代数5-实数与二次根式 · 第 057 讲

第1讲平方根与立方根

22 道题3 个知识模块答案解析精校中

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知识模块 01 · 原讲小节

平方根与立方根

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

实数的概念

有理数和无理数统称为实数．

$Unsupported Unsupported {\begin{matrix} 有理 Unsupported {\begin{matrix} 整 Unsupported {\begin{matrix} 正整 Unsupported \\ 0 \\ Unsupported 整 Unsupported \end{matrix} \\ 分 Unsupported {\begin{matrix} 正分 Unsupported \\ Unsupported 分 Unsupported \end{matrix} \end{matrix}} 有限小 Unsupported 或 Unsupported 限循 Unsupported 小 Unsupported \\ Unsupported 理 Unsupported {\begin{matrix} 正 Unsupported 理 Unsupported \\ Unsupported Unsupported 理 Unsupported \end{matrix}} Unsupported 限不循 Unsupported 小 Unsupported \end{matrix}$

平方根

如果一个数的平方等于 $a$ ，那么这个数叫做 $a$ 的平方根（square root）．
求一个数 $a$ 的平方根的运算，叫做开平方（extraction of square root）， $a$ 叫做被开方数．开平方与平方互为逆运算.
在实数范围内，正数有两个平方根，它们可以用“ $\pm \sqrt{a}$ ”表示，互为相反数；

$\sqrt{a}$ 表示 $a$ 的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号 $a$ ”；
$- \sqrt{a}$ 表示 $a$ 的负平方根，读作“负根号 $a$ ” ；
零的平方根是零，记作 $\sqrt{0}$ ， $\sqrt{0} = 0$ ， $0$ 的算术平方根也是 $0$ .
在实数范围内，负数没有平方根．

立方根

如果一个数的立方等于 $a$ ，那么这个数叫做 $a$ 的立方根（cube root），用“ $\sqrt[3]{a}$ ”表示，读作“三次根号 $a$ ”， $\sqrt[3]{a}$ 中的 $a$ 叫做被开方数， “ $3$ ”叫做根指数，不能省略.
求一个数的立方根的运算叫做开立方（extraction of cubic root）.开立方与立方互为逆运算．

在实数范围内，任何一个数都有且只有一个立方根．即：正数的立方根为正数；负数的立方根为负数；

$0$ 的立方根为 $0$ ．

$n$ 次方根：

如果一个数的 $n$ 次方（ $n$ 是大于 $1$ 的整数）等于 $a$ ，那么这个数叫做 $a$ 的 $n$ 次方根（n-th root）.

当 $n$ 为奇数时，奇次方根只有一个；当 $n$ 为偶数时，正数的偶次方根有两个，且互为相反数， $0$ 的偶次方根为 $0$ ，负数没有偶次方根.

求一个数 $a$ 的 $n$ 次方根的运算叫做开 $n$ 次方， $a$ 叫做被开方数， $n$ 叫做根指数.

题目SH-057-001难度 B · 巩固

⑴平方根等于它本身的数是，算术平方根等于它本身的数是，

立方根等于它本身的数是；平方根与立方根相等的数是．

⑵① $196$ 的平方根是；② ${(- 2.5)}^{2}$ 的平方根是；

③ ${(- \sqrt{2})}^{2}$ 的平方根是；④ $\sqrt{16}$ 的平方根是；

⑤ $\sqrt[3]{8}$ 的相反数是； ⑥ $\sqrt{64}$ 的立方根是．

题目SH-057-002难度 B · 巩固

求下列各式中 $x$ 的值：

（1） $3 x^{2} - \frac{4}{3} = 0$ （2） ${(5 x - 3)}^{2} = 20 \frac{1}{4}$ （3） $\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{2} - 8 = 0$

（4） $2 {(x - 1)}^{3} = - 16$ （5） ${(10 - 0.2 x)}^{3} = - 0.027$ （6） $\sqrt[3]{x + 2} + 3 = 0$

题目SH-057-003难度 C · 综合

⑴已知 $x = \sqrt[2 a - b + 4]{a + 3}$ 是 $a + 3$ 的算术平方根， $y = \sqrt[b - 3 a + 2]{b - 3}$ 是 $b - 3$ 的立方根，

求 $y - x$ 的立方根．
⑵已知某正数的两个平方根是 $3 a - 5$ 与 $a + 1$ ，求这个正数．

⑶已知 $2 a - 1$ 和 $a + 3$ 都是某数的平方根，求这个数.

