第15讲因式分解一（复习、主元法）

知识模块 01 · 原讲小节

因式分解复习

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

因式分解四大基本方法：提公因式、运用公式、十字相乘、分组分解

基本思路：一提、二代、三分组

题目SH-038-001难度 B · 巩固

分解因式：

⑴ $(2 x - 3 y) (3 x - 2 y) + (2 y - 3 x) (2 x + 3 y)$

⑵ ${(x - 1)}^{2} (3 x - 2) + 2 - 3 x$

⑶ $1 + x + x (1 + x) + x {(1 + x)}^{2} + x {(1 + x)}^{3}$

题目SH-038-002难度 B · 巩固

分解因式：

⑴ $a^{4} - 2 a^{2} {(b + c)}^{2} + {(b + c)}^{4}$

⑵ ${(x^{2} + y^{2} - 9)}^{2} - 4 x^{2} y^{2}$

⑶ $x^{2} + 9 y^{2} + 4 z^{2} - 6 x y + 12 y z - 4 x z$

题目SH-038-003难度 B · 巩固

分解因式：

⑴ $20 x^{2} + 9 x y - 18 y^{2}$

⑵ $2 {(a + b)}^{2} + a^{2} - b^{2} - 6 {(a - b)}^{2}$

⑶ $7 {(x + y)}^{3} - 5 {(x + y)}^{2} - 2 (x + y)$

题目SH-038-004难度 B · 巩固

分解因式：

⑴ $6 a x^{2} - 9 a^{2} x y + 2 x y - 3 a y^{2}$

⑵ $y (y - 2) - (m + 1) (m - 1)$

⑶ $x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 4$

主元法

主元十字法实际上属于分组分解法中的一类，方法是以某个字母（最高次数为 $2$ ）为主（看作主元），把这个多项式看成关于主元的二次三项式，再用十字相乘法进行因式分解.

【引例】用主元法分解因式： $2 x^{2} - 5 x y + 2 y^{2} + 7 x - 5 y + 3$

法一：视 $x$ 为主元，则原式 $= 2 x^{2} + (7 - 5 y) x + (2 y^{2} - 6 y + 3)$

$= 2 x^{2} + (7 - 5 y) x + (y - 1) (2 y - 3)$

$= (x - 2 y + 3) (2 x - y + 1)$

法二：视 $y$ 为主元，则原式 $= 2 y^{2} - (5 x + 5) y + (2 x^{2} + 7 x + 3)$

$= 2 y^{2} - (5 x + 5) y + (x + 3) (2 x + 1)$

$= (y - 2 x - 1) (2 y - x - 3)$

题目SH-038-005难度 B · 巩固

用主元法分解因式：

⑴ $x^{2} + x y - 2 y^{2} - x + 7 y - 6$ ⑵ $a (6 a + 11 b + 4) + b (3 b - 1) - 2$

题目SH-038-006难度 C · 综合

用主元法分解因式：

⑴ $x^{3} + (2 a + 1) x^{2} + (a^{2} + 2 a - 1) x + a^{2} - 1$

⑵ $a^{2} (b - c) + b^{2} (c - a) + c^{2} (a - b)$

⑶ $x^{2} y - y^{2} z + z^{2} x - x^{2} z + y^{2} x + z^{2} y - 2 x y z$

题目SH-038-007难度 C · 综合

用主元法分解因式： $y (y + 1) (x^{2} + 1) + x (2 y^{2} + 2 y + 1)$ .

题目SH-038-008难度 D · 提升

用主元法分解因式： $(1 - 2 a - a^{2}) b + a (a - 1) (2 b^{2} - 1)$

因式分解： $4 m^{2} n^{2} - 2 m^{3} n^{3} - 2 m n$

因式分解： ${(a^{2} b^{2} + 1)}^{2} - 4 a^{2} b^{2}$

因式分解： $a^{n + 1} + 3 a^{n} + 2 a^{n - 1}$

因式分解： $x^{3} - x^{2} y - x y^{2} + y^{3}$

因式分解： $1 + a + b + c + a b + a c + b c + a b c$

分解因式：

⑴ $a^{2} b + a b + a$

⑵ $9 a^{2} x^{2} - 18 a^{3} x^{3} - 36 a^{4} x^{4}$

分解因式：

⑴ ${(x^{2} + 1)}^{2} - 4 x^{2}$

⑵ $\frac{2}{9} a^{2} - \frac{4}{3} a + 2$

分解因式：

⑴ $- 2 x^{2} y + 8 x y - 6 y$

⑵ $(a^{2} + 8 a)^{2} + 22 (a^{2} + 8 a) + 120$

分解因式：

⑴ $x^{2} - 2 x - y^{2} + 2 y$

⑵ $4 a b + 1 - a^{2} - 4 b^{2}$

题目SH-038-009

用主元法分解因式：

⑴ $x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} - 4 x - 5 y + 3$

⑵ $x^{2} - 5 x y + 6 y^{2} + 2 y - 4$

分解因式： $m x^{2} + m^{2} x + x^{2} + 3 m x - 2 m - 4$

分解因式 $24 x^{2} y^{3} z^{4} (a - b)^{2} - 20 x^{3} y^{2} z^{3} (a - b)^{2} + 8 x^{5} y^{4} z^{5} (a - b)^{2}$
分解因式： ${(p - q)}^{2 m + 1} + {(q - p)}^{2 m - 1}$
分解因式： $64 x^{8} - \frac{1}{4}$
用主元法分解因式： $m^{2} x^{2} - m x^{2} - 2 m x + x + 1$
用主元法分解因式： $a b c x^{2} + a^{2} b^{2} x + c^{2} x + a b c$

分解因式： $x^{3} (x + y - z) (y + z - a) + x^{2} z (z - x - y) + x^{2} y (z - x - y) (x - z - a)$ .
分解因式： ${(a + x)}^{4} - {(a - x)}^{4}$
若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为 $△ A B C$ 的三边长，且 $(a - b) b + a (b - a) = a (c - a) + b (a - c)$ ，则

$△ A B C$ 按边分类，应是什么三角形？

题目SH-038-010

用主元法分解因式： $a^{2} b + a^{2} c + a c^{2} - a b^{2} - b^{2} c - b c^{2}$ ．
用主元法分解因式： $b^{3} + 2 a b^{2} + a^{2} b + a c^{2} + c^{3}$

题目SH-038-011

分解因式： $3 x^{2} (x - y)^{2} - 27 {(y - x)}^{4}$
分解因式： $x^{2} - y^{2} - z^{2} - 2 y z$
已知 ${(a + 2 b)}^{2} - 2 a - 4 b + 1 = 0$ ，求 ${(a + 2 b)}^{2020}$ 的值．
利用分解因式证明： $2 5^{7} - 5^{12}$ 能被 $120$ 整除．
用主元法分解因式： $a^{2} b - a b^{2} + a^{2} c - a c^{2} - 3 a b c + b^{2} c + b c^{2}$