函数 · 第 082 讲

第18讲二次函数综合

12 道题4 个知识模块答案解析精校中

本讲答案与解析正在逐题精校，完成后在题卡下方开放。当前请先独立作答，再回来对照。

知识模块 01 · 原讲小节

二次函数基础知识

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

一般式和顶点式，对称轴和顶点： $y = a x^{2} + b x + c = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$

由顶点式可知顶点坐标为 $(- \frac{b}{2 a}, \frac{4 a c - b^{2}}{4 a})$ ，对称轴为直线 $x = - \frac{b}{2 a}$ .

题目SH-082-001

根据抛物线的开口方向判断 $a$ 的正负性．
根据抛物线的对称轴判断 $- \frac{b}{2 a}$ 的大小．
根据抛物线与 $y$ 轴的交点，判断 $c$ 的大小．
据抛物线与 $x$ 轴有无交点，判断 $b^{2} - 4 a c$ 的正负性．
根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的等式．
根据抛物线的顶点，判断 $\frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ 的大小．

知识模块 02 · 原讲小节

二次函数解析式的表示方法

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知识讲解定义、性质与方法

名称	函数形式	温馨提示
一般式	$y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$	已知任意 $3$ 点坐标，可用一般式求解二次函数解析式．
顶点式	$y = a {(x - h)}^{2} + k (a \neq 0)$	已知①顶点坐标；②对称轴；③任意两点坐标的纵坐标 $(x_{1}, y), (x_{2}, y)$ 相同时，可用顶点式求解二次函数解析式．
交点式（两根式）	$\begin{matrix} y = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) \\ (a \neq 0) \end{matrix}$	已知①抛物线与 $x$ 轴的两个交点坐标；②对称轴和抛物线与 $x$ 轴一个交点的坐标；③两点 $(x_{1}, y)$ $(x_{2}, y)$ 的纵坐标相同，且知抛物线与 $x$ 轴的一个交点坐标，均可用交点式求解二次函数解析式．

三、抛物线与 $x$ 轴的交点

二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像与 $x$ 轴的两个交点的横坐标 $x_{1}$ 、 $x_{2}^{}$ ，是对应一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个实数根．抛物线与 $x$ 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

有两个交点 $\Leftrightarrow$ $Δ > 0$ ；有一个交点，顶点 $(- \frac{b}{2 a}, 0)$ ） $\Leftrightarrow$ $Δ = 0$ ；没有交点 $\Leftrightarrow$ $Δ < 0$ ．

知识模块 03 · 原讲小节

求出下列二次函数的解析式

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知识讲解定义、性质与方法

⑴二次函数图像经过点 $(1, 2)$ ， $(- 1, - 6)$ 和 $(0, - 5)$ ；

⑵二次函数的顶点为 $(- 3, 5)$ ，同时经过点 $(- 1, 9)$ ；

⑶二次函数图像经过点 $(- 1, 0)$ ， $(3, 0)$ 和点 $(2, 6)$ .

⑴已知二次函数的图像是由抛物线 $y = x^{2}$ 沿着直线 $y = 2 x$ 平移得到的，它的顶点在直线 $y = 2 x$ 上，且它经过点 $(0, 3)$ ，求这个二次函数的解析式.

⑵在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移 $3$ 个单位长度，然后绕原点旋转 $180 °$ 得到抛物线 $y = x^{2} + 5 x + 6$ ，则原抛物线的解析式是（）

题目SH-082-002

A． $y = - {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{11}{4}$ B． $y = - {(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{11}{4}$

C． $y = - {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ D． $y = - {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$

已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的解析式中，各项系数的比为 $a : b : c = 4 : 8 : 3$ .判断这个二次函数的图像与 $x$ 轴是否有交点；如果有，则求出交点的坐标

⑴抛物线 $y_{1} = 2 {(x - 2)}^{2} - 6$ 的顶点为 $P$ ，已知 $y_{2} = k x + 3$ 的图像经过点 $P$ ．则这个一次函数与两坐标轴所围成的三角形面积是多少？并讨论当 $y_{1} > y_{2}$ 时 $x$ 的取值范围.

⑵如图，二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图像的最低点 $P$ 的坐标是 $(4, 0.4)$ ，它与一次函数 $y_{2} = k x + m (k \neq 0)$ 的图像交于 $A (- 2, 4)$ ， $B (8, n)$ 两点.①分别求二次函数和一次函数的解析式.②根据图像，求能使 $y_{1} > y_{2}$ 成立的 $x$ 的取值范围.

知识模块 04 · 原讲小节

二次函数综合

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知识讲解定义、性质与方法

根据二次函数顶点、对称轴、交点和二次函数图像的特性，灵活求解综合类题型.

