第5讲中考题集之以函数为载体

知识模块 01 · 原讲小节

中考题集之以函数为载体

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

㈠平行四边形：

⑴当已知三个顶点求第四顶点时，建议优先使用三条定线段分别为对角线展开分类，继而用中点公式求解．

⑵当已知一条定线段和一条定直线，且交点为所求平行四边形的一个顶点时，建议依次展开均为边；各为一边一对角线的分类，继而利用图形特性、数量关系配合求解．

㈡梯形：

抓住只有一组对边平行的特性，按照底边实施分类．

知识模块 02 · 原讲小节

㈣相似

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

㈤面积

题目SH-166-001难度 B · 巩固

如图，平面直角坐标系中（点 $O$ 为原点），抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ．在

平面内求出点 $P$ ，使点 $O$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $P$ 是一个平行四边形的四个顶点．

题目SH-166-002难度 C · 综合

在平面直角坐标系中（点 $O$ 为原点），抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ．在平

面内求点 $P$ ，使 $O$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $P$ 是一个等腰梯形的四个顶点．

题目SH-166-003难度 D · 提升

在平面直角坐标系中（点 $O$ 为原点），抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ．在平

面内求点 $P$ ，在直线 $y = - 2 x$ 上求点 $Q$ ，使 $O$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 是一个菱形的四个顶点．

题目SH-166-004难度 C · 综合

题目SH-166-005

已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，抛物线的顶点为 $D$ 点，点 $A$ 的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ．

⑴求 $D$ 点的坐标；

⑵如图 $1$ ，联结 $A C$ ， $B D$ ，并延长交于点 $E$ ，求 $∠ E$ 的度数；

⑶如图 $2$ ，已知点 $P (- 4 ， 0)$ ，点 $Q$ 在 $x$ 轴下方的抛物线上，直线 $P Q$ 交线段 $A C$ 于点 $M$ ，当 $∠ P M A = ∠ E$ 时，求点 $Q$ 的坐标．

题目SH-166-006难度 C · 综合

题目SH-166-007

如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）经过点 $A (- 3, 0)$ 、 $B (1, 0)$ 、 $C (- 2, 1)$ ，交 $y$ 轴于点 $M$ ．

⑴求抛物线的表达式；

⑵ $D$ 为抛物线在第二象限部分上的一点，作 $D E ⊥ x$ 轴于点 $E$ ，交线段 $A M$ 于点 $F$ ，求线段 $D F$ 长度的最大值，并求此时点 $D$ 的坐标；

⑶抛物线上是否存在一点 $P$ ，作 $P N ⊥ x$ 轴于点 $N$ ，使得以点 $P$ 、 $A$ 、 $N$ 为顶点的三角形与 $△ M A O$ 相似（不包括全等）？若存在，求点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

题目SH-166-008难度 C · 综合

题目SH-166-009

已知，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，二次函数 $y = m x^{2} + 2 m x - 4$ （ $m \neq 0$ ）与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $△ A B C$ 的面积为 $12$ ．
⑴ 求这个二次函数解析式；

⑵ 点 $D$ 的坐标为 $(- 2, 1)$ ，点 $P$ 在二次函数的图像上， $∠ A D P$ 为锐角，且 $t a n ∠ A D P = 2$ ，请直接写出点 $P$ 的横坐标．

⑶ 点 $E$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $∠ O C E > 45 °$ ，点 $O$ 与点 $O'$ 关于 $E C$ 所在直线对称，过点 $O$ 作的垂线，垂足为点 $N$ ， $O N$ 与 $E C$ 交于点 $M$ ，若 $E M \cdot E C = 48$ ，求点 $E$ 的坐标．

题目SH-166-010难度 D · 提升

题目SH-166-011

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (4, 0)$ 和点 $B (3, 4)$ ，与 $x$ 轴的另一个交点为 $C$ ．

⑴求抛物线的函数表达式；

⑵若点 $P$ 为抛物线第四象限上的一个动点，联结 $B C$ ， $B P$ ， $C P$ ，请求 $△ B C P$ 的面积的最大值；

⑶若点 $D$ 在对称轴的右侧， $x$ 轴上方的抛物线上，且 $∠ B D A = ∠ D A C$ ，联结 $B D$ ．点 $F$ 是 $O B$ 的中点，点 $M$ 是直线 $B D$ 上的一个动点，且点 $M$ 与点 $B$ 不重合，当 $∠ B M F = \frac{1}{3} ∠ M F O$ 时，请求出线段 $B M$ 的长．

题目SH-166-012难度 D · 提升

设抛物线 $y = m x^{2} - 3 m x + 2 (m \neq 0)$ 与 $y$ 轴交于 $C$ 点，与 $x$ 轴的交点为 $A (x_{1}, 0)$ ， $B (x_{2}, 0)$ ，且 ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 17$ ，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，抛物线的顶点为 $M$ ，点 $P$ 为抛物线上一动点．

⑴求抛物线的解析式和顶点 $M$ 的坐标；

⑵当 $∠ A P B = 90 °$ 时，求 $P$ 点坐标；

⑶ $E$ 是 $x$ 轴上一动点，是否存在一点 $P$ ，使以点 $A$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $E$ 为顶点的四边形为平行四边形？若不存在试说明理由；若存在，试求出点 $P$ 的坐标．

题目SH-166-013

在平面直角坐标系中，已知点 $A$ 的坐标为 $(3, 0)$ ，第一象限内的点 $P$ 在直线 $y = 2 x$ 上，且

$∠ P A O = 45 °$ ．求：⑴求点 $P$ 的坐标；

⑵若二次函数的图像经过 $P$ 、 $O$ 、 $A$ 三点，求该二次函数的解析式；

⑶设⑵中的二次函数图像的顶点为 $M$ ，将该二次函数图像向上或向下平移，使它的顶点落在直

线 $y = 2 x$ 上的点 $Q$ 处，求 $△ A P M$ 与 $△ A P Q$ 的面积之比．