几何5-圆 · 第 138 讲

第13讲圆的基本性质

21 道题8 个知识模块答案解析精校中

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知识模块 01 · 原讲小节

圆的定义

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知识讲解定义、性质与方法

几何定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．

轨迹定义：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆．

集合定义：到定点的距离等于定长的点的集合，叫做圆．

知识模块 02 · 原讲小节

点与圆的位置关系

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知识讲解定义、性质与方法

在圆所在的平面上，以圆周为分界线，含圆心的部分叫做圆的内部（简称圆内），不含圆心的部分叫做圆的外部（简称圆外）．
设一个圆的半径为 $r$ ，点 $P$ 到圆心的距离为 $d$ ，则

位置关系	图形	性质及判定
点在圆外		$d > r \Leftrightarrow$ 点 $P$ 在 $⊙ O$ 外．
点在圆上		$d = r \Leftrightarrow$ 点 $P$ 在 $⊙ O$ 上．
点在圆内		$0 \leq d < r \Leftrightarrow$ 点 $P$ 在 $⊙ O$ 内．当 $d = 0$ 时，点与圆心重合

确定圆的条件

确定一个圆有两个条件：①圆心（定点），确定圆的位置；②半径（定长），确定圆的大小．

经过点 $A$ 的圆：

以点 $A$ 以外的任意一点 $O$ 为圆心，以 $O A$ 的长为半径，即可作出过点 $A$ 的圆，这样的圆有无数个．

经过两点 $A$ 、 $B$ 的圆：

以线段 $A B$ 中垂线上任意一点 $O$ 作为圆心，以 $O A$ 的长为半径，即可作出过点 $A$ 、 $B$ 的圆，这样的圆也有无数个．

过三点的圆：

①若 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点共线时，过

三点的圆不存在；

②若 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点不共线时，

圆心是线段 $A B$ 与 $B C$ 的中垂线

的交点，而这个交点 $O$ 是唯一

存在的，这样的圆有唯一一个．

知识模块 03 · 原讲小节

定理：不在同一直线上的三点确定一个圆

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知识讲解定义、性质与方法

注意： ⑴“不在同一直线上”换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；

⑵“确定”，即“唯一存在”．

知识模块 04 · 原讲小节

三角形的外接圆

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知识讲解定义、性质与方法

⑴三角形的三个顶点确定一个圆．经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

知识模块 05 · 原讲小节

⑵三角形外心的性质

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知识讲解定义、性质与方法

①三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；

②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合．

⑶ 锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；

直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；

钝角三角形外接圆的圆心在它的外部．

⑴ 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点， $A C = 7$ ， $B C = 4$ ，若以点 $C$ 为圆心， $B C$ 为半径作圆，则点 $D$ ， $E$ 与 $⊙ C$ 的位置关系是：点 $D$ 在________，点 $E$ 在________．

⑵ 已知 $⊙ P$ 在直角坐标平面内，它的半径是 $5$ ，圆心 $P (- 3, 4)$ ，则坐标原点 $O$ 与 $⊙ P$ 的位置关系是________．

⑶ $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 7$ ， $B C = 24$ ，以 $C$ 为圆心， $R$ 为半径作圆，使 $A$ 、 $B$ 两点中的一点在圆内，一点在圆外，则 $R$ 的取值范围是________．

⑷一个点到圆的最大距离为 $13$ ，最小距离为 $5$ ，则圆的半径为________．

如图，在平面直角坐标系中， $A (0, 4)$ 、 $B (4, 4)$ 、 $C (6, 2)$ ．

⑴经过 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点的圆弧所在圆的圆心 $M$ 的坐标为________；

