代数4-整式、分式、因式分解 · 第 045 讲

第21讲整式的恒等变形

13 道题4 个知识模块答案解析精校中

本讲答案与解析正在逐题精校，完成后在题卡下方开放。当前请先独立作答，再回来对照。

知识模块 01 · 原讲小节

整式的化简求值（复习）

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

整式的恒等变形题目以求值为主，涉及整式的各种运算性质和法则、各种乘法公式的正逆与变形应用、因式分解、配方等知识点，而且在之前也已经学了几乎所有题型，所以本讲还是以复习为主，目标查漏补缺．

下面先对我们已经学过的整式求值题型进行整理（题型难度不分先后）

题型一、先化简再求值

Eg. 已知 $x = - 2$ ， $y = 2018$ ，求 $[{(x + 2 y^{2})}^{2} - (x + y^{2}) (x - y^{2}) - 5 y^{4}] \div 2 y$ 的值.

解：原式 $= (x^{2} + 4 x y^{2} + 4 y^{4} - x^{2} + y^{4} - 5 y^{4}) \div 2 y = 2 x y$ ，

当 $x = - 2$ ， $y = 2018$ 时，原式 $= 2 \times (- 2) \times 2018 = - 8072$ .

题型二、整体思想

Eg. 已知 $a^{2} + 2 a b = 5$ ， $a b + 2 b^{2} = - 2$ ，则 $a^{2} - 4 b^{2} =$ ， $2 a^{2} + 5 a b + 2 b^{2} =$ .

解： $a^{2} - 4 b^{2} = (a^{2} + 2 a b) - 2 (a b + 2 b^{2}) = 5 - 2 \times (- 2) = 9$ ；

$2 a^{2} + 5 a b + 2 b^{2} = 2 (a^{2} + 2 a b) + (a b + 2 b^{2}) = 2 \times 5 + (- 2) = 8$ .

题型三、待定系数法

Eg. 已知 $x^{4} - 3 x^{3} + 6 x^{2} - 5 x + 3$ 可以写成 $x^{2} - x + 1$ 和另外一个二次三项式的乘积，求这个三项式.

解：设 $x^{4} - 3 x^{3} + 6 x^{2} - 5 x + 3 = (x^{2} - x + 1) (x^{2} + a x + 3)$

右边展开，得 $x^{4} + (a - 1) x^{3} + (4 - a) x^{2} + (a - 3) x + 3$

比较对应系数，易得 $a = - 2$

题型四、长除法

Eg. 已知 $x^{2} + x - 3 = 0$ ，求 $x^{3} + 2 x^{2} - 2 x + 2015$ 的值.

解：由长除法可得，原式 $= (x^{2} + x - 3) (x + 1) + 2018 = 2018$ .

题型五、无关项求值

Eg. 已知 $A = 2 x^{2} + 3 x y - 8 x + 3$ ， $B = 3 x^{2} - 2 x y + x - 5$ ，且 $3 A - 2 B$ 的值与 $x$ 无关，求 $y$ 的值.

解： $3 A - 2 B = 3 \times (2 x^{2} + 3 x y - 8 x + 3) - 2 \times (3 x^{2} - 2 x y + x - 5) = (13 y - 26) x + 19$ ，

原式与 $x$ 无关，故 $x$ 前面的系数应该为 $0$ ,有 $13 y - 26 = 0$ , $y = 2$ ．

题型六、对称式求值（ $a b, a + b, a^{2} + b^{2}, a^{3} + b^{3} \dots$ ）

Eg. 已知 $x + y = 5$ ， $x y = 2$ ，求 $x^{3} + y^{3}$ 的值.

解： $x^{3} + y^{3} = {(x + y)}^{3} - 3 x y (x + y) = 95$ .

