代数3-一次方程与不等式 · 第 024 讲

第1讲一元一次方程

55 道题7 个知识模块答案解析精校中

本讲答案与解析正在逐题精校，完成后在题卡下方开放。当前请先独立作答，再回来对照。

知识模块 01 · 原讲小节

等式、方程的概念

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知识讲解定义、性质与方法

方程
1. 概念：含有未知数的等式．（即方程中必须含有未知数；方程是等式，但等式不一定是方程．）
2. 方程的解：如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解．如 $x = 1$ 是方程 $x + 1 = 2$ 的解．
3. 方程中的数
  1. 已知数：一般是具体的数值，可以是具体的数字，也可以是表示数的字母（参数）．
  2. 未知数：是指要求的数，未知数通常用 $x, y, z$ 等字母表示．

如：方程 $3 x + 2 y = 5$ 中， $3, 2, 5$ 是已知数， $x, y$ 是未知数．

关于 $x, y$ 的方程 $a x - 2 b y = c$ 中， $a, - 2 b, c$ 是已知数， $x, y$ 是未知数．

知识模块 02 · 原讲小节

一元一次方程

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知识讲解定义、性质与方法

概念：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程．

整整110

Tip：一元一次方程的未知数只在分子出现．

这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．

一元一次方程的最简形式： $a x = b$ （ $a \neq 0 ， a, b$ 为已知数），如 $3 x = 5$ 等．

一元一次方程的标准形式： $a x + b = 0$ （ $a \neq 0 ， a, b$ 为已知数），如 $2 x + 1 = 0$ 等．

易错点：任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证．

如方程 $x^{2} + 2 x = x^{2} + 6$ 是一元一次方程，而 $3 (x - 7) - x = \frac{4 x + 3}{2} - 3$ 不是一元一次方程．

题目SH-024-001难度 A · 基础

⑴ 下列式子：① $2 x^{2} + 1 = 3 x - 4$ ；② $1 + {(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{9}{16}$ ；③ $2 x + 3 \leq 5$ ；④ $y^{2} = - 1$ ；⑤ $x + y = x y$ ；

⑥ $5 x - 4 + \frac{x - 2}{3}$ ；⑦ $3 x - 1 = \frac{2}{x + 1}$ 其中方程的个数为（）个．

A． $1$ B． $2$ C． $3$ D． $4$

⑵ ① $x + 4 = 4 + x$ ；② $\frac{1}{x} = 2$ ；③ $x - 4 = 4 - x$ ；④ $2 | x | = 3$ ；⑤ $x^{2} + x = x (x + 2) + 3$ ；

是一元一次方程的有_________．

题目SH-024-002难度 B · 巩固

⑴ 若 $k x^{3 - 2 k} + m = n$ 是关于 $x$ 的一元一次方程，则 $k =____________$ ．

⑵ 若 $(m - 1) x^{| m |} + 3 = 5$ 是关于 $x$ 的一元一次方程，则 $m =$ ___________．

⑶ 已知 $(| k | - 2) x^{2} - (k - 2) x + 6 = 0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程,则 $k =$ ．

知识模块 03 · 原讲小节

等式的性质

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知识讲解定义、性质与方法

⑴ 等式两边都加上（或减去）同一个数（或整式）结果仍是等式；

如果 $a = b$ ，那么 $a \pm c = b \pm c$ ．

⑵ 等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是 $0$ ），结果仍是等式．

如果 $a = b$ ，那么 $a c = b c$ ；如果 $a = b$ 且 $c \neq 0$ ，那么 $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ ．

⑶ 对称性，即：如果 $a = b$ ，那么 $b = a$ ；

⑷ 传递性，即：如果 $a = b$ ， $b = c$ ，那么 $a = c$ ．

题目SH-024-003

解方程：求方程的解的过程．
解一元一次方程的一般步骤：

⑴去分母：方程左右两边同乘分母的最小公倍数．

⑵去括号：括号前是减号时，括号里每项都变号．

⑶移项：移项要变号．

⑷化成 $a x = b$ （ $a \neq 0$ ）的形式：合并同类项，字母不变，系数相加．

⑸两边同除以未知数的系数：得到方程的解 $x = \frac{b}{a}$ ．

这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按从上到下的顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．

