第9讲一次函数综合

知识模块 01 · 原讲小节

定义

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

一般地，解析式形如 $y = k x + b$ （ $k$ 、 $b$ 是常数，且 $k \neq 0$ ）的函数叫做一次函数．一次函数的定义域是一切实数．

截距

一条直线与 $y$ 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在 $y$ 轴上的截距．一般地，直线 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）与 $y$ 轴的交点坐标是 $(0, b)$ .直线 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）的截距是 $b$ .

斜率

直线 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ），由于 $k$ 的值不同，则直线相对于 $x$ 轴正方向的倾斜程度不同．这个常数 $k$ 称为直线的斜率．

若已知 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ ，则 $k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ ．

知识模块 02 · 原讲小节

性质

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

增减性（单调性）

当 $k > 0$ 时，函数值 $y$ 随自变量 $x$ 的值增大而增大；

当 $k < 0$ 时，函数值 $y$ 随自变量 $x$ 的值增大而减小．

拓

一次函数

y = k x + b

(k \neq 0)

在

m \leq x \leq n

时的最值问题

$k > 0$ 时： $x = m$ 时， $y$ 取最小值； $x = n$ 时， $y$ 取最大值；

$k < 0$ 时： $x = m$ 时， $y$ 取最大值； $x = n$ 时， $y$ 取最小值；

位置情况

当 $k > 0$ 时，直线 $y = k x + b$ 经过第一、三象限；

当 $k < 0$ 时，直线 $y = k x + b$ 经过第二、四象限；

当 $b > 0$ 时，直线 $y = k x + b$ 经过第一、二象限；

当 $b < 0$ 时，直线 $y = k x + b$ 经过第三、四象限．

拓
直线 $l_{1}$ ： $y = k_{1} x + b_{1}$ （ $k_{1} \neq 0$ ）与直线 $l_{2}$ ： $y = k_{2} x + b_{2}$ （ $k_{2} \neq 0$ ）的位置关系：

$k_{1} \neq k_{2} \Leftrightarrow l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交（拓展： $k_{1} k_{2} = - 1$ 时， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 垂直）；
$k_{1} = k_{2}$ 且 $b_{1} \neq b_{2} \Leftrightarrow l_{1}$ 与 $l_{2}$ 平行；
$k_{1} = k_{2}$ 且 $b_{1} = b_{2} \Leftrightarrow l_{1}$ 与 $l_{2}$ 重合．

一次函数 $y = k x + b$ $(k \neq 0)$ 图像的平移、对称和旋转

变换

平移

对称

旋转

关于

x

轴

关于

y

轴

关于垂直于轴的直线

旋转图像上的两个点，由旋转后的两点坐标确定解析式

方法

⑴ $k$ 值不变，平移图像上的一个点；

⑵ $k$ 值不变，“上加下减，左加右减”

⑴对称图像上的两个点；

⑵ $k 、 b$ 均变为相反数

⑴对称图像上的两个点；

⑵ $k$ 变为相反数， $b$ 不变

对称图像上的两个点，由对称后的两点坐标确定解析式

题目SH-091-001难度 A · 基础

⑴已知 $y = (m - 2) x^{| m | - 1} + 1 + m$ ，当 $m =$ _______时， $y$ 是 $x$ 的一次函数.

⑵一次函数 $y = (k^{2} + 1) x + b$ 图像必经过第_________象限， $y$ 随 $x$ 的增大而

________，图像是从左向右________的直线（填“上升”或“下降”）；当 $b ＞ 0$ 时，图像必经过第_________象限；当 $b ＜ 0$ 时，图像必经过第_________象限.

⑶若一次函数 $y = k x + 1$ 经过 $(1, 2)$ ,则 $k =$ .

⑷已知一次函数的图像经过 $(- 2, - 3)$ 和 $(2, 2)$ 两点，则这个一次函数的解析式为，其中斜率为_________，截距为_________.

⑸直线 $y = 2 x - 10$ 和 $y = - x + 2$ 的交点坐标为.

题目SH-091-002难度 B · 巩固

①把函数 $y = k x + b$ 的图像向右平移 $m$ 个单位，所得函数图像的解析式

为；

②直线 $y = - 2 x - 4$ 关于 $x$ 轴对称的直线解析式为，直线 $y = - 2 x - 4$ 关于 $y$ 轴对称的直线解析式为；

③直线 $y = - 2 x - 4$ 关于 $y = 1$ 对称的直线解析式为.

④直线 $y = - 2 x - 4$ 关于 $y = x$ 对称的直线解析式为．

题目SH-091-003难度 C · 综合

题目SH-091-004

已知函数 $y = (m - 2) x + 2 m - 3$ .

⑴求证：无论取何实数时，这些函数图像恒过某一定点；

⑵当 $x$ 定义域为 $1 \leq x \leq 2$ 时，对应的 $y$ 的值域为 $4 \leq y \leq 5$ ，求实数 $m$ 的值.