题型七、同构式的加加减减

Eg. 已知 $x \neq y$ ， $x^{2} = x + 1$ ， $y^{2} = y + 1$ ，求 $x + y$ 的值．

解：由题意得 $x^{2} - y^{2} = x - y$ ， $(x + y) (x - y) = x - y$ ，

得 $x + y = 1$ ．

题目SH-045-001难度 B · 巩固

⑴已知 $x^{2} - 2 x y + 2 y^{2} + 4 y + 4 = 0$ ,则 $x^{y} =$ ．

⑵已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $a^{2} + 2 b = 7$ ， $b^{2} - 2 c = - 1$ ， $c^{2} - 6 a = - 17$ ，则 $a + b + c =$ ．

题目SH-045-002难度 C · 综合

整体思想

已知 $x^{2} - 4 x y - 7 y^{2} = 5$ ， $3 x^{2} + 2 x y - 4 y^{2} = - 6$ ，则 $9 x^{2} - 8 x y - 29 y^{2} =$ .

题目SH-045-003难度 B · 巩固

已知实数 $a$ 满足 $a^{4} + a^{3} - a^{2} + 2 a - 6 = 0$ ，求 $a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} - 10 a - 4$ 的值.

题目SH-045-004难度 C · 综合

已知 $x \neq y$ ，且满足 $x^{2} - x = m$ ， $y^{2} - y = m$ .若 $x^{3} + y^{3} = 10$ ,求 $m$ 的值.

题目SH-045-005难度 D · 提升

已知 $x + y = 4$ ， $x^{3} + y^{3} = 40$ ，求 $x^{3} + 4 y^{2} + 2 x$ 的值.

整式的恒等证明

知识模块 02 · 原讲小节

代数式的恒等变形

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

把一个代数式变换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形．代数式的恒等变形是数学的基础知识，它在化简、求值、证明恒等式等问题中，有着广泛的应用．

整式的恒等变形是是代数式恒等变形的基础，涉及的主要内容有：整式的各种运算性质和法则、各种乘法公式的正逆与变形应用、因式分解的有关知识等．

知识模块 03 · 原讲小节

等式的分类

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

⑴ 恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总成立．

如： $1 + 2 = 3$ ， $x + 2 x = 3 x$ ， $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ ．

⑵ 条件等式：只有用某些数值代替等式中的字母时，等式才成立．

如： $x + 2 = 3$ 只有在 $x = 1$ 时才成立．

⑶ 矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不成立．

如： $1 + 2 = 5$ ， $x + 2 = x + 3$ ．

知识模块 04 · 原讲小节

等式的证明

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

等式的证明主要分为恒等式的证明和条件等式的证明．恒等式的证明主要是通过恒等变形，从等式的一边证到另一边，或者证两边等于同一结果；条件等式的证明要认真分析条件和所证等式之间的关系．

⑴等式的证明一般是通过恒等变形把比较复杂的形式转化为比较简单的形式，即“从繁到简”．

⑵等式证明的常用方法有：

①左右法（即从左端推出右端，或从右端推出左端）；

②同一法（左右两端分别变形得到同一结果）；

③比较法（即证左右两端的差为零，或左右两端的比为 $1$ ）．

题目SH-045-006难度 C · 综合

证明： ${(a + b)}^{2} - {(c + d)}^{2} + {(a + c)}^{2} - {(b + d)}^{2} = 2 (a - d) (a + b + c + d)$

题目SH-045-007难度 D · 提升

若 $a, b, c, d$ 均为整数，且 $m = a^{2} + b^{2}$ ， $n = c^{2} + d^{2}$ ，

求证： $m n$ 可以表示成两个整数的平方和

题目SH-045-008难度 C · 综合

已知 $a + b + c = 0$ ，求证： $2 (a^{4} + b^{4} + c^{4}) = {(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}$ .