⑵这个圆的半径为________；

题目SH-138-001

⑶直接判断点 $D (5, - 2)$ 与 $⊙ M$ 的位置关系：点 $D (5, - 2)$ 在 $⊙ M$ ________（填内、外、上）．

圆的有关概念

同心圆、同圆、等圆：

圆心相同、半径不相等的两个圆叫做同心圆

圆心相同、半径相等的圆叫做同圆

能够重合的两个圆叫做等圆

弧和弦：

圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧（arc）；

联结圆上任意两点的线段叫做弦(chord) $\to$ 过圆心的弦是直径

圆心到弦的距离叫做弦心距（apothem）

圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆

大于半圆的弧叫做优弧（major arc）小于半圆的弧叫做劣弧（minor arc）

由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形

知识模块 06 · 原讲小节

圆心角和圆周角

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知识讲解定义、性质与方法

圆心角：以圆心为顶点的角；
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦或两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量分别相等．

（在同圆或等圆中，圆心角相等 $\Leftrightarrow$ 劣弧（或优弧）相等 $\Leftrightarrow$ 弦相等 $\Leftrightarrow$ 弦心距相等）

圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角

[拓展2内容]圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

证明定理：已知在 $⊙ O$ 中， $∠ B O C$ 与圆周角 $∠ B A C$ 同对弧 $B C$ ，求证： $∠ B O C = 2 ∠ B A C$

如图，当圆心 $O$ 在 $∠ B A C$ 的一边上时，

即 $A$ 、 $O$ 、 $B$ 在同一直线上时：

∵ $O A$ 、 $O C$ 是半径，即 $O A = O C$

∴ $∠ B A C = ∠ A C O$ （等边对等角）

∵ $∠ B O C$ 是 $△ O A C$ 的外角

∴ $∠ B O C = ∠ B A C + ∠ A C O$ $= 2 ∠ B A C$

如图，当圆心 $O$ 在 $∠ B A C$ 的内部时：

联结 $A O$ ，并延长 $A O$ 交 $⊙ O$ 于 $D$

∵ $O A$ 、 $O B$ 、 $O C$ 是半径

∴ $O A = O B = O C$

∴ $∠ B A D = ∠ A B O$ ， $∠ C A D = ∠ A C O$ （等边对等角）

∵ $∠ B O D$ 、 $∠ C O D$ 分别是 $△ A O B$ 、 $△ A O C$ 的外角

∴ $∠ B O D = ∠ B A D$ $+ ∠ A B O = 2 ∠ B A D$

$∠ C O D = ∠ C A D + ∠ A C O = 2 ∠ C A D$

∴ $∠ B O C = ∠ B O D + ∠ C O D$ $= 2 (∠ B A D + ∠ C A D) = 2 ∠ B A C$

如图，当圆心 $O$ 在 $∠ B A C$ 的外部时：

联结 $A O$ ，并延长 $A O$ 交 $⊙ O$ 于 $D$

∵ $O A$ 、 $O B$ 、 $O C$ 是半径

∴ $∠ B A D = ∠ A B O$ 、 $∠ C A D = ∠ A C O$ （等边对等角）

∵ $∠ D O B$ 、 $∠ D O C$ 分别是 $△ A O B$ 、 $△ A O C$ 的外角

∴ $∠ D O B = ∠ B A D + ∠ A B O$ $= 2 ∠ B A D$

$∠ D O C = ∠ C A D + ∠ A C O = 2 ∠ C A D$

∵ $∠ B A C = ∠ C A D - ∠ B A D$

∴ $∠ B O C = ∠ D O C - ∠ D O B$ $= 2 (∠ C A D - ∠ B A D)$ $= 2 ∠ B A C$

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， $90 °$ 的圆周角所对的弦是直径

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

（拓展2）由圆周角定理，还可得到圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任一外角都等于它的内对角.

