第8讲经济问题和工程问题

知识模块 01 · 经济模型

利润、折扣与定价

前置是百分数和一元一次方程。成本是进货支出，标价是未优惠价格，售价是实际成交价；折扣以标价为基准，利润率以成本为基准。

例题 2随堂练习 6作业 6

本模块知识点

前置：百分数与一元一次方程成本、标价、售价与利润的定义利润率以成本为基准折扣以标价为基准定价与保本条件

解题路径

分别标出成本、标价和实际售价
用实际售价减成本求利润
用利润除以成本求利润率
用标价乘折扣求售价，并回代检查是否达到利润要求

01

知识讲解定义、性质与方法

经济问题

利润问题

三个基本量：成本、售价（营业额）和利润．

利润=售价（营业额）- 成本

利润率：为了能够反映投入一元钱可以获得多少收入，体现经营损耗带来的经营成果，引入了成本利润率这个概念，简称利润率（盈利率）．

利 润 率 = \frac{利 润}{成 本} \times 100 %

02

例题教师示范

例题 10教师示范A1-08-001难度 B · 巩固

⑴ 某商品原价 $100$ 元，先涨价 $\frac{1}{5}$ ，再降价 $\frac{1}{5}$ ，则现价为；

⑵ 两件商品都卖了 $60$ 元，其中一件赚了 $\frac{1}{5}$ ，一件亏了 $\frac{1}{5}$ ，如果合在一起考虑，两件商品总计

（填“赚”或“亏”）了元钱；

⑶ 某商品打八折出售后，仍能获得 $30 %$ 的利润．那么定价时，所期望的利润率是百分之几？

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解：

⑴ $100 \times (1 + \frac{1}{5}) \times (1 - \frac{1}{5}) = 96$ 元；

⑵ $60 \div (1 + \frac{1}{5}) = 50$ 元， $60 \div (1 - \frac{1}{5}) = 75$ 元，故两件商品原价分别为 $50$ 元与 $75$ 元，总计亏了 $5$ 元．

⑶根据题意，当卖价为 $0.8$ 时，仍能获得 $30 %$ 的利润，也就是“成本 $\times (1 + 30 %) =$ 卖价”．可以求出成本： $0.8 \div (1 + 30 %) = 0.8 \div 1.3 = \frac{8}{13}$ ，因此，原定价时，所期望的利润率是：
$(1 - \frac{8}{13}) \div \frac{8}{13} \times 100 % = \frac{5}{13} \times \frac{13}{8} \times 100 % = 62.5 %$

答：⑴ 96元；⑵ 亏5元；⑶ 62.5%。

例题 9教师示范A1-08-002难度 B · 巩固

一件皮衣的进价是 $800$ 元，标价是 $1440$ 元，结果没有人来买，店主决定打折出售，但希望利润率不能低于 $35 %$ ，请问：这件皮衣最低可以打几折？

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若利润率不低于 $35 %$ ，则这件皮衣最低价是： $800 \times (1 + 35 %) = 1080$ 元，所以最低可以打 $\frac{1080}{1440} = 75 %$ ，即七五折．

03

练习随堂完成

练习 11随堂完成A1-08-011

一种新型手机，甲店的进价比乙店低 $10 %$ ，甲店按 $30 %$ 的利润率定价，乙店按 $20 %$ 的利润率定价，甲店的售价比乙店便宜 $60$ 元．甲店这款手机的进价是多少元？

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解：设乙店进价为y元，则甲店进价为0.9y元。两店售价分别为 $0.9 y \times 1.3 = 1.17 y ； y \times 1.2 = 1.2 y$ 。由售价相差60元， $0.03 y = 60 ， y = 2000$ ，甲店进价1800元。

答：甲店进价1800元，乙店进价2000元。

练习 10随堂完成A1-08-012

水果店销售哈密瓜，其中 $90$ 个以单价 $25$ 元卖出，余下的 $10$ 个因为损坏以单价 $5$ 元卖出．已知每个哈密瓜的成本是 $10$ 元，问这个水果店是盈利还是亏损？盈利率或亏损率是多少？

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解：总成本为1000元。按两档售价计算总收入： $90 \times 25 + 10 \times 5 = 2300$ 元，利润1300元。利润率以成本为基准： $13001000 = 130 %$ 。

