第12讲角平分线四大模型

知识模块 01 · 原讲小节

角的平分线

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

性质定理：角的平分线上的点到这个角两边的距离相等．
判定定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的

角平分线上．

思考
若去掉“在一个角的内部（包括顶点）”，则这个点在什么位置？

知识模块 02 · 原讲小节

过角平分线上的点作角两边的垂线

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

已知 $O P$ 平分 $∠ M O N$ ， $P A ⊥ O M$ 于 $A$ ．

作 $P A' ⊥ O N$ 于 $A'$ ．

在 $△ A O P$ 和 $△ A' O P$ 中

${\begin{matrix} _________________ \\ _________________ \\ _________________ \end{matrix}$

$∴ △ A O P ≌ △ A' O P ()$

题目SH-104-001

在角的两边上截取线段相等（图形的运动观点——轴对称、翻折）

已知 $O P$ 平分 $∠ M O N$ ， $A$ 为 $O M$ 上一点．

【常用辅助线！！】在 $O N$ 上截取 $O A' = O A$ ，联结 $P A'$ ．

在 $△ A O P$ 和 $△ A' O P$ 中

${\begin{matrix} _________________ \\ _________________ \\ _________________ \end{matrix}$

$∴ △ A O P ≌ △ A' O P ()$

通过角平分线和垂线条件，构造等腰三角形（三线合一）

已知 $O P$ 平分 $∠ M O N$ ， $P A ⊥ O P$ 于 $P$ ．

【常用辅助线！！】延长 $A P$ ，交 $O N$ 于 $A'$ ．

在 $△ A O P$ 和 $△ A' O P$ 中

${\begin{matrix} _________________ \\ _________________ \\ _________________ \end{matrix}$

$∴ △ A O P ≌ △ A' O P ()$

【思考】此种辅助线作法比截取 $O A' = O A$ 的好处在于？

角平分线和平行条件结合，构造等腰三角形：

已知 $O P$ 平分 $∠ M O N$ ．

作 $P A / / O N$ 交 $O M$ 于 $A$ ．

$∵ O P$ 平分 $∠ M O N$ （已知）

$∴_________________$ （）

$∵ A P / / O N$ （已作）

$∴_________________$ （）

题目SH-104-002难度 A · 基础

⑴已知：如图， $△ A B C$ 的两条内角平分线 $B P$ 、 $C P$ 交于点 $P$ ．求证： $P A$ 平分 $∠ B A C$ ．

⑵已知：如图， $△ A B C$ 的两条外角平分线 $A P$ 、 $C P$ 交于点 $P$ ．求证： $P B$ 平分 $∠ A B C$ ．

题目SH-104-003难度 A · 基础

已知：如图，四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ．求证： $B C = C D$ ．

题目SH-104-004难度 C · 综合

⑴如图所示， $△ A B C$ 中， $B D$ 、 $C D$ 分别平分 $∠ A B C$ 、 $∠ A C B$ ，过 $D$ 点作 $E F ∥ B C$ 分别交 $A B$ 、 $A C$ 于 $E$ 、 $F$ ，若 $E F = 8$ ， $B E = 5$ ．则 $C F =$

⑵如图所示， $∠ A B C$ 的平分线与 $∠ A C B$ 的外角平分线相交于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $E F ∥ B C$ 分别交 $A B$ 、 $A C$ 于 $E$ 、 $F$ ，若 $E F = 2$ ， $B E = 8$ ．则 $C F =$

已知：如图， $△ A B C$ 中， $A B < A C$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $P$ 为线段 $A D$ 上异

于点 $A$ 的任意一点．试比较 $P C - P B$ 与 $A C - A B$ 的大小，并说明理由．

题目SH-104-005难度 C · 综合

已知：如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 108 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于 $D$ ．

求证： $B C = A B + C D$

题目SH-104-006难度 C · 综合

如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B$ 是直角， $∠ B = 60 °$ ， $A D$ 、 $C E$ 分别是 $∠ B A C$ 、 $∠ B C A$ 平分线， $A D$ 、 $C E$ 相交于点 $F$ ．请写出 $F E$ 与 $F D$ 之间的数量关系，并证明你的结论.

