第4讲一次函数的图像与性质

一次函数的定义

一次函数的图像

一次函数的性质

一次函数解析式的确定

截距

斜率

位置情况

增减性（单调性）

函数 · 第 086 讲

23 道题4 个知识模块答案解析精校中

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知识模块 01 · 原讲小节

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

一般地，解析式形如 $y = k x + b$ （ $k$ 、 $b$ 是常数，且 $k \neq 0$ ）的函数叫做一次函数．

一次函数的定义域是一切实数．
一次函数与正比例函数之间的关系：

当 $b = 0$ 时，解析式 $y = k x + b$ 就成为 $y = k x$ （ $k$ 、 $b$ 是常数，且 $k \neq 0$ ），这时 $y$ 是 $x$ 的正比例函数．所以，正比例函数是一次函数的特例．

注

一般地，解析式形如

y = c

（

c

为常数）叫做常值函数．

知识模块 02 · 原讲小节

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知识讲解定义、性质与方法

一般地，一次函数 $y = k x + b$ （ $k$ 、 $b$ 是常数，且 $k \neq 0$ ）的图像是一条直线．

一次函数 $y = k x + b$ 的图像也称为直线 $y = k x + b$ ，这时，把一次函数的解析式称为这一条直线的表达式．

(画一次函数 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线 )

一条直线与 $y$ 轴的交点的纵坐标叫做直线在 $y$ 轴上的截距，简称直线的截距．

一般地，直线 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）与 $y$ 轴的交点坐标是 $(0, b)$ ．直线 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）的截距是 $b$ ．

在平面直角坐标系中画直线 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ），截距 $b$ 相同的直线都经过同一点 $(0, b)$ ；而由于 $k$ 的值不同，则直线相对于 $x$ 轴正方向的倾斜程度不同．这个常数 $k$ 称为直线的斜率．

知识模块 03 · 原讲小节

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知识讲解定义、性质与方法

当 $k > 0$ 且 $b > 0$ 时，直线 $y = k x + b$ 经过第一、二、三象限；

当 $k > 0$ 且 $b < 0$ 时，直线 $y = k x + b$ 经过第一、三、四象限；

当 $k < 0$ 且 $b > 0$ 时，直线 $y = k x + b$ 经过第一、二、四象限；

当 $k < 0$ 且 $b < 0$ 时，直线 $y = k x + b$ 经过第二、三、四象限；

当 $k > 0$ 时，函数值 $y$ 随自变量 $x$ 的值增大而增大；

当 $k < 0$ 时，函数值 $y$ 随自变量 $x$ 的值增大而减小．

直线 $l_{1}$ ： $y = k_{1} x + b_{1}$ （ $k_{1} \neq 0$ ）与直线 $l_{2}$ ： $y = k_{2} x + b_{2}$ （ $k_{2} \neq 0$ ）的位置关系：

$k_{1} \neq k_{2} \Leftrightarrow l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交（拓展： $k_{1} k_{2} = - 1$ 时， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 垂直）；
$k_{1} = k_{2}$ 且 $b_{1} \neq b_{2} \Leftrightarrow l_{1}$ 与 $l_{2}$ 平行；
$k_{1} = k_{2}$ 且 $b_{1} = b_{2} \Leftrightarrow l_{1}$ 与 $l_{2}$ 重合．

题目SH-086-001难度 A · 基础

⑴一次函数 $y = k x + b$ 有下列性质：

当 $k ＞ 0$ 时，图像必经过第________象限， $y$ 随 $x$ 的增大而________，图像是从左向右________的直线（填“上升”或“下降”）；

当 $k ＜ 0$ 时，图像必经过第________象限， $y$ 随 $x$ 的增大而________，图像是从左向右________的直线（填“上升”或“下降”）；

当 $b ＞ 0$ 时，图像必经过第______象限；当 $b ＜ 0$ 时，图像必经过第______象限.

⑵一次函数 $y = - 2 x + 1$ 经过第_______象限，一次函数 $y = \frac{1}{2} x - 1$ 不经过第______象限.

⑶若一次函数 $y = k x + b$ 的图像经过第一象限，且与 $y$ 轴负半轴相交，那么（）

$A$ ． $k > 0$ ， $b > 0$ $B$ ． $k > 0$ ， $b < 0$

$C$ ． $k < 0$ ， $b > 0$ $D$ ． $k < 0$ ， $b < 0$

⑷已知一次函数 $y = k x + b$ ，其中 $k b > 0$ ，则所有符合条件的一次函数的图像一定都经过（）

$A$ ．第一、二象限 $B$ ．第二、三象限

$C$ ．第三、四象限 $D$ ．第一、四象限

⑴一、三；增大；上升；二、四；减小；下降；一、二；三、四；

⑵一、二、四，二;

⑶ $B$ ；

⑷ $B$ .

