$ ，求切点 $F$ 的坐标．

（本题满分14分）

如图，在半径为 $5$ 的 $⊙ O$ 中，点 $A$ 、 $B$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ A O B = 90 °$ ，点 $C$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 上的一个动点， $A C$ 与 $O B$ 的延长线相交于点 $D$ ，设 $A C = x$ ， $B D = y$ ．

⑴求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出它的定义域；

⑵如果 $⊙ O_{1}$ 与 $⊙ O$ 相交于点 $A$ 、 $C$ ，且 $⊙ O_{1}$ 与 $⊙ O$ 的圆心距为 $2$ ，当 $B D = \frac{1}{3} O B$ 时，求 $⊙ O_{1}$ 的半径；

⑶是否存在点 $C$ ，使得 $△ D C B$ $∽$ $△ D O C$ ？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．