答：盈利率为130%。

练习 9随堂完成A1-08-017

一件商品的成本价是 $100$ 元，如果制造商赚 $20 %$ ，零售商赚 $10 %$ ，求：

⑴ 零售商进一件这样的商品需多少钱？

⑵ 零售商出售这件商品的定价是多少？

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解：制造商按成本100元加价20%，售价为 $100 \times 1.2 = 120$ 元。零售商再以进价120元加价10%，定价为 $120 \times 1.1 = 132$ 元。

答：制造商售价120元，零售商定价132元。

练习 8随堂完成A1-08-018

商店以每架 $400$ 元购进一批照相机，然后加价 $\frac{1}{4}$ 出售，由于资金周转等原因，又跌价 $\frac{1}{4}$ 出售，那么这家商店在这次销售照相机中是赚了还是亏了？每架照相机赚多少元或亏多少元？

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加价后售价： 4 0 0 × ( 1 + 1 4 ) = 5 0 0 元

跌价后售价： $500 \times (1 - \frac{1}{4}) = 375$ 元

所以亏了，每架照相机亏 $25$ 元．

练习 7随堂完成A1-08-024

一件商品价格下降 $\frac{1}{10}$ ，欲恢复原价，则再需上涨（填几分之几）．

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解：把原价看作1，降价后为 $910$ 。恢复原价还要增加 $110$ ，但上涨率以降价后的价格为基准，所以 $110 \div 910 = 19$ 。

答：需上涨 $19$ 。

练习 6随堂完成A1-08-028

过年时，某商品打八折销售，过完年，此商品提价 $%$ ，可恢复原来的价格.

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原始解析文档未提供本题解析，已标记为待补充，未用猜测答案代替。

04

作业独立完成

作业 14独立完成A1-08-014

某商品进行促销活动，每件的售价降低了 $\frac{1}{5}$ ，结果销量比预计增加了一倍，而总利润比预计增加了 $\frac{1}{3}$ ，若该商品每件的成本为 $60$ 元．问该产品现在每件的售价是多少元？

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解：设促销前每件售价为 $x$ 元，并把预计销量看作1份。促销后每件售价是原售价的五分之四，销量是预计销量的2倍；题目说总利润比预计增加三分之一，所以促销后的总利润是预计总利润的三分之四。由此列式 $2 (\frac{4 x}{5} - 60) = 43 (x - 60)$ 。方程两边同乘15，得 $24 x - 1800 = 20 x - 1200 ； 4 x = 600 ； x = 150$ 。现在每件售价为 $45 \times 150 = 120$ 元。

答：该产品现在每件售价120元。

作业 13独立完成A1-08-025

某商品因换季准备打折销售，如果按定价的 $7.5$ 折出售，将亏本 $35$ 元，而按定价的 $9.5$ 折出售，将赚 $25$ 元，问这种商品定价是多少元？

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解：设商品定价为x元。按两种销售方案的利润关系列式 $0.75 x + 35 = 0.95 x - 25$ ，整理得 $0.2 x = 60 ， x = 300$ 。

答：定价为300元。

作业 12独立完成A1-08-029

某件商品进货后，零售价定为每件 $900$ 元．为了适应市场竞争，商店按零售价的九折降价，并让利 $40$ 元销售，仍可获利 $10 %$ （相对于进价），问这种商品的进价为多少元？

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解：实际售价为 $900 \times 90 % - 40 = 770$ 元。售价仍比进价高10%，所以进价为 $770 \div 1.1 = 700$ 元。

答：进价为700元。

作业 11独立完成A1-08-030

一件衣服的成本价是 $120$ 元，如果制造商赚成本价的 $20 %$ ，零售商赚进价的 $25 %$ ．

⑴这件衣服的进价和零售价分别是多少？

⑵某零售商进了这样的衣服 $50$ 套，在卖出 $70 %$ 后，因季节原因，该零售商将剩下的衣服打八折出售，求这个零售商的盈亏率．

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解：由题中进价与零售价关系，单件进价144元、零售价180元。总成本为7200元，总收入为8460元，利润为1260元；利润率必须以成本为基准： $12607200 = 17.5 %$ 。

答：单件进价144元，零售价180元；总利润率17.5%。

作业 10独立完成A1-08-032

某商店进了一批笔记本，按照 $30 %$ 的利润率定价.当售完这批笔记本的 $80 %$ 后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润率是多少？