题目SH-104-007难度 C · 综合

如图：已知等腰直角三角形 $A B C$ ， $B C$ 是斜边， $∠ B$ 的角平分线交 $A C$ 于 $D$ ，过 $C$ 作 $C E$ 与 $B D$ 垂直且交 $B D$ 延长线于 $E$ ，求证： $B D = 2 C E$ ．

题目SH-104-008难度 D · 提升

已知：如图， $∠ A B D = ∠ A C D = 60 °$ ， $∠ A D B = 90 ° - \frac{1}{2} ∠ B D C$ ．求证： $A B = B D + C D$ ．

题目SH-104-009难度 E · 挑战

已知：如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 100 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于 $D$ ．

求证： $B C = A D + B D$ ．

题目SH-104-010

如图， $P$ 为 $∠ A O B$ 的平分线上一点， $P C ⊥ O A$ 于 $C$ ， $∠ O A P + ∠ O B P = 180 °$ ，如果 $O C = 4 c m$ ，那么 $O A + O B =$ ________ $c m$ ．

题目SH-104-011

如图，点 $D$ 是 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上的一点，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ B C$ ， $E 、 F$ 为垂足，再过点 $D$ 作 $D G ∥ A B$ ，交 $B C$ 于点 $G$ ，且 $D E = D F$ ．

求证：⑴ $D G = B G$ ；⑵ $B D$ 垂直平分 $E F$ ．

题目SH-104-012

如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = A C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 是 $A C$ 上一点， $A E ⊥ B D$ 交 $B D$ 的延长线于点 $E$ ，且 $A E = \frac{1}{2} B D$ ，求证： $B D$ 是 $∠ A B C$ 的角平分线．

题目SH-104-013

⑴如图，矩形纸片 $A B C D$ ， $M$ 为 $A D$ 边上的一点，将纸片沿 $B M 、 C M$ 折叠，使 $A$ 点落在 $A_{1}$ 处， $D$ 点落在 $D_{1}$ 处，若 $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ B M C =$ .

⑵如图，把一张矩形纸片 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠后，点 $A$ 落在 $C D$ 边上的点 $A'$ 处，点 $B$ 落在 $B'$ 处，若 $∠ 2 = 40 °$ ,则 $∠ 1$ 的度数为.

题目SH-104-014

如图，若 $B D$ 、 $C E$ 分别是 $△ A B C$ 的外角平分线， $A F ⊥ B D$ 于点 $F$ ， $A G ⊥ C E$ 于点 $G$ ，

延长 $A F$ 、 $A G$ 分别交直线 $B C$ 于 $M$ 、 $N$ ，则 $M N$ 与 $A B$ 、 $B C$ 、 $A C$ 有怎样的数量关

系．

题目SH-104-015

已知：如图，四边形 $A B C D$ 中， $B C = C D$ ， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ．求证： $A C$ 平分 $∠ B A D$ ．

题目SH-104-016

如图，已知在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 2 ∠ C$ ， $∠ A$ 、 $∠ B$ 的平分线交 $B C$ 、 $C A$ 于 $P$ 、 $Q$ ．

求证： $A B + B P = A Q + B Q$ ．

题目SH-104-017

已知：如图， $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的外角平分线， $P$ 为射线 $A D$ 上异于点 $A$ 的任意一点．试比较 $P B + P C$ 与 $A B + A C$ 的大小，并说明理由．

题目SH-104-018

到三角形三边距离相等的点是这个三角形（）．

A.三边垂直平分线的交点B.三个内角角平分线的交点

C.三条中线的交点D.三条高的交点

题目SH-104-019

如图，在直角 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $A B + A D = 10$ ，则 $B C$ 的长为____________．

题目SH-104-020

已知：如图， $△ A B C$ 中， $C D$ 、 $C E$ 分别是 $A B$ 边上的高和中线，且 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3$ ．求 $△ A B C$ 各内角的度数．

题目SH-104-021

如图①所示， $O P$ 是 $∠ M O N$ 的平分线，请你利用该图形画一对以 $O P$ 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

⑴ 如图②，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B$ 是直角， $∠ B = 60 °$ ， $A D$ 、 $C E$ 分别是 $∠ B A C$ 、 $∠ B C A$ 的平分线， $A D$ 、 $C E$ 相交于点 $F$ ．请你判断并写出 $F E$ 与 $F D$ 之间的数量关系．

⑵ 如图③，在 $△ A B C$ 中，如果 $∠ A C B$ 不是直角，而⑴中的其他条件不变，

请问：你在⑴中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

①② ③