判断题：

⑴ 直径是弦 ( )

⑵ 弦是直径 ( )

⑶ 半圆是弧 ( )

⑷ 弧是半圆 ( )

⑸ 长度相等的两条弧是等弧 ( )

⑹ 等弧的长度相等 ( )

⑺ 两个劣弧之和等于半圆 ( )

⑻ 半径相等的两个圆是等圆 ( )

⑼ 两个半圆是等弧 ( )

⑽ 圆的半径是 $R$ ，则弦长的取值范围是大于 $0$ 且不大于 $2 R$ ()

⑴ 在 $⊙ O$ 中，点 $C$ 在直径 $A B$ 上， $A C = 3 B C$ ，过点 $C$ 作弦 $E F ⊥ A B$ ，则 $∠ E O F =$ ________．

⑵ $⊙ O$ 的半径 $O A = 5 c m$ ，点 $C$ 是弦 $A B$ 上一点， $O C ⊥ O A$ ，且 $O C = B C$ ，则 $∠ A =$ ________．

题目SH-138-002

⑶ 如图所示， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的弦， $A B$ 、 $C D$ 的延长线交于点 $E$ ，已知 $A B = 2 D E$ ， $∠ E = 18 °$ ，则 $∠ A O C =$ ________．

题目SH-138-003

⑴ 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，已知 $∠ A B O = 50 °$ ，则 $∠ A C B$ 的大小为________．

⑵ 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形， $∠ B = 110 °$ ，延长 $A D$ 至点 $E$ ，使得 $D E = D C$ ，则 $∠ E$ 的大小为________．

题目SH-138-004

⑶ 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的弦，联结 $A C$ 、 $A D$ ，若 $∠ C A B = 35 °$ ，则 $∠ A D C$ 的度数为________．

题目SH-138-005

⑷ 如图， $⊙ O_{1}$ 与 $⊙ O_{2}$ 相交于 $C$ 、 $D$ 两点，且 $⊙ O_{1}$ 过 $⊙ O_{2}$ 的圆心 $O_{2}$ ，若 $∠ B = 32 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为________．

知识模块 07 · 原讲小节

圆的对称性

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题目SH-138-006

圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线．
圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合．

知识模块 08 · 原讲小节

垂径定理

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知识讲解定义、性质与方法

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论1： ⑴ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

⑵ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

⑶ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．

注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、 “平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．

⑴ 已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ，如果 $A B = 8$ ， $C D = 6$ ，那么 $O E =$ ________．

题目SH-138-007

⑵ 如图，已知在 $⊙ O$ 中，半径 $O C$ 垂直于弦 $A B$ ，垂足为点 $D$ ，如果 $O C = 13$ ， $A B = 24$ ，那么 $O D =$ ________．

题目SH-138-008

⑶ 过 $⊙ O$ 内一点 $M$ 的最长弦为 $10 c m$ ，最短弦长为 $8 c m$ ，那么 $O M$ 的长为________ $c m$ ．

题目SH-138-009

⑴【 $2021$ 崇明】如图，已知 $⊙ O$ 的半径为 $\sqrt{2}$ ，在 $⊙ O$ 中， $O A$ 、 $O B$ 是圆的半径，且 $O A ⊥ O B$ ，点 $C$ 在线段 $A B$ 的延长线上，且 $O C = A B$ ．

①求线段 $B C$ 的长；②求 $∠ B O C$ 的正弦值．

⑵【 $2021$ 闵行】如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A B$ 长为 $4$ ， $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{A C}$ ，联结 $C O$ 并延长，交边 $A B$ 于点 $D$ ，交 $\overset{⌢}{A B}$ 于点 $E$ ，且 $E$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点 . 求：①边 $B C$ 的长；② $⊙ O$ 的半径.

题目SH-138-010

⑶如图，等腰 $△ A B C$ 内接于半径为 $5$ 的 $⊙ O$ ， $A B = A C$ ， $t a n ∠ A B C = \frac{1}{3}$ ，求 $B C$ 的长．

题目SH-138-011

⑴ 已知 $⊙ O$ 半径为 $O B = 13$ ，弦 $A B / / C D$ ， $A B = 10$ ， $C D = 24$ ，则 $A B$ 与 $C D$ 的距离是________．

⑵ 在半径为 $1$ 的 $⊙ O$ 中，弦 $A B$ ， $A C$ 的长分别为 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{3}$ ， $∠ B A C$ 的度数是________．

题目SH-138-012

评定： $lALPDgQ9rN7UgP_M2s0Eaw_1131_218$

题目SH-138-013

在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 4$ ， $A B = 5$ ，以点 $C$ 为圆心，以 $r$ 为半径作圆，请回答下列问题，并说明理由．