易错点：

⑴去分母：漏乘不含分母的项．

⑵去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号．

⑶移项：不要忘记变符号．

题目SH-024-004难度 A · 基础

知识模块 04 · 原讲小节

⑴ 根据等式的性质填空

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知识讲解定义、性质与方法

① $a = 4 - b$ ，则 $a + b =$ _________；

② $3 x + 5 = 9$ ，则 $3 x = 9 -$ _________；

③ $6 x = 8 y + 3$ ，则 $x =$ _________；

④ $\frac{1}{2} x = y + 2$ ，则 $x =$ _________．

⑵ 下列变形中，根据等式的性质变形正确的是（）

A．由 $- \frac{1}{3} x = \frac{2}{3}$ ，得 $x = 2$ ； B．由 $3 x - 2 = 2 x + 2$ ，得 $x = 4$

C．由 $2 x - 3 = 3 x$ ，得 $x = 3$ ；D．由 $3 x - 5 = 7$ ，得 $3 x = 7 - 5$

⑶ 回答下列问题，并说明理由

① 由 $2 a + 3 = 2 b - 3$ 能不能得到 $a = b$ ？ ② 由 $5 a b = 6 b$ 能不能得到 $5 a = 6$ ？

③ 由 $x y = 7$ 能不能得到 $y = \frac{7}{x}$ ？ ④ 由 $x = 0$ 能不能得到 $x + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ ？

题目SH-024-005难度 B · 巩固

解方程：

⑴ $7.3 - 0.7 x = 2.1 - 2 x$ ；

⑵ $y - \frac{y - 1}{2} = 2 - \frac{y + 2}{5}$ ；

⑶ $\frac{x - 1}{3} + \frac{x - 2}{5} = 1 - 2 x$ ．

知识模块 05 · 原讲小节

解方程

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知识讲解定义、性质与方法

⑴ $y - \frac{y - 1}{2} = 2 - \frac{y + 2}{5}$ ；

⑵ $\frac{x - 1}{3} + \frac{x - 2}{5} = 1 - 2 x$ ．

题目SH-024-006难度 C · 综合

⑴ $90 % x + 75 % (12 - x) = 25 % (x - 4)$ ；

⑵ $9 x - \frac{1 - 0.2 x}{0.2} = \frac{2 x + 0.5}{0.3}$ ．

$\frac{x + 3}{0.5} + \frac{\frac{1}{3} (x + 4)}{0.125} = 5 x + 19$ ．

题目SH-024-007难度 C · 综合

题目SH-024-008

⑴ 若方程 $5 b - x = \frac{1}{2} - 12 x$ 的解是 $x = \frac{1}{2}$ ，则 $b =$ _________．

题目SH-024-009

⑵ 已知 $y = 1$ 是关于 $y$ 的方程 $2 - \frac{1}{3} (m - 1) = 2 y$ 的解，则关于 $x$ 的方程 $m (x - 3) - 2 = m$ 的解是（）

题目SH-024-010

⑶ 如果关于 $x$ 的一元一次方程 $(m + 2) x - 4 | m | + 8 = 0$ 的解是 $x = 0$ ，求 $m$ 的值．

知识模块 06 · 原讲小节

复杂的一元一次方程

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知识讲解定义、性质与方法

对于比较复杂的一元一次方程，通常可以利用整体法（换元法）、分离常系数法等方法来解决．

题目SH-024-011难度 C · 综合

解方程：

⑴ $2 {3 [4 (5 x - 1) - 2] - 8} - 19 = 1$ ．

⑵ $\frac{1}{8} {\frac{1}{6} [\frac{1}{4} (\frac{x + 1}{2} + 3) + 5] + 7} = 1$ ．

题目SH-024-012难度 D · 提升

知识模块 07 · 原讲小节

解方程

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知识讲解定义、性质与方法

$\frac{1}{3} - \frac{1}{2} (\frac{3}{5} x - 7) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} (\frac{3}{5} x - 7)$ ．

