代数6-一元二次方程 · 第 065 讲

第1讲一元二次方程的一般解法

16 道题7 个知识模块答案解析精校中

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知识模块 01 · 原讲小节

一元二次方程的认识

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知识讲解定义、性质与方法

知识模块 02 · 原讲小节

一元二次方程的定义

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知识讲解定义、性质与方法

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 $2$ 的整式方程叫做一元二次方程．
判断一元二次方程的要点：

方程为整式方程；
方程有且只含有一个未知数；
方程的未知数的最高次数是 $2$ ;
整理后，最高次前系数不为 $0$ .

知识模块 03 · 原讲小节

一元二次方程的一般式

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知识讲解定义、性质与方法

任何一个关于 $x$ 的一元二次方程都可以化为 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的形式，这种形式简称一元二次方程的一般式．

其中 $a x^{2}$ 叫做二次项， $a$ 是二次项系数； $b x$ 叫做一次项， $b$ 是一次项系数； $c$ 叫做常数项．

知识模块 04 · 原讲小节

方程的解

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题目SH-065-001

使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根．

反之，如果一个数是方程的解，则将这个数代入方程，必能使方程的左右两边的值相等．

特别地，如果 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）的一个根，则 $a {x_{0}}^{2} + b x_{0} + c = 0$ ．

有以下结论：

若方程一根为 $0 \Leftrightarrow c = 0$ ,
若方程一根为 $1 \Leftrightarrow a + b + c = 0$ ,
若方程一根为 $- 1 \Leftrightarrow a - b + c = 0$ ,
若方程两根互为相反数 $\Leftrightarrow b = 0$ , $a c \leq 0$ ．

题目SH-065-002难度 B · 巩固

已知方程 $2 x^{a} - x^{b} - x^{2} + 4 = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，求正整数 $a$ 、 $b$ 的值．

题目SH-065-003难度 A · 基础

⑴ 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + k x + k = 0$ 的一个根是 $- 2$ ，求 $k$ 的值．

⑵ 已知方程 $3 a x^{2} - b x - 1 = 0$ 和 $a x^{2} + 2 b x - 5 = 0$ 有共同的根 $- 1$ ，求 $a$ ， $b$ 的值．

题目SH-065-004难度 B · 巩固

⑴ 已知 $a$ 是方程 $x^{2} - 2019 x + 1 = 0$ 的某个根，求代数式 $a^{2} - 2018 a + \frac{2019}{a^{2} + 1}$ 的值.

⑵ 已知 $a$ 是方程 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的某个根，求代数式 $\frac{2 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} - 5 a + 1}{3 a - 1}$ 的值．

一元二次方程的一般解法

因式分解法：

适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．
因式分解法的一般步骤：

将方程化为一元二次方程的一般形式；
把方程的左边分解为两个一次因式的积；
令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
解出这两个一元一次方程得到原方程的解．

知识模块 05 · 原讲小节

直接开平方法

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知识讲解定义、性质与方法

用于形如 $a x^{2} = b$ 或 ${(x + a)}^{2} = b (b \geq 0)$ 或 ${(a x + b)}^{2} =$ ${(c x + d)}^{2}$ 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．

知识模块 06 · 原讲小节

配方法(基本方法)

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题目SH-065-005

解形如 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的一元二次方程，
一般步骤是：

二次项系数化“ $1$ ”（方程两边同除二次项系数）；
常数项右移（把常数项移到右边去，注意符号）；
配方（两边同加一次项系数一半的平方）；
化成 ${(x + m)}^{2} = n$ 的形式；
若 $n \geq 0$ ，选用直接开平方法得出方程的解;

题目SH-065-006

若 $n < 0$ ,无解.