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解：把单位成本设为1，定价为1.3。八成商品按原价售出，两成商品半价售出，加权平均收入为 $1.3 \times 80 % + 0.65 \times 20 % = 1.17$ ，故每单位成本获得0.17利润。

答：实际利润率为17%。

作业 9独立完成A1-08-033

某商店销售一批服装，按获利 $30 %$ 来定价，当售出这批服装的 $70 %$ 又 $600$ 件时，除收回成本外，还获得预计利润的一半，问这批服装共多少件？

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解：设商品总数为N件。按两段销售收入与总成本、目标利润关系列式： $1.3 (0.7 N + 600) = N + \frac{0.3 N}{2}$ 。整理为 $0.91 N + 780 = 1.15 N$ ，解得N等于3250。

答：共有3250件。

知识模块 02 · 经济模型

分段优惠与方案比较

先分清标价与实付款，再判断每笔消费处于哪个优惠区间；若同一实付款可能对应多个标价，必须补充条件或分类讨论。

例题 1随堂练习 0作业 0

本模块知识点

标价与实付款分段优惠阶梯折扣信息充分性分类讨论与方案比较

解题路径

根据实付款反推每笔商品可能的标价区间
检查是否出现多个合法标价
条件唯一时分段计算；条件不足时分类列出全部情况
合并标价后重新套用优惠规则并比较实付款

01

例题教师示范

例题 8教师示范A1-08-003难度 C · 综合

幸运超市实行优惠购物：⑴如一次购物少于 $200$ 元，不予优惠；⑵如一次购物满 $200$ 元但不超过 $500$ 元，按标价给予九折优惠；⑶如一次购物超过 $500$ 元，其中 $500$ 元部分给予九折优惠，超过部分给予八折优惠．小明两次去该超市购物，分别付钱 $198$ 元和 $554$ 元．如果小明改成一次去购买原来分两次买得的物品，他可以少付多少元？

条件补充：第一次购买的商品标价不足200元，因此第一次实付款198元未享受折扣。

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解：按补充条件，第一次商品标价不足200元，所以标价为198元。第二次实付554元，必在超过500元档。设标价为x元，则 $450 + 0.8 (x - 500) = 554 ， x = 630$ 。合并后总标价为828元，一次购买实付 $450 + 0.8 \times 328 = 712.4$ 元。

答： $198 + 554 - 712.4 = 39.6$ ，可少付39.6元。

知识模块 03 · 经济模型

利息、本息和与利息税

区分本金、利率、期数、利息和本息和。涉及利息税的旧题只能作为明确标注的历史或假设模型，不能当作现行银行政策。

例题 3随堂练习 1作业 1

本模块知识点

本金、利息与本息和年利率、月利率与期数单位单利模型历史或假设利息税政策时效说明

解题路径

统一利率与期数的时间单位
按题设模型用本金乘利率再乘期数求利息
仅在题目明确为历史或假设税率时计算税后利息
写出政策时效提示，并检查本息和是否大于本金

01

知识讲解定义、性质与方法

利息问题

基本概念

本金：存款（或贷款）的原始金额；

利率：利息对本金的比率；

税率：利息税对利息的比率；

期数：金额在银行存储（或贷给客户）的时间．

利率就表现形式来说，是指一定时期内利息额同借贷资本总额的比率．利率是单位货币在单位时间内的利息水平，表明利息的多少．

利息 $=$ 本金 $\times$ 利率 $\times$ 期数

本息和 $=$ 本金 $+$ 利息

如果考虑利息税，则缴纳税款为

利息税 $=$ 利息 $\times$ 税率

净利息 $=$ 本金 $\times$ 利率 $\times$ 期数 $\times$ （ $1 -$ 税率）

（如果题目没有“利息征税”，说明该题不用考虑利息税）

政策时效提示：利息税只按题目明确给出的历史或假设税率建模；不得把旧题税率当作现行银行政策。

由于期数计算时所用的时间单位有年、月、日的分别，凡用年为时间单位的，称年利率（简称年息）、用月为时间单位的，称月利率（月息）、用日为时间单位的，称日利率（日息）三种．