题目SH-045-009

已知 ${(a + b)}^{2} = 14$ ， ${(a - b)}^{2} = 2$ ，求 $a^{3} b + a b^{3}$ 的值.
已知实数 $a \neq - 1$ ，且满足 $a^{3} + 2 a^{2} - 1 = 0$ ，求 $a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} - 5 a - 4$ 的值.
已知实数 $x, y$ 满足 $3 x^{2} + 4 x y + 2 y^{2} - 2 x + 1 = 0$ ，求 $x^{4} + y^{4} - x^{3} - y^{3}$ 的值.
证明： $(a^{2} + b^{2}) (a b + c d) - a b (a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2}) = (a c + b d) (a d + b c)$
已知 $a + b + c = 0$ ，求证： $a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} = {(\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2})}^{2}$

⑴已知 $4 x - 3 y = 7$ , $3 x + 5 y = 12$ ，则 $6 x - 19 y =$ ．

⑵已知 $a + 2 b + 3 c = 0$ , $a - 2 b + 4 c = 20$ ,则 $a + 10 b + c =$ ．

题目SH-045-010

已知 $a - b = 2, a b = 1$ ，求 ${(a + b)}^{2}$ 的值．
大胖做一道代数题：当 $x = - 1$ 时，求代数式 $10 x^{9} + 9 x^{8} + 8 x^{7} + \dots + 2 x + 1$ 的值．由于他将式中某项前加号看成减号，结果计算的为 $3$ ．那么大胖看错了（）次项前面的符号．
A. $3$ B. $4$ C. $5$ D. $8$
已知 ${(x - 1)}^{2} {(2 x + 3)}^{2} = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ ，则 $a + b + c + d + e =$ ．
证明： $(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (a b + b c + c a) = a^{3} (b + c) + b^{3} (c + a) + c^{3} (a + b) + a b c (a + b + c)$
已知：在 $△ A B C$ 中， $a^{2} - 16 b^{2} - c^{2} + 6 a b + 10 b c = 0$ （ $a$ , $b$ , $c$ 是三角形的三边长），

求证： $a + c = 2 b$ ．

题目SH-045-011

若不论 $x$ 取何值，多项式 $x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 1$ 与 $(x + 1) (x^{2} + m x + n)$ 都相等，求 $m n$ 的值.
已知 $a (a + 1) - (a^{2} + b) = 2$ ，求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{2} - a b$ 的值．
已知 $x > y$ ，且 $x^{2} + x = 3$ ， $y^{2} + y = 3$ ，求出 $x y$ 和 $x^{4} + y^{4}$ 的值.
已知 $a x + b y = 3$ ， $a y - b x = 5$ ，求 $(a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2})$ 的值．
证明： ${(y + z - 2 x)}^{3} + {(z + x - 2 y)}^{3} + {(x + y - 2 z)}^{3} = 3 (y + z - 2 x) (z + x - 2 y) (x + y - 2 z)$
已知 $△ A B C$ 的三边长为 $a, b, c$ ，且满足 $a^{2} (a + c) (a - c) = b^{2} (b + c) (b - c)$ ，请判断三角形的形状，并说明理由.

⑴已知 $m^{2} - m n = 3$ ， $m n - n^{2} = 7$ ，则 $2 m^{2} + m n - 3 n^{2} =$ .

⑵已知 $3 x^{2} - 2 x y + 2 y^{2} = 3$ ， $x^{2} + 3 x y - 6 y^{2} = 7$ ，则 $10 x^{2} - 3 x y =$ .

题目SH-045-012

已知 $x + \frac{1}{x} = 3$ ，求 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值．
已知 $(x - 1) (x + 2) (x^{2} + 4) = x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ ，则 $a + b + c + d =$ ；

$- a + b - c + d =$ ； $3 a + 2 b + 3 c + 2 d =$ .

题目SH-045-013

已知 $M = \frac{x^{2} (a x^{5} + b x^{3} + c x)}{x^{4} + d x^{2} + e} - 5$ ，当 $x = - 4$ 时， $M = 5$ ，那么当 $x = 4$ ， $M =$ .
计算 $(x^{10} + x {}^{9}+ x^{8} + \dots + x + 1) (x^{10} - x {}^{9}+ x^{8} - \dots - x + 1)$ 展开式中奇数次各项的系数之和．
已知 $a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} = 4 a b c d$ ，且 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 都是正数，求证： $a = b = c = d$ ．