题目SH-024-013难度 E · 挑战

$\frac{x + 5}{3} + \frac{x + 7}{5} + \frac{x - 5}{7} + \frac{x - 7}{9} = 0$

题目SH-024-014难度 E · 挑战

$\frac{x - 20}{3} + \frac{x - 18}{5} + \frac{x - 16}{7} + \frac{x - 14}{9} + \frac{x - 12}{11} = 5$

题目SH-024-015

解方程： $\frac{2 x - 1}{4} + \frac{3 - x}{8} = 1$ ．

题目SH-024-016

解方程： $\frac{0.3 y - 0.1}{0.4} - 1 = \frac{0.05 y - 0.07}{0.06}$ ．

题目SH-024-017

解方程： $\frac{1.8 - 8 x}{1.2} - \frac{1.3 - 3 x}{2} = \frac{5 x - 0.4}{0.3}$ ．

题目SH-024-018

解方程： $2 x - \frac{1}{2} [x - \frac{1}{2} (x - 1)] = \frac{2}{3} (x - 1)$ ．

题目SH-024-019

解方程： $\frac{1}{3} {\frac{1}{2} [\frac{1}{4} (x - 1) + 3] + 1} = 1$ ．

题目SH-024-020

若关于 $x$ 的方程 $(m + 2) x - 4 | m | + 8 = 0$ 的解是 $x = 0$ ，求 $m$ 的值．

⑴ 若关于 $x$ 的方程 $3 x^{2 m - 3} - 5 = 0$ 是一元一次方程，则 $m =$ 　　．

⑵ 若 $(k - 1) x^{2} + (k - 2) x + (k - 3) = 0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程，则 $k =$ 　　　．
⑶ 若关于 $x$ 的方程 $(2 - | m |) x^{2} + (m - 2) x - (5 - 2 m) = 0$ 是一元一次方程，求 $m$ 的解．

题目SH-024-021

⑴ $x = - 1$ ______(填“是”或“不是”)方程 $x^{2} - 2 x^{3} = 2 x + 5$ 的解．

⑵ $x = 3$ ______(填“是”或“不是”)方程 $\frac{2 x^{2} - 1}{2 x} - \frac{2 x}{x + 3} + 1 = 0$ 的解．

题目SH-024-022

解方程：

题目SH-024-023

⑴ $1 - 8 (\frac{x}{4} - \frac{5}{2}) = 5 x$ ； ⑵ $7.9 (x + 2) + 0.1 (x + 2) = 1$ ；

题目SH-024-024

⑶ $\frac{0.5 x - 1}{0.3} - \frac{x - 3}{2} = \frac{0.02 x - 0.05}{0.06}$ ．

题目SH-024-025

⑴ 已知 $x = - 4$ 是方程 $\frac{3}{2} k x - 6 = 0$ 的解，则 $k^{2021} =$ _________．

⑵ 已知关于 $x$ 的方程 $\frac{a}{2} = \frac{b x}{3}$ 的解是 $x = 2$ ，其中 $a \neq 0$ 且 $b \neq 0$ ，求代数式 $\frac{a}{b} - \frac{b}{a}$ 的值．

题目SH-024-026

解方程： $\frac{1}{9} {\frac{1}{7} [\frac{1}{5} (\frac{x + 2}{3} + 4) + 6] + 8} = 1$
⑴ 解方程： $x - \frac{x - 2}{2} = 2 - \frac{x - 2}{5}$ ．

⑵ 解方程： $\frac{1}{11} (2 x - 3) + \frac{1}{19} (3 - 2 x) + \frac{2}{13} x = \frac{3}{13}$ ．

题目SH-024-027

解方程： $\frac{200 + x}{201} + \frac{201 + x}{202} = \frac{202 + x}{203} + \frac{203 + x}{204}$ ．