02

例题教师示范

例题 7教师示范A1-08-004难度 B · 巩固

张伯伯近几年有几笔储蓄，请按要求计算：

⑴ $2017$ 年将 $12000$ 元存入银行，定期 $5$ 年，当年年利率是 $5.2 %$ ，问到期利息是多少？本利和是多少？

⑵ $2020$ 年上半年收到到期利息 $2850$ 元，此时本利和是 $27850$ 元，这是 $2017$ 年上半年存入的定期 $3$ 年的储蓄，问当时的年利率是多少？

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解：

⑴到期利息是 $12000 \times 5.2 % \times 5 = 3120$ 元，到期本利和是 $12000 + 3120 = 15120$ 元．

⑵ $2850 \div (27850 - 2850) \div 3 = 3.8 %$

答：⑴ 利息3120元，本利和15120元；⑵ 年利率3.8%。

例题 6教师示范A1-08-005难度 C · 综合

黄先生将一笔钱存入银行，存整存整取 $2$ 年，年利率是 $3 %$ ，到期时黄先生取出 $20960$ 元，则黄先生存入的这笔钱为多少？（利息要按 $20 %$ 征利息税）

历史模型说明：本题假设按题给20%税率计算税后利息；该税率不代表现行政策。

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解：本题只按题设的历史假设口径计算，不代表现行利息税政策。设本金为x元，两年税后本息满足 $x [1 + 3 % \times 2 \times (1 - 20 %)] = 1.048 x$ 。由 $1.048 x = 20960 ， x = 20000$ 。

答：按题设历史模型，本金为20000元。

例题 5教师示范A1-08-006难度 D · 提升

费叔叔有 $10000$ 元钱，打算存入银行两年．

办法一：存两年期的整存整取定期储蓄，年利率是 $4.7 %$ ，到期后可取本金和利息一共多少元？

办法二：先存一年期的整存整取定期储蓄，年利率是 $4 %$ ；到期后将本金和利息再存一年，最后本金和利息一共多少元？

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解：

办法一：如存两年期的利息为：
$10000 \times 4.7 % \times 2 = 940$ 元

则到期后可取本金和利息一共是： $10000 + 940 = 10940$ 元
办法二：如存一年之后再将本金利息一起再存一年：
则第一年的利息是： $10000 \times 4 % \times 1 = 400$ 元
一年到期本金和利息之和为： $10000 + 400 = 10400$ 元
第二年到期的利息为： $10400 \times 4 % \times 1 = 416$ 元
第二年到期的本利和为： $10400 + 416 = 10816$ 元

所以办法二中本金和利息一共 $10816$ 元．

答：办法一10940元；办法二10816元。

03

练习随堂完成

练习 5随堂完成A1-08-019

⑴李伯伯在 $2019$ 年下半年收到定期 $4$ 年的存款的到期利息 $5400$ 元，当时年利率是 $4.5 %$ ，问当时存入银行的一笔钱是多少元？本利和是多少元？

⑵李伯伯提前做养老储蓄，打算将 $50000$ 元存入银行，若年利率是 $5.8 %,$ 那么李伯伯要存多少年，到期利息才能是 $14500$ 元？

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解：本题按题设单利模型。⑴ 本金为 $5400 \div 4 \div 4.5 % = 30000$ 元，本利和35400元。⑵ 年数为 $14500 \div 50000 \div 5.8 % = 5$ 年。

答：⑴ 本金30000元，本利和35400元；⑵ 5年。

04

作业独立完成

作业 8独立完成A1-08-023

历史模型说明：本题只按题给20%假设税率计算，不代表现行储蓄政策。

小杰把过年的压岁钱 $1000$ 元存入银行，若干个月以后小杰全部取回存款，共拿到了 $1036$ 元（税后），已知银行的月利率是 $0.18 %$ ，利息税为 $20 %$ ，则小杰存了个月．

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解：本题只按题设的历史假设利息税计算。税后利息为36元。设存了n个月，则 $1000 \times 0.18 % \times n \times (1 - 20 %) = 36 ， n = 25$ 。

答：按题设历史模型，存了25个月。

知识模块 04 · 工程模型

工程量、效率与时间

把总工程量设为1，用单位时间工作量表示效率。

例题 1随堂练习 1作业 2

本模块知识点

工程问题工作总量工作效率工作时间

解题路径

总工程量设为1
效率=1÷单独完成时间
已完成量=效率×时间

01

知识讲解定义、性质与方法

工程问题

工程问题：

由两个或两个以上单位（或人），共同去完成一件工作或一项工程，计算需要完成任务的时间，这一类应用题叫做“工程问题”．

题目中没有给出具体的总工程量，通常用单位“ $1$ ”表示（即整体思想），并用“ $1 \div$ 工作时间”推算工作效率，用一个单位分数“ $\frac{1}{n}$ ”表示．基本数量关系与一般工作问题完全相同，即

