第7讲 相似三角形（一）

变形3：若$\angle B=\angle E=\angle AGF$，则$△ABC\backsim △DEF$．

变形4：若$\angle B=\angle E=\angle AGE$，则$△ABC\backsim △DEF$．

已知：如图，在梯形$ABCD$中，$AD//BC$，$AB\perp BC$，$AD=3$，$BC=8$，$AB=10$，在$AB$上取点$P$，使$△PAD$和$△PBC$相似，则$AP=$________．

【有坑，不会放在学生版中】

如图，已知$AD\perp AB$于点$A$，$BC\perp AB$于点$B$，且$AD=3$，$BC=2$，$AB=m$，在线段$AB$上找一点$P$，使$△ADP$与$△BCP$相似，若这样点$P$有且只两个，则$m$的值是________．

如图，四边形$ABCD$是正方形，$AB$边上有一点$E$，$BC$边上有一点$F$，且$EF=3$，$FD=4$，$DE=5$，求正方形$ABCD$的面积．

⑴一张矩形纸片$ABCD$，$AD=9$，$AB=12$，将纸片折叠，使$A$、$C$两点重合，折痕的长是________．

⑵矩形$ABCD$中，$AB=3BC$，将矩形折叠，点$B$落在边$AD$上的点$M$处，$C$落在$N$处，求$\frac{\left|EC-FB\right|}{AM}$．

如图$1$，正方形$AEFG$的顶点$E$、$F$分别在矩形$ABCD$的边$BC$、$CD$上，$AD$、$FG$交于点$H$．

⑴ 求证：$CE=CD$；

⑵ 若点$F$是$CD$的中点，求证：点$H$是$FG$的中点；

⑶ 如图$2$，若正方形$AEFG$的顶点$E$在矩形$ABCD$的边$BC$上，顶点$F$在矩形$ABCD$的边$CD$的延长线上，点$H$为$AD$，$GF$的延长线的交点，且$\frac{FD}{CD}=\frac{1}{2}$，求$\frac{GH}{FH}$的值．

如图，已知$AB=CD=1$，$\angle ABC=90°$，$\angle CBD=30°$，求$AC$的长．

一线三等角

一线三等角：通常以等腰三角形（等腰梯形）为背景．

⑵如图，已知：在$Rt△ABC$中，$\angle ACB=90°$，$AC=BC=4$，$M$是边$AB$的中点，$E$、$G$分别是边$AC$、$BC$上的一点，$\angle EMG=45°$,$AC$与$MG$的延长线相交于点$F$，联结$EG$，当$AE=3$时，求$EG$的长．

⑵在$△ABC$中，$AB=2\sqrt{2}$，$\angle B=45°$，以点$A$为直角顶点作等腰$Rt△ADE$，点$D$在$BC$上，点$E$在$AC$上，若$CE=\sqrt{5}$，则$CD$的长为________．

如图，梯形$ABCD$中，$AD\parallel BC$，$AB=DC$，点$P$是$AD$边上一点，联结$PB$、$PC$，且$A{B}^2=AP\cdot PD$，则图中有________对相似三角形．

如图，在直角梯形$ABCD$中，$AB\parallel DC$，$\angle B=\angle C=90°$，$E$是$BC$边上的中点，且$\angle AED=90°$，$AE=2$，$\angle ADE=30°$，求梯形的上、下底长．

已知矩形$ABCD$中，$CD=2$，$AD=3$，点$P$是$AD$上的一个动点，且和点$A$、$D$不重合，过点$P$作$PE\perp CP$交边$AB$于点$E$，设$PD=x$，$AE=y$，求$y$关于$x$的函数关系式，并写出$x$的取值范围．

如图，梯形$ABCD$中，$AD\parallel BC$，$\angle ABC=90°$，$AD=9$，$BC=12$，$AB=a$．在线段$BC$上任取一点$P$，联结$DP$，作射线$PE\perp DP$，$PE$与直线$AB$交于点$E$．

⑴ 试确定$CP=3$时，点$E$的位置．

⑵ 若设$CP=x$，$BE=y$，试写出当$x>3$时，$y$关于自变量$x$的函数关系式．