题目SH-024-028

选择与填空：

题目SH-024-029

⑴ 下列说法不一定成立的是 $($ 　　 $)$

题目SH-024-030

⑵ 下列等式变形正确的是 $($ 　　 $)$

题目SH-024-031

⑶ 下列说法错误的是 $($ 　　 $)$

题目SH-024-032

⑷ 已知 $x = 3$ 是关于 $x$ 的方程 $a x + 2 x - 3 = 0$ 的解，则 $a$ 的值为 $($ 　　 $)$

题目SH-024-033

⑸ 已知关于 $x$ 的方程 $a + x = 5 - (2 a + 1) x$ 的解是 $x = - 1$ ，则 $a$ 的值是 $($ 　　 $)$

题目SH-024-034

⑹ ① $x - 2 = \frac{2}{x}$ ；② $0.3 x = 1$ ；③ $x^{2} - 4 x = 3$ ；④ $\frac{x}{2} = 5 x - 1$ ；⑤ $x = 6$ ；⑥ $x + 2 y = 0$ ．其中一元一次方程的个数是 $($ 　　 $)$

题目SH-024-035

⑺ 关于 $x$ 的一元一次方程 $\frac{1}{3} x^{3 - 3 n} - 1 = 0$ ，那么 $n$ 的值为 $($ 　　 $)$

题目SH-024-036

⑻ 若方程 $(m - 2) x^{| m - 2 |} - x = 3$ 是一元一次方程，那么 $m = ($ 　　 $)$

题目SH-024-037

⑼ 如果关于 $x$ 的方程 $m x^{2 m - 1} + (m - 1) x - 2 = 0$ 是一元一次方程，那么其解为．

题目SH-024-038

解下列方程：

题目SH-024-039

⑴ $\frac{3}{2} x + 1 = - 5$ ；⑵ $\frac{3}{5} x + 3 = - 8$ ；

题目SH-024-040

⑶ $7.3 - 0.7 x = 2.1 - 2 x$ ； ⑷ $0.25 x - \frac{3}{4} = 1.75 x + 1$ ．

题目SH-024-041

解下列方程：

题目SH-024-042

⑴ $1 - 8 (\frac{x}{4} - \frac{5}{2}) = 5 x$ ； ⑵ $\frac{x + 2}{4} = \frac{2 x - 3}{6} - 1$

题目SH-024-043

⑶ $8 (x - 2) - 3 (3 x - 5) = 11$ ； ⑷ $3 (x - 4) - 2 (4 x - 3) = 12 (x - 9)$

题目SH-024-044

⑸ $\frac{3 y - 1}{4} - \frac{4 y + 3}{6} = 1 - \frac{2 y + 3}{3}$ ； ⑹ $0.4 (2 x + 3) = 0.8 (1 - x) - 0.5 (x - 2)$

题目SH-024-045

解下列方程：

题目SH-024-046

⑴ $\frac{2 x - 1}{4} = 1 - \frac{3 - x}{8}$ ； ⑵ $\frac{6 x - 1}{3} - \frac{2 x + 1}{4} = 2$ ；

题目SH-024-047

⑶ $\frac{3 x - 1}{4} = \frac{3 x - 1}{8} + 1$ ； ⑷ $\frac{x - 1}{3} - \frac{10 x + 1}{12} = \frac{2 x - 3}{4}$ ；

题目SH-024-048

⑸ $6 - \frac{3 (n - 7)}{4} = \frac{1}{2} (n - 6)$ ； ⑹ $\frac{5 x + \frac{7}{3}}{2} = \frac{6 x - \frac{5}{2}}{3} - \frac{x + 4}{6}$ ；

题目SH-024-049

⑺ $60 % x - (x + 3) \times 50 % = 3 \times 40 %$ ； ⑻ $\frac{3}{4} [\frac{4}{3} (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4}) - 8] = \frac{3}{2} x + 1$ ．

题目SH-024-050

用合适方法解下列方程：

题目SH-024-051

⑴ $\frac{4 x - 2.5}{0.5} - \frac{5 x - 0.4}{0.2} = \frac{1.2 - x}{0.1} - 10 %$ ；

题目SH-024-052

⑵ $3 (2 x - 3) - \frac{1}{3} (3 - 2 x) = 7 (3 - 2 x) - \frac{1}{7} (2 x - 3)$ ．

题目SH-024-053

用合适方法解下列方程：

题目SH-024-054

⑴ $\frac{1}{3} (x - 1) - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{4} (x - 1)$ ；

题目SH-024-055

⑵ $\frac{24 x - 5}{25} + \frac{12 x - 2}{21} = \frac{8 x + 1}{14} + \frac{1}{6}$ ．