第3讲 特殊的平行四边形（二）

⑴如图，正方形$ABCD$的边长为$2cm$，以$B$为圆心，$BC$长为半径画弧交对角线$BD$于点$E$，连接$CE$，$P$是$CE$上任意一点，$PM\perp BC$于$M$，$PN\perp BD$于$N$，则$PM+PN$的值为________．

⑵如图，在边长为$3$的正方形$ABCD$中两条对角线$AC$、$BD$相交于点$O$.点$P$是边$AB$上一点，过点$P$分别作直线$AC$、$BD$的垂线，垂足为$E$、$F$，则$PE+PF=$________．

⑵如图，正方形$ABCD$中，$O$是对角线$AC，BD$的交点，过点$O$作$OE\perp OF$，分别交$AB，CD$于$E，F$，若$AE=4，CF=3$，则$EF=$

⑶将$n$个边长都为$1cm$的正方形按如图所示摆放，点$A_1，A_2，...，A_n$分别是正方形的中心，则$5$个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为________；$n$个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为________．

⑴如图，已知$E$、$F$分别是正方形$ABCD$的边$BC$、$CD$上的点，$AE$、$AF$分别与对角线$BD$相交于$M$、$N$，若$\angle EAF=50°$，则$\angle CME+\angle CNF=$_____．

⑵如图，在正方形$ABCD$中，点$P$、$P_1$为正方形内的两点，且$PB=PD$，$P_{1}B=AB$，$\angle CBP=\angle P_{1}BP$，则$\angle B{P}_{1}P$=________．

如图，在正方形$ABCD$外取一点$E$，联结$AE$、$BE$、$DE$，过点$A$作$AE$的垂线交$DE$于点$P$．若$AE=AP=1$，$PB=\sqrt{5}$，下列结论：①$△APD≌△AEB$；②点$B$到直线$AE$的距离为$\sqrt{2}$；③$EB\perp ED$；④$S_{△APD}+S_{△APB}=1+\sqrt{6}$；⑤$S_{ABCD}=4+\sqrt{6}$．其中正确的是______________．

如图，在平行四边形$ABCD$中，对角线$AC$、$BD$交于点$O$，点$E$是$BD$延长线上的点，且$△ACE$是等边三角形，$\angle AED=2\angle EAD$.

求证：四边形$ABCD$是正方形.

已知：如图，四边形$ABCD$中，$AD\parallel BC$，$AD=CD$，$E$是对角线$BD$上一点，且$EA=EC$．如果$BE=BC$，且$\angle CBE:\angle BCE=2:3$．求证：四边形$ABCD$是正方形．

⑴如图，已知正方形$ABCD$中，边长为$12\text{c}\text{m}$，$E,P,F$三点分别在$AB,BC,CD$上，且$AP\perp EF$,$BP=5\text{c}\text{m}$，则$EF=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$．

⑵如图所示，一边长为$24$厘米的正方形纸片，$AD$上有一点$P$，且$AP=7$厘米，折这纸片使点$B$落在点$P$上，求折痕$EF$的长．

若正方形$ABCD$的边长为$4$，$E$为$BC$边上一点，$BE=3$，$M$为线段$AE$上一点，射线$BM$交正方形的一边于点$F$，且$BF=AE$，则$BM$的长为______________．

图1 图2

如图，已知$P$是正方形$ABCD$内的一点，且$\Delta ABP$为等边三角形，那么$\angle DCP=$

如图，$E$是正方形$ABCD$对角线$BD$上的一点，求证：$AE=CE$．

如图，在$△ABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，垂足分别为$E$、$F$．⑴求证：$DE=DF$．⑵只添加一个条件，使四边形$EDFA$是正方形．请你至少写出两种不同的添加方法．

如图，$P$为正方形$ABCD$对角线上一点，$PE\perp BC$于$E$，$PF\perp CD$于$F$.求证：$AP=EF$.

如图，正方形$ABCD$的边长为$1$，点$P$为$BC$边上的任意一点，分别过$D,B$作$AP$的垂线段，垂足分别是$F,G$．猜想$D{F}^2+B{G}^2$的值．

如图，在正方形纸片$ABCD$中，对角线$AC$、$BD$交于点$O$，折叠正方形$ABCD$纸片，使$AD$落在$BD$上，点$A$恰好与$BD$上的点$F$重合，折痕$DE$分别交$AB$、$AC$于点$E$、$G$，联结$GF$，下列结论：①$\angle AGD=112.5°$；②$\frac{AD}{AE}=2$；③$S_{△AGD}=S_{△OGD}$；④四边形$AEFG$是菱形；⑤$BE=2OG$；其中，正确结论的序号是______________．

如图，以$△ABC$的边$AC$、$AB$为边长向外作正方形$ABEF$和正方形$ACNM$，联结$BM$、$CF$．⑴证明：$BM=CF$，$BM\perp CF$．⑵若$AB=3$，$AC=2$，$BC=4$，求$FM$的长度．

如图，以$Rt△ABC$的斜边$BC$为一边在$△ABC$的同侧作正方形$BCEF$，设正方形的中心为$O$，联结$AO$，如果$AB=4$，$AO=6\sqrt{2}$，求$AC$的长．

如图，正方形$ABCD$的边长为$2$，以对角线$BD$为边作菱形$BEFD$，点$C$、$E$、$F$在同一直线．⑴ 求$\angle EBC$的度数；⑵ 求$CE$的长．

如图，过正方形顶点$A$作$AE\parallel BD$，且$BE=BD$．若$BE$与$AD$的延长线的交点为$F$，求证：$DF=DE$．

四边形$ABCD$的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形$EFGH$，求证：

⑴四边形$EFGH$对角互补；

⑵若四边形$ABCD$为平行四边形，则四边形$EFGH$为矩形．

⑶若四边形$ABCD$为矩形，则四边形$EFGH$为正方形．