第8讲一轮热身（二）

知识模块 01 · 原讲小节

一轮热身（二）

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

一模的19-23题，基本是1道计算（大多为三角比），1道应用题（基本也离不开三角比），1至2题的几何题（一易一难，部分区会考简单的圆），剩下的不外乎向量，简单函数题，难度不大，保证计算正确率即可．

第23题：基本都是考察相似的证明，一般首先根据乘积式写出比例式，找到需要证明的相似，分析时逆推是一个比较好的手段。解决23题需要学生对相似模型非常熟悉，证明过程中常用“换”的思想（换等边，换等比），部分区本题还需要添加辅助线，比如联结、作高、作平行线等．

⑴计算： $\frac{2 s i n^{2} 60 ° - c o s 60 °}{t a n^{2} 60 ° - 4 c o s 45 °}$ ．

⑵计算： $2 c o s^{2} 30 ° + \frac{c o t 45 °}{t a n 30 ° + 1} - s i n 60 °$ ．

⑶计算： $\frac{6 s i n 30 ° - 4 s i n^{2} 45 ° + t a n 60 °}{\sqrt{3} - t a n 45 °}$ ．

2 0 2 1 闵行
【 $2021$ 闵行】

如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ . $E$ 为 $O C$ 的中点，联结 $B E$ 并延长，交边 $C D$ 于点 $F$ .设 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ .

⑴填空：向量 $\vec{A E} =$ ________；

⑵填空：向量 $\vec{B F} =$ ________，并在图中画出向量 $\vec{B F}$ 在向量 $\vec{B A}$ 和 $\vec{B C}$ 方向上的分向量.

题目SH-160-001

（注：本题结果用含向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）

【 $2021$ 宝山】

某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼（ $A B$ ）高度的实践活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如下表：

课题	测量教学大数（ $A B$ ）的高度
测量工具	测量角度的仪器，皮尺等
测量小组	第一组	第二组	第三组
测量方案示意图
说明	点 $C$ 、 $D$ 在点 $B$ 的正东方向	$G H$ 是教学大楼旁的居民住宅楼	$E F$ 是教学大楼正南方向的“校训石”，借助 $E F$ 进行测量，使 $P$ 、 $E$ 、 $A$ 三点在一条直线上，点 $P$ 、 $F$ 在点 $B$ 的正南方向
测量数据	从点 $C$ 处测得 $A$ 点的仰角为 $37 °$ ，从点 $D$ 处测得 $A$ 点的仰角为 $45 °$ ， $C D = 12$ 米	从点 $G$ 处测得 $A$ 点的仰角为 $37 °$ ，测得点 $B$ 的俯角为 $45 °$	$E F = 9$ 米.从点 $P$ 处测得 $A$ 点的仰角为 $37 °$ ，从点 $F$ 处测得 $A$ 点的仰角为 $45 °$

⑴根据测量方案和所得数据，第________小组的数据无法算出大楼高度?

⑵请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度．

参考数据： $s i n 3 7^{°} \approx 0.60$ ， $c o s 3 7^{°} \approx 0.80$ ， $t a n 3 7^{°} \approx 0.75$ .

题目SH-160-002难度 C · 综合

【 $2021$ 虹口】

如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $G$ 在边 $A C$ 上，点 $E$ 在边 $B C$ 上， $D B = D C$ ， $E G ∥ A B$ ， $A E$ 、 $B D$ 交于点 $F$ ， $B F = A G$ ．

⑴求证： $△ B F E ∽ △ C G E$ ；

⑵当 $∠ A E G = ∠ C$ 时，求证： $A B^{2} = A G \cdot A C$ ．

题目SH-160-003难度 C · 综合

【 $2021$ 静安】

已知：如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上， $D E ∥ B C$ ， $A D^{2} = A E \cdot A C$ .

求证：⑴ $△ B C D ∽ △ C D E$ ；⑵ $\frac{C D^{2}}{B C^{2}} = \frac{A D}{A B}$

题目SH-160-004难度 C · 综合

【 $2021$ 闵行】

如图，点 $E$ 为 $△ A B C$ 边 $B C$ 上一点，过点 $C$ 作 $C D ⊥ B A$ ，交 $B A$ 的延长线于点 $D$ ，交 $E A$ 的延长线于点 $F$ ，且 $A F \cdot C D = B C \cdot A D$ .

