第1讲 函数初步

⑴下列各题中，哪些是函数关系，哪些不是函数关系：

①在一定的时间内，匀速运动所走的路程和速度．

②$x+3$与$y$相等．

③三角形的面积一定，它的一边和这边上的高．

④正方形的面积和梯形的面积．

⑤水管中水流的速度和水管的长度．

⑵判断下列式子中$y$是否是$x$的函数．

①$y=2x+1$；②$y=\sqrt[3]{15x}$；

③$y^2={(3x-5)}^2$；④$y=\frac{1}{x}$；

⑤$y=\left|-8x\right|$；⑥$\left|y\right|=-12x$．

已知变量$y$随着变量$x$的变化而变化，且满足下列关系式，试写出$y$关于$x$的

函数解析式．

⑴ $2x=7y-9$；

⑵ $x=\frac{y-2}{3y+4}\left(x\ne \frac{1}{3}\right)$；

⑶ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2\left(x\ne \frac{1}{2}\right)$

1. 由函数图像的定义可知，图像上任意一点$P\left(x,y\right)$中的$x$，$y$都是解析式方程的一个解．反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图像上．

2. 判断一个点是否在函数图像上的方法是：将这个点的坐标值代入函数的解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图像上，否则就不在这个函数的图像上．

题型

根据描述判断函数图像的正确性．

$A$ $B$ $C$ $D$

⑵下图描述了诸葛陪大刘在草庐外散步过程中离家的距离$s$（米）与散步所

用时间$t$（分）之间的函数关系．依据图象，下面描述符合诸葛散步情景的

是.

$A$．从草庐出发，到了一个酒坊，喝了一点小酒，就回家了

$B$．从草庐出发，到了一个酒坊，喝了一点小酒，继续向前走了一段，然后

回家了

$C$．从草庐出发，一直散步（没有停留），然后回家了

$D$．从草庐出发，散了一会儿步，就找老庞去了，$60$分钟后才开始返回

⑵一个紧口瓶盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水．但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水．如果设衔入瓶中石子的体积为$x$，瓶中水面的高度为$y$，下面能大致表示上面故事情节的图像是.

$A$ $B$ $C$ $D$

1. 求函数自变量的取值范围时，首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．

2. 求函数自变量的取值范围时，还要考虑生活实际情况，通常往往取非负数，整数之类．

求下列函数中自变量$x$的取值范围：

⑴$y=\sqrt{2x-3}+\sqrt{7-3x}$；

⑵$y=\frac{x+2}{1+\sqrt{x-1}}$；

⑶$y=\frac{\sqrt{2x-4}}{\left|x\right|-3}$；

求下列函数中自变量$x$的取值范围：

⑴$y=\frac{2x}{x^2+4x+5}$；⑵$y=\frac{2}{1+\frac{1}{x}}$；

⑶$y=\frac{{\left(x^2-2x-3\right)}^0}{\sqrt{x+\left|x\right|}}$；

⑴三角形的周长是$ycm$，三边长分别为$4cm$，$6cm$，$xcm$，则以$x$为自变量表示$y$ 的函数关系式为$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$，自变量$x$的取值范围是$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$．

⑵矩形周长为$30$，则面积$y$与一条边长$x$之间的函数关系式为$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\text{}$，其中$x$的取值范围是$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\text{}$．

⑶小明从甲地向乙地打长途，不超过$3$分钟，收费$2.4$元，以后每超过一分钟加收一元，则付话费$y$元与通话时间$t$分钟（$t\ge 3$且$t$是整数）之间的函数关系式$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$；若通话时间为$2$分钟，则收费$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$元；若$y=4.4$，则$t=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$．

⑵ 如图，周长为$24$的凸五边形$ABCDE$被对角线$BE$分为等腰$△ABE$及矩形$BCDE$，$AE=DE$，设$AB$的长为$x$，$CD$的长为$y$，求$y$与$x$之间的函数关系式，并写出$x$与$y$的取值范围．

⑴ 已知函数$f\left(x\right)=\frac{3}{x^2+1}$，那么$f\left(\sqrt{2}\right)=$ ．

⑵ 如果$f\left(x\right)=\frac{x-3}{\sqrt{6-x^2}+1}$，$g\left(x\right)=\left(\sqrt{6+x^2}-1\right)\cdot f\left(x\right)$，那么$g\left(\sqrt{2}\right)=\_\_\_\_\_\_\_$．

⑶ 已知函数$f\left(x\right)=a{x}^5-b{x}^3+x+5$，其中$a$、$b$为常数．若$f\left(m\right)=n$，则$f\left(-m\right)=\_\_\_\_\_\_\_$．

如图$1$，在直角梯形$ABCD$中，动点$P$从$B$点出发，沿$B$→$C$→$D$→$A$匀速运动，设点$P$运动的路程为$x$，$△ABP$的面积为$y$，若$y$与$x$的关系图象如图$2$所示．

图$1$ 图$2$

如图，腰长为$10cm$等腰$Rt△ABC$以$2\text{c}\text{m}\text{/}\text{s}$的速度沿直线$l$向边长为$10cm$正方形移动，直到$AB$与$EF$重合，设$x\text{s}$时，三角形与正方形重叠部分的面积为$y\text{c}{\text{m}}^{\text{2}}$．

⑴写出$y$与$x$的函数关系式；

已知函数$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2+2x+1}+\sqrt[3]{x^2-1}+\sqrt[3]{x^2-2x+1}}$，求$f\left(1\right)+f\left(3\right)+$$f\left(5\right)+\cdots +f\left(2k-1\right)+\cdots +f\left(999\right)$的值．

判断下列式子中$y$是否是$x$的函数．

⑴ $y^2={(2x-1)}^2$； ⑵ $y=\sqrt[3]{x}$；

⑶ $\left|y\right|=-2x$；⑷ $y=\left|-3x\right|$．

求下列函数中自变量$x$的取值范围：

⑴$y=\sqrt{3-x}$ ⑵$y=\frac{1}{x^2-4}$；

⑶ $y=\frac{1}{1+3x^2}$；⑷$y=\frac{\sqrt{3x-4}}{x-1}$；

⑸$y=\sqrt{x+2}+{\left(x+1\right)}^0-\frac{1}{\sqrt{2-x}}$．

⑴打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量

$A$ $B$ $C$ $D$

$A$．他家到公交车站台为$1$千米 $B$．他等公交车的时间为$6$分钟

$C$．他步行的速度$100$米/分钟 $D$．公交车的速度是$350$米/分钟

⑴已知函数$f\left(x\right)=\frac{1}{x^2+1}$，那么$f\left(-1\right)=$ ．

⑵已知：$f\left(x\right)=3x+4x^2$，$g\left(x\right)=5x-3$，求：

①$f\left(x\right)+g\left(x\right)$；

② $f\left(-1\right)+g\left(2\right)$；

③$f\left(a+1\right)-g\left(a-1\right)$．

如图，已知正方形$ABCD$的边长为$3$厘米，动点$P$从点$B$出发，沿$BC$、$CD$、$DA$方向运动至点$A$停止，设点$P$运动的路程为$x$厘米，$△ABP$的面积为$y$平方厘米．

1. 已知函数$y=3x^2-7x+1$，求当$x=\frac{7-\sqrt{13}}{6}$时的函数值．

2. 若函数$f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{\text{1}\text{+}{x}^2}}$，求$f\left[f\left(x\right)\right]$的表达式．