⑴一次函数 $y = k x + b$ ，当 $- 2 \leq x \leq - 1$ 时最大值记为 $A_{1}$ ，最小值记为 $B_{1}$ ，当

$1 \leq x \leq 3$ 时最大值记为 $A_{2}$ ，最小值记为 $B_{2}$ ．并且有 $A_{1} + B_{2} = 4$ ， $A_{2} + B_{1} = 6$ ．求一次函数的解析式.

⑵求证：一次函数 $y = \frac{2 k - 1}{k + 2} x - \frac{k - 10}{k + 2}$ 的图像对一切有意义的 $k$ 恒过定点，并求这个定点．

题目SH-091-005难度 B · 巩固

应用函数图像求不等式 $\frac{1}{x} > 2 x - 1$ 的解集．

题目SH-091-006难度 C · 综合

题目SH-091-007

已知点 $A (- 4, 2)$ 、 $B (n, - 4)$ 是一次函数 $y = k x + b$ 的图像与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的

图像的两个交点．

⑴求此反比例函数和一次函数的解析式；

⑵根据图像写出使一次函数 $y = k x + b$ 的值小于反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的值的 $x$ 的取值范围．

题目SH-091-008

已知直线 $y = k x + b$ $(k \neq 0)$ 与双曲线 $y = \frac{k^{2}}{x}$ 交于点 $M (m, - 1)$ 、 $N (n, 2)$ ．

求不等式 $\frac{y - b}{k} > \frac{k^{2}}{y}$ 的解集．

【补】已知直线 $y = k x + b$ $(k \neq 0)$ 与双曲线 $y = \frac{k^{2}}{x}$ 交于点 $M (m, - 1)$ 、 $N (n, 2)$ ．

求不等式 $\frac{x - b}{k} > \frac{k^{2}}{x}$ 的解集．

题目SH-091-009难度 C · 综合

如图，直线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + 1$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A$ 、 $B$ ，以线段 $A B$ 为直角边在第一象限内作等腰 $R t △ A B C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，

⑴求点 $C$ 坐标；

⑵如在第二象限内有一点 $P (a, \frac{1}{2})$ ，且 $△ A B P$ 的面积与 $△ A B C$ 的面积相等，求 $a$ 的值．

题目SH-091-010难度 E · 挑战

如图，直线 $y = - \frac{3}{4} x + 6$ 分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，直线 $y = \frac{5}{4} x$ 与 $A B$ 交于点 $C$ ，与过点 $A$ 且平行于 $y$ 轴的直线交于点 $D$ ．点 $E$ 从点 $A$ 出发，以每秒 $1$ 个单位的速度沿 $x$ 轴向左运动．过点 $E$ 作 $x$ 轴的垂线，分别交直线 $A B$ 、

$O D$ 于 $P$ 、 $Q$ 两点，以 $P Q$ 为边向右作正方形 $P Q M N$ ，设正方形 $P Q M N$ 与 $△ A C D$ 重叠部分（阴影部分）的面积为 $S$ (平方单位)，点 $E$ 的运动时间为 $t$ （秒）．

⑴求点 $C$ 的坐标；

⑵当 $0 < t < 5$ 时，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式；

⑶求⑵中 $S$ 的最大值．

题目SH-091-011难度 E · 挑战

求由方程 $| x | + | y | = 3$ 确定的曲线所围成的图形面积．

题目SH-091-012

直线 $y = k x + b$ 经过第一、二、四象限，则 $k, b$ 应满足_____________________.
一次函数 $y_{1} = - x - 1$ 与 $y_{2} = 2 x - 2$ 的交点 $P$ 的坐标为_________.

当 $x$ _________时 $y_{1} > y_{2}$ ；当 $x$ _________时 $y_{1} < y_{2}$ .

题目SH-091-013

一次函数 $y = k x + b$ 的图像经过点 $A (0, 1)$ , $B (3, 0)$ ,若将该图像沿着 $x$ 轴向左平移 $4$ 个单位，则相当于此图像沿 $y$ 轴向下平移________个单位.
一次函数 $y = k x + b$ ，当 $- 3 \leq x \leq 2$ 时， $y$ 最大值是 $10$ ，最小值是 $0$ ，求函数解析式．
不论 $m$ 为何值，直线 $y = (m - 1) x + 2 m + 1$ 恒过定点_____________.
已知一次函数与反比例函数的图像交于点 $P (- 2, 1)$ 和 $Q (1, m)$ ．

⑴求反比例函数的关系式；⑵求 $Q$ 点的坐标；

⑶在同一直角坐标系中画出这两个函数图像的示意图，并观察图像回答：当 $x$ 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？

题目SH-091-014

求使方程 $| x - 1 | - | x - 2 | + 2 | x - 3 | = c$ 恰好有两个解的所有实数 $c$ ．