公式法（来历：由配方法演绎得到）

一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的求根公式是 $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ．
运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：

把方程化为一般形式；
确定 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的值；
计算 $b^{2} - 4 a c$ 的值；
若 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ，则代入公式求方程的根．

若 $b^{2} - 4 a c < 0$ ，则方程无解．

题目SH-065-007难度 C · 综合

因式分解法解方程：

⑴ $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ ；⑵ $- x^{2} + 2 x + 3 = 0$ ；

⑶ $2 x (x - 2) = x^{2} + 5$ ；⑷ $x^{2} - 91 x + 2014 = 0$ ．

题目SH-065-008难度 B · 巩固

开平方法解方程：

⑴ $x^{2} - 25 = 144$ ；⑵ $4 {(2 x - 1)}^{2} - 25 = 0$ ；

⑶ ${(x - a)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ；⑷ ${[{(2 x - 3)}^{2} + 5]}^{2} - 36 = 0$ ．

题目SH-065-009难度 C · 综合

配方法解方程：

⑴ $x^{2} + 4 x - 2 = 0$ ；⑵ $2 x^{2} + 3 x + 2 = 0$ ；

⑶ $2 x^{2} + 8 x - 1 = 0$ ；⑷ $x^{2} + \frac{1}{6} x - \frac{1}{3} = 0$ ．

题目SH-065-010

试推导出一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）的求根公式；若 $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq 0$ ，且 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 都是有理数)有有理数解，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 之间应该满足什么关系？

题目SH-065-011难度 C · 综合

运用求根公式解下列方程：

⑴ $x^{2} - 3 x + 5 = 0$ ；⑵ $2 x^{2} + 8 x - 7 = 0$ ； ⑶ $3 x^{2} - \sqrt{3} x - 2 = 0$ ．

题目SH-065-012难度 C · 综合

用适当方法解下列关于 $x$ 的方程：

⑴ $x (x + 8) = 16$ ；

⑵ $3 y^{2} + 1 = 2 \sqrt{3} y$ ；

⑶ $x^{2} - 5 x y + 2 y^{2} = 0$ （ $y$ 是常数）．

三角形的每条边的长都是方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的根，则三角形的周长是_____________．
设 $c$ 是实数，已知 $x^{2} - 3 x + c = 0$ 的一个解的相反数是方程 $x^{2} + 3 x - c = 0$ 的一个解，求方程 $x^{2} - 3 x + c = 0$ 的解．
若方程 $x^{2} + b x + 1 = 0$ 与方程 $x^{2} - x - b = 0$ 至少有一个相同的实数根，求实数 $b$ 的值．

已知三个关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ , $b x^{2} + c x + a = 0$ , $c x^{2} + a x + b = 0$ 恰有一个公共实数根，则 $\frac{a^{2}}{b c} + \frac{b^{2}}{c a} + \frac{c^{2}}{a b}$ 的值为.

题目SH-065-013

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有一个根是 $1$ ，一个根是 $- 1$ ，求 $a + c$ 的值．
方程 $(a - 1) x^{a^{2} + 1} + 2 a x - 3 = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，求 $a$ 的值．
因式分解法解方程：

⑴ $4 x^{2} + 12 x - 7 = 0$ ⑵ $2 x (2 x + 5) = 2 x^{2} + 3 x - 5$

知识模块 07 · 原讲小节

开平方法解下列方程

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知识讲解定义、性质与方法

⑴ ${(2 x - 5)}^{2} = 9$ ；⑵ ${(x + 3)}^{2} - 49 = 0$ ；

⑶ $3 {(5 - x)}^{2} = 48$ ；⑷ $\frac{1}{3} {(2 x - 3)}^{2} = 12$ ．

题目SH-065-014

用配方法解一元二次方程：

⑴ $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ ；⑵ $\frac{2}{3} y^{2} + 2 y - 2 = 0$ ．

题目SH-065-015

运用求根公式解下列方程：

⑴ $- \frac{2}{3} x^{2} + 5 x - 6 = 0$ ；⑵ $3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$ ．

题目SH-065-016

当 $x$ 满足条件 ${\begin{matrix} x + 1 < 3 x - 3 \\ \frac{1}{2} (x - 4) < \frac{1}{3} (x - 4) \end{matrix}$ 时，求出方程 $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ 的根．