第13讲 锐角三角比综合

在$Rt△ABC$中，$\angle C=90°$，$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$的对边分别为$a$、$b$、$c$，则$sinA=\frac{a}{c}$，$cosA=\frac{b}{c}$，$tanA=\frac{a}{b}$，$cotA=\frac{b}{a}$，且$sinA$，$cosA$在$0~1$内取值．

3. 锐角$\alpha$与它的余角$\left(90°-\alpha \right)$有如下关系：

$sin\left(90°-\alpha \right)=cos\alpha$，$cos\left(90°-\alpha \right)=sin\alpha$，$tan\left(90°-\alpha \right)=cot\alpha$，$cot\left(90°-\alpha \right)=tan\alpha$

$si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$，$tan\alpha \cdot cot\alpha =1$，$tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }$，$cot\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }$

当角$\alpha$在$0°~90°$间变化时，角$\alpha$的正弦、正切值随角$\alpha$的增大（或减小）而增大（或减小）；

角$\alpha$的余弦、余切值随$\alpha$的增大（或减小）而减小（或增大），正弦值、余弦值均介于0～1之间，即$0\le sin\alpha \le 1$，$0\le cos\alpha \le 1$，正切值为任意正数．

在$△ABC$中，已知$\angle B=2\angle A$，$BC=2$，$AB=2+2\sqrt{3}$，则$\angle A$=________．

如图，在$△ABC$中，$AB=AC$，点$E$是$AC$中点，点$D$是$BC$上一点，联结$DE$，$\angle AED=45°$，联结$AD$，$\angle BAD=2\angle CDE$，$tan\angle BAD=\frac{3}{4}$，$EF\perp AB$，$EF=4$，则$BD=$________．

$△ABD$中，$AB=BD$，点$C$在直线$BD$上，$BD=3CD$，$cos\angle CAD=\frac{5}{6}$，$AD=6$，则$AC=$________．

解直角三角形的应用题中常见的有关概念：

1. 仰角与俯角：它们都是在同一铅垂面内视线和水平面的夹角，视线在水平线上方的叫做仰角，

视线在水平线下方的叫做俯角．（左图）

2. 方向角：是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于九十度的角．（中图）

3. 坡度与坡角

坡面的铅垂高度（$h$）和水平长度（$l$）的比叫做坡面坡度（或坡比），记作$i$（$i=\frac{h}{l}$）

坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作$\alpha$，（$tan\alpha =i=\frac{h}{l}$）

4. 用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：

⑴ 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；

⑵ 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；

⑶ 得到数学问题的答案；

⑷ 得到实际问题的答案．

6. 2 0 2 1 崇明

   【$2021$崇明】

为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理．如图，一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点$P$处的值守人员报告：在$P$处南偏东$30°$方向上，距离$P$处$14$海里的$Q$处有一可疑船只滞留，海监船以每小时$28$里的速度向正东方向航行，在$A$处测得监测点$P$在其北偏东$60°$方向上，继续航行半小时到达了$B$处，此时测得监测点$P$在其北偏东$30°$方向上．

⑴$B$、$P$两处间的距离为________海里；如果联结图中的$B$、$Q$两点，那么$△BPQ$是________三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它________[填“能”或“不能”]到达$Q$处；