实数的运算

知识模块 02 · 原讲小节

算术平方根的性质

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

⑴ $\sqrt{a^{2}} = | a | = {\begin{matrix} a, a > 0 \\ 0, a = 0 \\ - a, a < 0 \end{matrix}$ ；

⑵算术平方根 $\sqrt{a^{2}} = | a | \geq 0$ ，具有非负性．

算术平方根的积和商

$\begin{matrix} \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{a b} (a \geq 0, b \geq 0) \\ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a \geq 0, b > 0) \end{matrix}$

注意

对于 $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{a b}$ ，如下的应用十分频繁：

$\sqrt{a^{2} b} = \sqrt{a^{2}} \sqrt{b} = a \sqrt{b} (a > 0)$ (根号内的数可以移到根号外；反过来，也可把根号外的数移到根号内)，这里要特别注意 $a$ 的正负，如 $a < 0,$ 则 $\sqrt{a^{2} b} = \sqrt{a^{2}} \sqrt{b} = - a \sqrt{b} .$

题目SH-057-004难度 B · 巩固

⑴若 $\sqrt{1 - 3 a}$ 和 $| 8 b - 3 |$ 互为相反数，求 $\frac{1}{{(a b)}^{2}} - 27$ 的值．

⑵已知 $x, y, z$ 满足 $\frac{| x - y |}{2} + z^{2} + \sqrt{2 y + z} = 4 z - 4$ ，求 ${(y + z)}^{x}$ 的值.

题目SH-057-005难度 B · 巩固

计算：⑴ $\sqrt{25} + \sqrt[3]{8} - {(- 3)}^{2}$ ；

⑵ $3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{{(- 2)}^{2}}$ ；

⑶ $| \sqrt{2} - \sqrt{6} | + | 1 - \sqrt{2} |$ ；

⑷ $\sqrt{5} (\sqrt{5} - \frac{2}{\sqrt{5}}) - \sqrt[3]{1 - \frac{7}{8}}$ ．

【注意】当 $a$ 是有理数时， $a \cdot \sqrt{b}$ 一般要写成 $a \sqrt{b}$ ，如 $\frac{3}{2} \times \sqrt{5}$ 应写成 $\frac{3}{2} \sqrt{5}$ ．

要注意： $\frac{3}{2} \sqrt{5}$ 不能写成 $1 \frac{1}{2} \sqrt{5}$ 或 $\sqrt{5} \frac{3}{2}$ ．

题目SH-057-006难度 C · 综合

计算：⑴ ${(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{0} + \sqrt[3]{- 27} + | 2 - \sqrt{3} |$ ；

⑵ $(\sqrt{50} - \sqrt{32}) \div \sqrt{2} + (2 + \sqrt{5}) (2 - \sqrt{5})$ ；

⑶ $\sqrt[3]{- 3 \frac{3}{8}} + 2 | 1 - \sqrt{3} | + \frac{1}{2} {(\sqrt{π} - 1)}^{0} - (2 \sqrt{3} - 1) .$

知识模块 03 · 原讲小节

实数的重要性质

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

⑴有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，都可以写成两个整数 $p$ 与 $q$ （ $q \neq 0$ ）的比值的形式；

无理数是无限不循环小数，不能写成分数 $\frac{q}{p}$ 的形式（这里 $p, q$ 是互质的整数，且 $p \neq 0$ ）．

⑵有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；

无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．

题目SH-057-007难度 C · 综合

⑴已知 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 是有理数， $a + b \sqrt{2} = c + d \sqrt{2}$ ，试证明： $a = c$ ， $b = d$ ．

⑵已知 $x$ ， $y$ 是有理数，且 $(3 + 2 \sqrt{3}) x + (2 - 4 \sqrt{3}) y - 4 + 12 \sqrt{3} = 0$ ，求 $x$ ， $y$ 的值．

题目SH-057-008难度 B · 巩固

证明： $\sqrt{2}$ 是无理数.

题目SH-057-009难度 C · 综合

⑴证明： $\sqrt{3}$ 是无理数.

⑵证明： $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ 是无理数.