题目SH-086-002难度 B · 巩固

已知一次函数 $y = (m + 3) x + 2 - n$

⑴ $m$ 为何范围时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；

⑵ $m$ 、 $n$ 为何范围时，函数图像与 $y$ 轴的交点在 $y$ 轴正半轴；

⑶ $m$ 、 $n$ 为何范围时，函数图像经过第二、三、四象限；

⑷ $m$ 、 $n$ 为何范围时，函数图像过原点．

题目SH-086-003难度 C · 综合

⑴若一次函数 $y = (3 m - 7) x + m - 1$ 的图像与 $y$ 轴的交点在 $x$ 轴的上方，且 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，求整数 $m$ 的值为________．

⑵已知一次函数 $y = (5 - a) x + a - 1$ 的图像如图所示，则 $a$ 的取值范围是_______．

题目SH-086-004

⑶若 $a b > 0$ ， $b c < 0$ ，则 $y = - \frac{a}{b} x + \frac{a}{c}$ 经过（）

$A$ ．第一、二、三象限 $B$ ．第一、三、四象限

$C$ ．第一、二、四象限 $D$ ．第二、三、四象限

⑷若一次函数 $y = 2 (1 - k) x + \frac{k}{2} - 1$ 的图像不经过第一象限，则 $k$ 的取值范围________．

题目SH-086-005难度 C · 综合

⑴函数 $y = k x - k$ 的图像可能是（）

$A$ ． $B$ ．

题目SH-086-006

$C$ ． $D$ ．

⑵下图中可以表示一次函数 $y = m x + n$ 与正比例函数 $y = n x$ 图像的是（）

题目SH-086-007

$A$ ． $B$ ．

题目SH-086-008

$C$ ． $D$ ．

题目SH-086-009

⑶一次函数 $y = a x + b$ ①和 $y = b x + a$ ②在同一坐标系中图像可能是（）

知识模块 04 · 原讲小节

$y = k x + b$

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题目SH-086-010

用待定系数法确定一次函数解析式：

题目SH-086-011

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数解析式 $y = k x$ （ $k \neq 0$ ）中的常数 $k$ ，需要一个条件；确定一个一次函数，需要确定一次函数的解析式 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）中的常数 $k$ 和 $b$ ，需要两个条件.解决这类问题的一般方法是待定系数法.
用待定系数法求函数解析式的一般步骤：

题目SH-086-012

设函数解析式 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）；
把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程（组）；
解方程（组），求出待定系数；
将求得的待定系数的值代入所设的解析式．

题目SH-086-013

求两直线交点坐标：

直线 $y = k_{1} x + b_{1}$ （ $k_{1} \neq 0$ ）与直线 $y = k_{2} x + b_{2}$ （ $k_{2} \neq 0$ ）的交点坐标 $(x_{0}, y_{0})$ 就是方程组 ${\begin{matrix} y = k_{1} x + b_{1} \\ y = k_{2} x + b_{2} \end{matrix}$ 的解．

题目SH-086-014难度 B · 巩固

⑴已知一次函数的图像经过 $(- 2, 3)$ 和 $(2, 4)$ 两点．求这个一次函数的解析式．

⑵求证：点 $A (2, 2)$ ， $B (- 1, \frac{7}{2})$ ， $C (12, - 3)$ 在一条直线上．

题目SH-086-015难度 C · 综合

⑴某一次函数的图像与直线 $y = 6 - x$ 交于点 $A (5 ， m)$ ，且与直线 $y = 2 x - 3$ 无交点，求此函数的关系式．

⑵已知 $y + m$ 与 $x + n$ 成正比例，其中 $m$ 、 $n$ 为常数，则 $y$ 是 $x$ 的什么函数？若当 $x = - 1$ 时， $y = - 15$ ；当 $x = 7$ 时， $y = 1$ ，求这个函数的解析式．

题目SH-086-016难度 C · 综合

一次函数 $y = m x + n$ ，当 $- 2 \leq x \leq 5$ 时，对应的 $y$ 值为 $0 \leq y \leq 7$ ，求一次函数的解析式.

