第4讲绝对值（二）

知识模块 01 · 原讲小节

绝对值的几何意义

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；

注意
⑴一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都是代表有理数；

⑵数轴使数与直线上的点联系起来，这是数与形的初步结合，数形结合是学习数学的一个重要方法．

题目SH-012-001

$| a |$ 的几何意义：数 $a$ 在数轴上的点与原点之间的距离．如 $| - 2 |$ 表示 $- 2$ 与 $0$ 之间的距离，所以

$| - 2 | = 2$ ．

$| a - b |$ 的几何意义：表示在数轴上数 $a$ 对应的点与数 $b$ 对应的点之间的距离．如 $| 2 - 3 |$ 表示 $2$ 与 $3$ 之间的距离，所以 $| 2 - 3 | = 1$

题目SH-012-002难度 A · 基础

⑴ $| x - 3 |$ 的几何意义是数轴上表示________的点与表示 ________的点之间的距离，若 $| x - 3 | = 1$ ，则 $x =$ ________．

⑵ $| x + 2 |$ 的几何意义是数轴上表示________的点与表示________的点之间的距离，若 $| x + 2 | = 2$ ，则 $x =$ ________．

⑶ $| 2 x + 4 |$ 的几何意义是数轴上点 $x$ 与表示________的点之间的距离的________倍．

⑷当 $x = \frac{π}{2}$ 时，则 $| x - 2 | + | x + 2 | =$ ________．

⑸ $| x - 2 | + | x + 3 |$ 的几何意义是数轴上点 $x$ 到________的距离与数轴上点 $x$ 到________的距离之和，当 $x$ 的取值范围为时，距离和取到最小值，为．

题目SH-012-003难度 B · 巩固

⑴ 已知 $m$ 是实数，求 $| m | + | m - 1 | + | m - 2 |$ 的最小值．

⑵ 已知 $m$ 是实数，求 $| m - 2 | + | m - 4 | + | m - 6 | + | m - 8 |$ 的最小值．

题目SH-012-004难度 D · 提升

⑴ 求 $| x - 1 | + | x - 2 | + | x - 3 | + . . . + | x - 2021 |$ 的最小值．

⑵ 求 $| x - 1 | + | x - 2 | + \dots + | x - 2021 | + | x - 2022 |$ 的最小值．

题目SH-012-005难度 C · 综合

已知 $| x + 1 | + | x - 1 | = 2$ ，化简 $| 4 - | 2 + | x - 1 | | |$ ．

绝对值的最值探讨

题目SH-012-006难度 C · 综合

已知 $0 \leq a \leq 4$ ，那么 $| a - 2 | + | 3 - a |$ 的最大值等于___________．

题目SH-012-007难度 C · 综合

当 $x$ 取何值时， $| x - 1 | - | x + 3 |$ 的最大值与最小值分别是多少？．

非负三宝

所谓非负数，是指零和正实数．非负数的性质在解题中颇有用处，常见的非负数有三种：实数的偶次幂，实数的绝对值和算术平方根（七下知识点）．

1．实数的偶次幂是非负数

若 $a$ 是任意实数，则 $a^{2 n} \geq 0$ （ $n$ 为正整数），特别的地，当 $n = 1$ 时，有 $a^{2} \geq 0$

2．实数的绝对值是非负数

若 $a$ 是实数，则 $| a | = {\begin{matrix} a (a > 0) \\ 0 (a = 0) \\ - a (a < 0) \end{matrix}$

3．正实数的算术平方根是非负数（七下知识点）．

若 $a$ 为实数，则 $\sqrt{a^{2}} = | a | \geq 0$

非负数的重要性质：

有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．即若 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot a_{n}$ 为非负数，且 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + a_{n} = 0$ ，则必有 $a_{1} = a_{2} = a_{3} = a_{4} = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot = a_{n - 1} = a_{n} = 0$

（鉴于算术平方根属七下知识点，本讲内容只涉及实数的偶次幂和实数的绝对值．）

题目SH-012-008难度 B · 巩固

①已知 $| x + 3 | + {(y - 1)}^{2} = 0$ ，求 ${(\frac{- 4}{y - x})}^{2 n - 1}$ 的值．( $n$ 为正整数)

②若 $| x - 3 |$ 与 ${(y + 1)}^{2}$ 互为相反数，则 $x^{3} - y^{3} =$ ．

③已知 $- {a_{1}}^{2} - (a_{2} - 1)^{2} - (a_{3} - 2)^{2} - \cdot \cdot \cdot - (a_{100} - 99)^{2} = 0$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{100} =________$ ．

题目SH-012-009难度 C · 综合

已知非零实数 $a, b, c$ 满足 $| a + b + 1 | + 4 {(4 a - b + 2)}^{2} = 0$ ，求 $\frac{a + b}{b - 1}$ 的值．

题目SH-012-010

填空： $| x - 1 | + 2 | x - 2 | + 3 | x - 3 |$ 的最小值是_________．

题目SH-012-011

解答题：求 $| x - 1 | + 2 | x - 3 | + 3 | x - 4 |$ 的最小值．

代数式 $| x + 3 | + | x + 2 | + | x + 1 | + | x | + | x - 1 | + | x - 2 |$ 的最小值为___________．

若 ${(3 a - b + 1)}^{2} + | 5 a + 3 b - 7 | = 0$ ，则 $a + b =$ ______________．

已知 $\frac{2 x - 1}{3} - 1 \geq x - \frac{5 - 3 x}{2}$ ，求 $| x - 1 | - | x + 3 |$ 的最大和最小值．

如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距 $1$ 个单位，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 对应的整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ ，且 $b - 2 a = 9$ ，那么数轴的原点对应点是（）

A． $A$ 点 B． $B$ 点 C． $C$ 点 D． $D$ 点

题目SH-012-012

代数式 $| x + 11 | + | x - 12 | + | x + 13 | + | x - 13 |$ 的最小值．
求 $| x - 1 | + | x - 2 | + | x - 3 | + . . . + | x - 617 |$ 的最小值．
如果 $y = | x + 1 | - 2 | x | + | x - 2 |$ ，且 $- 1 \leq x \leq 2$ ，求 $y$ 的最大值和最小值．
解方程： ${(2 x - y - 5)}^{2} + | x + 3 y + 8 | = 0$ ．
若实数 $x, y, z$ 满足 $\frac{1}{2} | x + y | + {(z - \frac{1}{2})}^{2} + | y - 2 z | = 0$ ，则 ${(x + z)}^{2 y} =_________$ ．

题目SH-012-013

已知 $x$ 满足不等式 $\frac{3 x - 1}{2} - \frac{7}{3} \geq x - \frac{5 + 2 x}{3}$ ，并且 $| x - 3 | - | x + 2 |$ 的最大值为 $p$ ，最小值为 $q$ ，求 $p + q$ 的值．
已知 $x \leq 2$ ，求 $| x - 3 | - | x + 2 |$ 的最大值与最小值．
已知 $| m + n | + | m | = m$ ，且 $| 2 m - n - 2 | = 0$ ，求 $m$ 、 $n$ 的值．
若 $a ， b ， c ， d$ 为互不相等的有理数，且 $c$ 最小， $a$ 最大，且 $| a - c | - | b - c | + | b - d | = | a - d |$ ．请按 $a ， b ， c ， d$ 从小到大的顺序排列．