总工程量 $\div$ 工作效率 $=$ 工作时间

总工程量 $\div$ 工作时间 $=$ 工作效率

02

例题教师示范

例题 4教师示范A1-08-007难度 B · 巩固

一项工程，甲独做 $15$ 天完成，乙独做 $20$ 天完成，甲先做 $5$ 天后乙又做了 $4$ 天，剩余工作由甲、乙两人合作，还需几天可以完成？

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解：把总工程量设为1。甲先做5天完成三分之一，乙再做4天完成五分之一，余量为 $1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{7}{15}$ 。两人合作效率为 $\frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{7}{60}$ ，所以合作时间为4天。

答：还需4天。

03

练习随堂完成

练习 4随堂完成A1-08-015

一件工作， $A$ 独做 $10$ 天完成， $B$ 独做 $12$ 天完成， $C$ 独做 $15$ 天完成．现由 $A$ 、 $C$ 先合作 $3$ 天，余下的工作由 $B$ 独做．这件工作前后共用多少天才能完成？

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解：把工程总量设为1。A、C合作3天完成 $3 \times (110 + 115) = 12$ 。余下一半由B完成需要6天，所以全过程3加6等于9天。

答：共需9天。

04

作业独立完成

作业 7独立完成A1-08-016

某工程队有 $32$ 人，为尽快完成一项工程，每天工作 $9$ 小时，经过 $14$ 天，完成工程的 $\frac{2}{5}$ ，后来增加 $4$ 人，改为每天工作 $8$ 小时，问再经过多少天，可以完成这项工程？

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解：把工程总量设为1。原计划32人每天9小时做14天完成 $25$ ，所以每人每小时效率为 $25 \div (32 \times 9 \times 14) = 110080$ 。后来36人每天8小时，日效率为三十五分之一；完成余下五分之三需21天。

答：还需21天。

作业 6独立完成A1-08-031

原计划一个工程队铺设一条水管需要 $18$ 天，开工 $6$ 天之后抽调走工程队中 $\frac{2}{3}$ 的人数去做其他的工作，那么一共需要多少天才能铺完这条水管？

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解：把铺完水管的总工程量设为1。原工程队每天完成 $\frac{1}{18}$ ，前6天完成 $6 \times \frac{1}{18} = \frac{1}{3}$ 。抽走三分之二人数后，只剩原人数的三分之一，效率为 $\frac{1}{18} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{54}$ 。余下工程所需时间为 $\frac{2}{3} \div \frac{1}{54} = 36$ 天，总时间为42天。

答：铺完这条水管一共需要42天。

知识模块 05 · 工程模型

中途加入与离开

按人员变化把全过程分段，各阶段完成量之和等于1。

例题 1随堂练习 2作业 2

本模块知识点

合作工程中途离开分段工作量

解题路径

按人员变化划分阶段
计算每阶段效率与时间
各阶段工作量相加等于1

01

例题教师示范

例题 3教师示范A1-08-008难度 C · 综合

一项工程，甲独做 $50$ 天完成，乙独做 $75$ 天完成，现由甲、乙两人合作，但中途乙离开了几天，因此用了 $40$ 天完成任务．求乙中途离开了几天．

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$40$ 天，甲完成了总工程的 $40 \times \frac{1}{50} = \frac{4}{5}$ ，所以，乙完成了 $1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ ，需用时 $\frac{1}{5} \div \frac{1}{75} = 15$ 天，

$∴$ 乙中途离开了 $25$ 天．

02

练习随堂完成

练习 3随堂完成A1-08-020

一项工程，甲单独做 $18$ 天完成，乙单独做 $12$ 天完成，现在甲先做 $3$ 天，再甲乙合作，那么还需做几天可以完成这件工程？

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解：把总工程量设为1。甲先做3天完成六分之一，余下六分之五。甲、乙合作效率为 $\frac{1}{18} + \frac{1}{12} = \frac{5}{36}$ 。合作时间为 $\frac{5}{6} \div \frac{5}{36} = 6$ 天。