题目SH-086-017难度 B · 巩固

⑴求直线 $y = - x - 1$ 与 $y = x + 2$ 的交点坐标．

⑵已知正比例函数 $y = \frac{1}{3} x$ 与一次函数 $y = \frac{5}{4} x - \frac{11}{4}$ ，求这两个函数图像与 $x$ 轴所围成的三角形面积

题目SH-086-018难度 D · 提升

已知 $m$ 为正整数，直线 $y = \frac{- 5 x + 2 m + 1}{4}$ 和 $y = - \frac{2}{3} x + \frac{m}{3}$ 的交点在第四象限，求这两条直线与 $x$ 轴围成的三角形面积．

题目SH-086-019难度 D · 提升

已知直线 $y = x + 3$ 的图像与 $x$ 、 $y$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，直线 $l$ 经过原点，与线段 $A B$ 交于点 $C$ ，把 $△ A O B$ 的面积分为 $2 : 1$ 的两部分，求直线 $l$ 的解析式．

题目SH-086-020难度 D · 提升

已知 $a b c = 0$ ，而且 $\frac{a + b}{c} = \frac{b + c}{a} = \frac{c + a}{b} = p$ ，则直线 $y = p x + p$ 一定通过哪些象限．

题目SH-086-021难度 D · 提升

已知函数 $f (x) = (m - 2) x + 2 m - 3$ ．

①求证：无论 $m$ 取何实数时，这些函数图像恒过某一定点．

②当 $x$ 的定义域为 $1 \leq x \leq 2$ ， $y$ 的值域为 $4 \leq y \leq 5$ ，求实数 $m$ 的值．

⑴一次函数 $y = 2 x + 1$ 的图像不经过（）

$A$ ．第一象限 $B$ ．第二象限 $C$ ．第三象限 $D$ ．第四象限

⑵如果直线 $y = a x + b$ 经过第一、二、四象限，那么 $a b$ ______ $0$ （填 $>$ ， $<$ ， $=$ ）

⑶如果直线 $y = a x - b$ 经过一、三、四象限，那么直线 $y = b x + a$ 经过第______象限；直线 $y = - \frac{b}{a} x$ 经过第______象限．

一次函数 $y = (k + 1) x + k - 2$ 的图像经过一、三、四象限，求 $k$ 的取值范围．

⑴下列图像中，不可能是关于 $x$ 的一次函数 $y = m x - (m - 3)$ 的图像的是（）

$A$ ． $B$ ． $C$ ． $D$ ．

题目SH-086-022

⑵如图，直线 $l_{1} : y = a x + b$ 和 $l_{2} : y = b x - a$ ，在同一坐标系中的图像大致是（）

$A$ ． $B$ ． $C$ ． $D$ ．

已知一个一次函数中自变量 $x = - 2$ 时， $y = - 1$ ，当 $x = 2$ 时， $y = 11$ ，则这个一次函数的解析式为________．

如果一次函数的自变量 $x$ 的取值范围是 $- 2 \leq x \leq 6$ ，相应函数值的范围是 $- 11 \leq y \leq 9$ .求此函数的解析式．

直线 $l$ ： $y = p x$ （ $p$ 是不等于 $0$ 的整数）与直线 $y = x + 10$ 的交点恰好是格点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线 $l$ 有________条．

已知 $k = \frac{a + b - c}{c} = \frac{a - b + c}{b} = \frac{- a + b + c}{a}$ ，且 $\sqrt{m + 5} + n^{2} + 9 = 6 n$ ．问关于自变量 $x$ 的一次函数 $y = k x + m + n$ 的图像一定经过哪几个象限？

一条直线 $l$ 经过不同的三点 $A$ （ $a$ , $b$ ）， $B$ （ $b$ , $a$ ）， $C$ （ $a - b$ ， $b - a$ ），那么直线 $l$ 经过________象限．

题目SH-086-023

如图，直线 $y = - x + b$ 与双曲线 $y = - \frac{2}{x}$ 在第二象限相交于点 $A$ ，与 $x$ 轴相交于点 $B$ ，若点 $C (0, 2)$ ， $A C = B C$ ，则线段 $A B$ 长为．

一次函数 $y = k x + b$ 的图像与反比例函数 $y = \frac{- 2}{x}$ 的图像交于点 $A (- 1, m)$ ， $B (n, - 1)$ 两点，则使 $k x + b > \frac{- 2}{x}$ 的 $x$ 的取值范围是．