⑴求证： $A E ⊥ B C$ ；

⑵如果 $B E = C E$ ，求证： $B C^{2} = 2 B D \cdot A C$ .

题目SH-160-005难度 C · 综合

【 $2021$ 浦东】

$R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别为边 $A B$ ， $B C$ 上的点，且 $C D = C A$ ， $D E ⊥ A B$ .

⑴求证： $C A^{2} = C E \cdot C B$ .

⑵联结 $A E$ ，取 $A E$ 的中点 $M$ ，联结 $C M$ 并延长与 $A B$ 交于点 $H$ .求证： $C H ⊥ A B$ .

题目SH-160-006

已知：点 $D$ 是 $R t △ A B C$ 的 $B C$ 边上的一个动点（如图）， $∠ A C B = 90 °$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ ，垂足为 $E$ ，点 $F$ 在 $A B$ 边上（点 $F$ 与点 $B$ 不重合），且满足 $F E = B E$ ，联结 $C F$ 、 $D F$ ．

⑴当 $D F$ 平分 $∠ C F B$ 时，求证： $\frac{C F}{C B} = \frac{B D}{F B}$ ；

⑵若 $A B = 10$ ， $t a n B = \frac{3}{4}$ ．当 $D F ⊥ C F$ 时，求 $B D$ 的长．

题目SH-160-007

备用图

如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A B$ 边上一点， $G$ 是 $A D$ 延长线上一点， $B E = D G$ ，联结 $E G$ ， $C F ⊥ E G$ 交 $E G$ 于点 $H$ ，交 $A D$ 于点 $F$ ，联结 $B H$ ．若 $B H = 8$ ， $t a n ∠ F C B = 2$ ，求线段 $F G$ ．

题目SH-160-008

如图， $B D$ 是平行四边形 $A B C D$ 的对角线，若 $∠ D B C = 45 °$ ， $D E ⊥ B C$ 于 $E$ ， $B F ⊥ C D$ 于 $F$ ， $D E$ 与 $B F$ 相交于 $H$ ， $B F$ 与 $A D$ 的延长线相交于 $G$ ．求证：

⑴ $C D = B H$ ；

⑵ $A B$ 是 $A G$ 和 $H E$ 的比例中项．

题目SH-160-009

已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D E ∥ B C$ ，点 $F$ 在边 $A C$ 上， $D F$ 与 $B E$ 相交于点 $G$ ，且 $∠ E D F = ∠ A B E$ ．

求证：⑴ $△ D E F ∽ △ B D E$ ；⑵ $D G \cdot D F = D B \cdot E F$ ．

题目SH-160-010

如图， $△ A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 分别为 $B C$ 、 $A C$ 上一点， $A B = A D$ ， $B E = E C$ ．

⑴求证： $△ F D B ∽ △ A B C$ ；

⑵若 $A F = D F$ ，求证： $D E ⊥ B C$ ．

题目SH-160-011

已知，如图，在 $Δ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $B C$ 、 $A C$ 上，点 $F$ 在 $D E$ 的延长线上， $A D = A F$ ，

$A E \cdot C E = D E \cdot E F$

⑴求证： $Δ A D E ∽ Δ A C D$ ；

⑵如果 $A E \cdot B D = E F \cdot A F$ ，求证： $A B = A C$ .

题目SH-160-012

已知：梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A D = A B$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $E$ ，点 $F$ 在边 $B C$ 上，且 $∠ B E F = ∠ B A C$ ．

⑴求证： $△ A E D ∽ △ C E F$ ；

⑵当 $E F ∥ D C$ 时，求证： $A E = D E$ ．

题目SH-160-013

如图，已知在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 2 ∠ B$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $D F ∥ B E$ ，点 $E$ 在线段 $B A$ 的延长线上，联结 $D E$ ，交 $A C$ 于点 $G$ ，且 $∠ E = ∠ C$ ．

⑴求证： $A D^{2} = A F \cdot A B$ ；

⑵求证： $A D \cdot B E = D E \cdot A B$ ．

题目SH-160-014

【 $2021$ 崇明】

如图，已知四边形 $A B C D$ 是菱形，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $D H ⊥ A B$ ，垂足为点 $H$ ，交 $A C$ 于 $E$ ，联结 $H O$ 并延长交 $C D$ 于点 $G$ ．

⑴求证： $∠ D H O = \frac{1}{2} ∠ B C D$ ；⑵求证： $H G \cdot A E = 2 D E \cdot C G$ ．