答：还需6天。

练习 2随堂完成A1-08-021

一件工程，甲独做 $10$ 天完成，乙独做 $15$ 天完成，丙独做 $20$ 天完成．现在三人合作，甲因病中途休息，这样共用了 $6$ 天才完成全部工程，甲休息了几天？

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解：乙、丙在6天内一直工作，共完成 $6 \times (\frac{1}{15} + \frac{1}{20}) = \frac{7}{10}$ 。剩余十分之三由甲完成，甲实际工作 $\frac{3}{10} \div \frac{1}{10} = 3$ 天；总历时6天，因此甲休息3天。

答：甲休息了3天。

03

作业独立完成

作业 5独立完成A1-08-026

一项工程，甲独做 $12$ 天完成，乙独做 $15$ 天完成．甲乙合作 $4$ 天后，甲另有任务，剩下的工作由乙单独完成，乙还要几天完成全部工程？

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解：把总工程量设为1。甲、乙合作4天完成 $4 \times (112 + 115) = 35$ ，还剩 $25$ 。乙单独完成所需时间为 $25 \div 115 = 6$ 天。

答：乙还要6天。

作业 4独立完成A1-08-027

有一批书，小明 $9$ 天可装订 $\frac{3}{4}$ ，小丽 $20$ 天可装订 $\frac{5}{6}$ ，现小明和小丽合作共装订了 $6$ 天，余下的由小丽来装订，问：装订完这批书共用多少天？

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解：

由题目可知，小明的工作效率为 3 4 ÷ 9 = 1 1 2 ；小丽的工作效率为 5 6 ÷ 2 0 = 1 2 4 现在小明和小丽合作了 6 天，完成了 ( 1 1 2 + 1 2 4 ) × 6 = 3 4 剩下的由小丽来装订，需 ( 1 − 3 4 ) ÷ 1 2 4 = 6 天；所以装完这批书一共需要 6 + 6 = 1 2 天

答：12天。

知识模块 06 · 工程模型

进排水与正负效率

把满池水量设为1，注水增加水量记正效率，排水减少水量记负效率；每次开关水管都形成新的阶段。

例题 1随堂练习 0作业 1

本模块知识点

前置：正负数与工程效率满池水量设为1注水效率为正排水效率为负初始水量与分阶段方程

解题路径

写出初始水量
把每根注水管效率记正、排水管效率记负
按开关水管的时刻分段计算水量
用剩余水量除以该阶段合效率，并检查水量不超出零到满池

01

例题教师示范

例题 2教师示范A1-08-009难度 C · 综合

一个水池有甲、乙、丙三个水管．单开甲管 $6$ 小时可以将空池注满，单开乙管 $4$ 小时可以将空池注满，单开丙管 $12$ 小时可以将满池的水放完．现在水池里有 $\frac{1}{3}$ 的水，开放乙、丙两管 $2$ 小时后，再三管齐开，多少小时可以把全池注满？

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解：把满池水量设为1。乙管效率为 $14$ ，丙管排水效率为 $- 112$ 。两管开2小时后池中水量为 $13 + (14 - 112) \times 2 = 23$ 。三管齐开合效率为 $16 + 14 - 112 = 13$ ，剩余 $13$ 恰需1小时。

答：再过1小时注满。

02

作业独立完成

作业 3独立完成A1-08-022

蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，灌满一池水单开甲管需 $10$ 小时，单开乙管需 $12$ 小时，单开丙管需 $15$ 小时．上午 $8$ 时三个管同时开，中间甲管因故关闭，结果到下午 $2$ 时水池被灌满，问：甲管在何时被关闭？

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从上午 8 时到下午 2 时共有 6 个小时，在此期间乙管注入水总量的 6 1 2 = 1 2 ，丙管灌了总量的 6 1 5 ，所以甲管应灌了 1 − 1 2 − 6 1 5 = 1 1 0 ，那么甲管只工作了 1 小时，所以甲管在上午 9 点被关闭．

知识模块 07 · 提升模型

合作效率反求

由两两合作时间或部分阶段信息反求个人效率。

例题 1随堂练习 0作业 1

本模块知识点

合作效率效率方程组两两合作

解题路径

把合作时间转成合作效率
列出效率之间的等量关系
求出个人效率再还原时间

01

例题教师示范

例题 1教师示范A1-08-010难度 C · 综合

一项工程，甲、乙合作 $6$ 天完成，乙、丙合作 $10$ 天完成．现在先由甲、乙、丙三人合作 $3$ 天后，余下的乙再做 $6$ 天，正好完成．乙单独做这项工程要多少天完成？