⑴ 当 $r$ 取何值时，点 $A$ 在 $⊙ C$ 上，且点 $B$ 在 $⊙ C$ 内部？

⑵ 当 $r$ 在什么范围内取值时，点 $A$ 在 $⊙ C$ 外部，且点 $B$ 在 $⊙ C$ 的内部？

⑶ 是否存在这样的实数 $r$ ，使得点 $B$ 在 $⊙ C$ 上，且点 $A$ 在 $⊙ C$ 内部？

题目SH-138-014

⑴ 已知 $⊙ O$ 是以原点 $O$ 为圆心， $5$ 为半径的圆，点 $M$ 的坐标为 $(- 3, 4)$ ，则点 $M$ 与 $⊙ O$ 的位置关系为（）

A． $M$ 在 $⊙ O$ 上B． $M$ 在 $⊙ O$ 内

C． $M$ 在 $⊙ O$ 外D． $M$ 在 $⊙ O$ 右上方

⑵ 如下图所示的半圆中， $A D$ 是直径，且 $A D = 3$ ， $A C = 2$ ，则 $s i n B$ 的值是________；

题目SH-138-015

⑶ 如下图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 都在 $⊙ O$ 上，若 $∠ C = ∠ D = ∠ E$ ，则 $∠ A + ∠ B$ 的度数为________．

题目SH-138-016

⑷ 如下图，延长圆内接四边形 $A B C D$ 的边 $A B$ 、 $D C$ 相交于 $E$ ， $A D$ 、 $B C$ 的延长线相交于 $F$ ，若 $∠ E = 5 0^{\circ}$ ， $∠ F = 3 0^{\circ}$ ，则 $∠ A =$ ________．

题目SH-138-017

如图，在 $⊙ O$ 中，弦 $A B$ 、 $C D$ 相交于 $E$ ， $O M$ 、 $O N$ 分别是弦 $A B$ 、 $C D$ 的弦心距．

①如果 $O M = O N$ ，求证： $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{B D}$ ；

②如果 $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{B D}$ ，求证： $E O$ 平分 $∠ A E D$ ．

题目SH-138-018

已知：如图，在 $⊙ O$ 中，弦 $C D$ 垂直于直径 $A B$ ，垂足为点 $E$ ，如果 $∠ B A D = 30 °$ ，且 $B E = 2$ ，求弦 $C D$ 的长．

题目SH-138-019

如图， $A B$ 、 $A C$ 都是圆 $O$ 的弦， $O M ⊥ A B$ ， $O N ⊥ A C$ ，垂足分别为点 $M$ 、 $N$ ，如果 $B C = 6$ ，那么 $M N =$ ________．

题目SH-138-020

如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心 $O$ 处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择 $A$ 、 $B$ 两个点，在 $A$ 处测得 $∠ O A B = 45 °$ ，在 $A B$ 延长线上的 $C$ 处测得 $∠ O C A = 30 °$ ，已知 $B C = 50$ 米，求人工湖的半径．（结果保留根号）

题目SH-138-021

⑴ 如图所示，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 9 0^{\circ}$ ，以 $A$ 为圆心，以 $A B$ 为半径的圆分别交 $B C$ 、 $A C$ 于点 $D$ 、 $E$ ，若 $B D = 10$ ， $D C = 6$ ，则 $A C^{2} =$ ________ .

⑵ 如图所示，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A D ∥ B C$ ， $\overset{⌢}{A B} + \overset{⌢}{C D} = \overset{⌢}{A D} + \overset{⌢}{B C}$ ，若 $A D = 4$ ， $B C = 6$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积是________．

已知： $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接正三角形， $P$ 为弧 $B C$ 上一点（与点 $B 、 C$ 不重合），

⑴如果点 $P$ 是弧 $B C$ 的中点，求证： $P B + P C = P A$ ；

⑵如果点 $P$ 在弧 $B C$ 上移动时，⑴的结论还成立吗？请说明理由．