⑴函数 $y = \frac{k}{x}$ 与 $y = - k x^{2} + k (k \neq 0)$ 在同一直角坐标系中的图像可能是（）

题目SH-082-003

A． B． C．D．

题目SH-082-004

⑵如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图像与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $O A = O C$ ．则下列结论：① $a b c < 0$ ；② $\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} > 0$ ；③ $a c - b + 1 = 0$ ；④ $O A \cdot O B = - \frac{c}{a}$ ．其中正确结论的个数是（）

A．4 B．3 C．2 D．1

对于二次函数 $y = x^{2} + m x + 1$ ，当 $0 < x \leq 2$ 时的函数值总是非负数，则实数 $m$ 的取值范围为（）

题目SH-082-005

A． $m \geq - 2$ B． $- 4 \leq m \leq - 2$ C． $m \geq - 4$ D． $m \leq - 4$ 或 $m \geq - 2$

如图，将一块三角板放在平面直角坐标系中，已知 $∠ A O B = 30 °$ ， $∠ A B O = 90 °$ ，且点 $A$ 的坐标为 $(2, 0)$ ．

⑴求点 $B$ 的坐标；

⑵若二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 的图像经过 $A$ ， $B$ ， $O$ 三点，试确定此二次函数的解析式；

⑶在⑵中的二次函数图像的 $O B$ 段（不包括点 $O$ ， $B)$ 上，是否存在一点 $C$ ，使得 $△ O B C$ 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点 $C$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

题目SH-082-006

如图，抛物线 $y = a {(x - 2)}^{2} - 1$ 过点 $C (4, 3)$ ，交 $x$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧）.

⑴求抛物线的解析式，并写出顶点 $M$ 的坐标；

⑵联结 $O C$ ， $C M$ ，求 $t a n ∠ O C M$ 的值；

⑶若点 $P$ 在抛物线的对称轴上，联结 $B P$ 、 $C P$ 、 $B M$ ，当 $∠ C P B = ∠ P M B$ 时，求点 $P$ 的坐标.

题目SH-082-007

评定： $lALPDgQ9rN7UgP_M2s0Eaw_1131_218$

题目SH-082-008

根据题意求下列二次函数解析式：

⑴抛物线经过点 $(2, 0), (5, 0)$ 和点 $(3, 4)$ ；

⑵二次项系数为 $1$ 的二次函数顶点在直线 $y = 2 x - 3$ 上且经过原点.

如图，二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + 3$ 的图像与 $x$ 轴相交于点 $A (- 3, 0)$ 、 $B (1, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ， $C$ 、 $D$ 是二次函数图像上的一对对称点，一次函数 $y_{2} = m x + n$ 的图像经过 $B$ 、 $D$ 两点．

⑴ 求二次函数的解析式及点 $D$ 的坐标；⑵ 根据图像写出 $y_{2} > y_{1}$ 时， $x$ 的取值范围．

题目SH-082-009

⑴如图是二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 和一次函数 $y_{2} = m x + n (m \neq 0)$ 的图像，当 $y_{2} > y_{1}$ ， $x$ 的取值范围是________．

⑵如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 在抛物线 $y = x^{2} - 2 x + 2$ 上运动．过点 $A$ 作 $A C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，以 $A C$ 为对角线作矩形 $A B C D$ ，联结 $B D$ ，则对角线 $B D$ 的最小值为________．

题目SH-082-010

已知二次函数 $y = - x^{2} + 2 m x - 2 m^{2} - 3$ （ $m$ 为常数）．

⑴ 求证：不论 $m$ 为何值，该二次函数图像与 $x$ 轴没有公共点；

⑵ 如果把该函数图像沿 $y$ 轴向上平移 $4$ 个单位后，得到的函数图像与 $x$ 轴只有一个公共点，试求 $m$ 的值．

对于一个函数，如果它的自变量 $x$ 与函数值 $y$ 满足：当 $- 1 ⩽ x ⩽ 1$ 时， $- 1 ⩽ y ⩽ 1$ ，则称这个函数为“闭函数”．例如： $y = x$ ， $y = - x$ 均是“闭函数”．已知 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 是“闭函数”，且抛物线经过点 $A (1, - 1)$ 和点 $B (- 1, 1)$ ，则 $a$ 的取值范围是________．

题目SH-082-011

抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a$ ， $b$ ， $c$ 为常数，且 $a \neq 0)$ 经过点 $(- 1, 0)$ 和 $(m, 0)$ ，且 $1 < m < 2$ ，当 $x < - 1$ 时， $y$ 随着 $x$ 的增大而减小．下列结论：① $a b c > 0$ ；② $a + b > 0$ ；③若点 $A (- 3, y_{1})$ ，点 $B (3, y_{2})$ 都在抛物线上，则 $y_{1} < y_{2}$ ；④ $a (m - 1) + b = 0$ ；⑤若 $c ⩽ - 1$ ，则 $b^{2} - 4 a c ⩽ 4 a$ ．其中结论错误的是________．

若直线 $y = m (m$ 为常数）与函数 $y = {\begin{matrix} x^{2} (x ⩽ 2) \\ \frac{4}{x} (x > 2) \end{matrix}$ 的图像恒有三个不同的交点，则常数 $m$ 的取值范围是________．

题目SH-082-012

已知二次函数 $y = m x^{2} - (m - 1) x - 1$ ， $(m \neq 0)$

⑴求证：这个二次函数的图像一定与 $x$ 轴有交点；

⑵若这个二次函数有最大值 $0$ ，求 $m$ 的值；

⑶我们定义：若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图像与 $x$ 轴正半轴的两个交点的横坐标 $x_{1}$ 、 $x_{2} (x_{1} > x_{2})$ ，满足 $- 6 < \frac{x_{1}}{x_{2}} < 6$ ，则称这个二次函数与 $x$ 轴有两个“规范交点”．如果二次函数 $y = m x^{2} - (m - 1) x - 1$ 与 $x$ 轴有两个“规范交点”，求 $m$ 的取值范围．