题目SH-057-010难度 C · 综合

已知 $n$ 为正整数，求证 $\sqrt{n^{4} + 2 n^{3} + 2 n^{2} + 2 n + 1}$ 必定是无理数.

题目SH-057-011

下列计算错误的是 $($ 　　 $)$

A． $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$ B． $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = 2$ C． ${(- \sqrt{2})}^{2} = 2$ D． $\sqrt{2^{2}} = 2$

题目SH-057-012

下列式子正确的是 $($ 　　 $)$

① $\sqrt{{(3 - π)}^{2}} = π - 3$ ；② $\sqrt{\frac{- 16}{- 25}} = \frac{\sqrt{- 16}}{\sqrt{- 25}} = \frac{4}{5}$ ；③ $\sqrt{4 \frac{1}{4}} = 2 + \frac{1}{2}$ ；④ $2 + \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ ；

⑤ $\sqrt{{(- 4)}^{2}}$ 的平方根是 $- 4$ ．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

题目SH-057-013

$3 a - 1$ 与 $a + 5$ 是同一个数的平方根，求这个数．

题目SH-057-014

若自然数 $a$ 的立方根为 $x$ ，那么 $a + 1$ 的平方根是．（用含 $x$ 的代数式表示）

题目SH-057-015

计算： $\sqrt{1 3^{2} - 1 2^{2}} \times {(- \frac{\sqrt{5}}{2})}^{2} \div \sqrt[3]{- \frac{125}{8}}$

题目SH-057-016

已知 $a$ ， $b$ 是有理数，并且满足方程 $(2 + \sqrt{3}) a + (3 - 2 \sqrt{3}) b = 4$ ，求 $a, b$ 的值．

题目SH-057-017

填空：

⑴ $25$ 的平方根是；⑵ $1 \frac{7}{9}$ 的算术平方根是；

⑶ $2 \frac{10}{27}$ 的立方根是；⑷正数 $a$ 的平方根是________；

⑸ $m$ 的立方根是________．

题目SH-057-018

一个正数的两个平方根是 $a^{2} + b^{2}$ 和 $4 a - 6 b + 13$ ，求这个数．
已知 $| x - 2 | + {(y + 4)}^{2} + \sqrt{x + y - 2 z} = 0,$ 求 ${(x z)}^{y}$ 的平方根．
计算：

⑴ $\frac{\sqrt{6} \times \sqrt{3}}{\sqrt{2}} - 1$

⑵ $\sqrt{16} + \sqrt[3]{27} - 2 \sqrt{\frac{1}{4}}$

⑶ $(\sqrt{3} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + \sqrt{3}) - {(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{2}$ ．

题目SH-057-019

计算：

⑴ $\sqrt{5} \times \sqrt{\frac{9}{20}}$

⑵ $\frac{\sqrt{20} - \sqrt{45}}{\sqrt{5}} + | 1 + \sqrt[3]{- 64} |$

⑶ $(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}) - {(3 - \sqrt{2})}^{2}$ ．

题目SH-057-020

证明： $\sqrt{5}$ 是无理数.

题目SH-057-021

已知下列各数： $7.2$ ， $- 2^{2}$ ， $- \sqrt{8}$ ， $0.1$ ， $- \sqrt[3]{64}$ ， $3.14$ ， $\sqrt{{(- 2)}^{2}}$ ， $0 . \overset{•}{1} 0 \overset{•}{2}$ ， $- 5$ ， $\sqrt[3]{9}$ ， $\sqrt{5}$

把它们分别填在相应的大括号里．

⑴ 整数集合 ${}$ ； ⑵ 无理数集合 ${}$ ；

⑶ 负有理数集合 ${}$ ；⑷ 非负有理数集合 ${}$ ．

题目SH-057-022

一个正数的平方根分别是 $a^{2} + b^{2}$ 和 $6 a - 8 b + 25$ ，求这个数．
已知实数： $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $\frac{1}{2} | a - b | + \sqrt{2 b + c} + c^{2} - c + \frac{1}{4} = 0$ ，则 $\frac{c}{a b}$ 的立方根是________
已知 $x 、 y$ 为有理数，且 $(\frac{1}{2} + \frac{π}{3}) x + (\frac{1}{3} + \frac{π}{2}) y - 4 - π = 0$ ,求 $x 、 y$ 的值.
求证： $\sqrt[3]{2}$ 是无理数.