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其中甲、乙合作的工作效率 $1 \div 6 = \frac{1}{6}$ ；乙、丙合作的工作效率 $1 \div 10 = \frac{1}{10}$
现在先由甲、乙、丙三人合作 $3$ 天后，余下的乙再做 $6$ 天正好完成．
相当于由甲、乙合作 $3$ 天，再由乙、丙合作 $3$ 天，最后由乙单独作 $3$ 天．
可以求出乙的工作效率 $(1 - \frac{1}{6} \times 3 - \frac{1}{10} \times 3) \div 3 = \frac{1}{15}$
所以乙单独完成工作需要 $1 \div \frac{1}{15} = 15$ （天）

02

作业独立完成

作业 2独立完成A1-08-035

师徒二人合作生产一批零件， $10$ 天可以完成任务；师傅单独做了 $6$ 天，因事外出，由徒弟接着做 $10$ 天，共完成任务的 $\frac{7}{10}$ ；每人单独做这批零件各需几天？

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分析题目条件，由第一种工作方式可以发现，师徒合作的工作效率为 1 ÷ 1 0 = 1 1 0 第二种工作方式，相当于师徒合作了 6 天，徒弟又单独做了 4 天，完成了任务的 7 1 0 通过以上转化，可以求出徒弟的工作效率 ( 7 1 0 − 1 1 0 × 6 ) ÷ 4 = 1 4 0 进而求出师傅的工作效率 1 1 0 − 1 4 0 = 3 4 0 ；

所以师徒单独完成这批零件各需 $\frac{40}{3} = 13 \frac{1}{3}$ 天、 $40$ 天．

知识模块 08 · 综合训练

经济与工程综合训练

经济题先核对年份、政策和比较基准，工程题先核对工程对象、效率正负与阶段；每题均写关键等式和带单位结论。

例题 0随堂练习 1作业 1

本模块知识点

经济问题综合历史政策时效工程问题综合分段工作量题意对象与单位一致性

解题路径

先判定经济或工程模型并圈出基准量
遇税率或税表先确认历史或假设口径
按阶段列出关键等式并保留单位
核对答案是否回答原题对象，清除复制粘贴错词

01

练习随堂完成

练习 1随堂完成A1-08-013

历史口径说明：本题只按图示3500元/月的历史税表计算；2018年10月起基本减除费用调整为5000元/月，学习时不得把旧表当作现行口径。

《中华人民共和国个人所得税法》中个人所得税表如图所示：（其中“含税级距”为扣除收入 $3500$ 后的余额）．

⑴ 若某人改革前后月收入均为 $6000$ 元，则改革前后他的纳税金额发生了怎样的变化？ $历史个人所得税七级超额累进税率表，基本减除费用为3500元每月$

⑵ 若改革后某人每月纳税额为 $400$ 元，则他的实际收入是多少？

⑶ 若改革后某人税后月收入 $6575$ 元，他交了多少税？

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解：本题只读取图中历史题设，并按题干统一“先扣除3500元”的口径计算，不把旧表当作现行税制。⑴ 月收入6000元，含税级距为2500元。 $2500 \times 15 % - 125 = 250 ； 2500 \times 10 % - 105 = 145$ ，减少105元。⑵ 400元不能落在改革后第二级；在第三级， $20 % x - 555 = 400 ， x = 4775$ ，实际收入为8275元。⑶ 设税额为t元，在第二级列式 $t = 10 % \times (6575 + t - 3500) - 105 ， t = 225$ ，对应级距3300元，符合该级。

答：⑴ 减少105元；⑵ 8275元；⑶ 225元。

02

作业独立完成

作业 1独立完成A1-08-034

解放前，遇上了荒年，贫农李大伯被迫借地主 $4$ 斗粮，年利是 $150 %$ ，如果一年后还不了，第二年就本利加起来计息．问三年后，李大伯向地主还多少粮？

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解：按题设的逐期增长模型，每期变为上一期的 $1 + 150 % = 2.5$ 倍。三期后为 $4 \times {2.5}^{3} = 62.5$ 斗。

答：62.5斗。