代数4-整式、分式、因式分解 · 第 052 讲

第5讲乘法公式二

23 道题3 个知识模块答案解析精校中

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知识模块 01 · 原讲小节

立方和/差、与完全立方公式

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

1．立方和公式： $(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$

立方差公式： $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$

2．完全立方公式： ${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ ，

Tip

①系数： $1331$ ，次数：次数为 $3$ ， $a$ 的次数从高到低；

② ${(a - b)}^{3} = {[a + (- b)]}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} (- b) + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

题目SH-052-001难度 B · 巩固

填空：

⑴ $(3 a + b) (9 a^{2} - 3 a b + b^{2})$ $=$ ___________________；

⑵ $(a^{4} + a^{2} b + b^{2}) (a^{2} - b)$ $=$ ___________________；

⑶ $a^{3} - 8 b^{3}$ $=$ $(a - 2 b)$ $(____________________)$ ；

⑷ $8 a^{3} - 27 b^{3}$ $=$ $(2 a - 3 b)$ $(____________________)$ ．

题目SH-052-002难度 B · 巩固

运用公式计算：

⑴ ${(2 x + 1)}^{3}$ ；⑵ ${(2 x - 3)}^{3}$ ；⑶ ${(4 x - 3 y)}^{3}$ ．

⑴ $(3 a + b) (9 a^{2} - 3 a b + b^{2})$ ； ⑵ $(a^{4} + a^{2} b + b^{2}) (a^{2} - b)$ ；

⑶ ${(2 x + 5)}^{3}$ ； ⑷ ${(4 x - 3 y)}^{3}$ ．

题目SH-052-003难度 C · 综合

运用公式计算：

⑴ $(x + 2) (x - 2) (x^{4} + 4 x^{2} + 16)$ ； ⑵ $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) (a^{6} + a^{3} b^{3} + b^{6})$ ；

⑶ ${(x + 2 y)}^{2} {(x^{2} - 2 x y + 4 y^{2})}^{2}$ ； ⑷ $(a^{2} - 4) (a^{2} - 2 a + 4) (a^{2} + 2 a + 4)$ ．

题目SH-052-004难度 C · 综合

计算：

⑴ $(2 x + 1) (4 x^{2} + 2 x + 1)$ ;

⑵ $(x - 2 y) (x^{2} + 4 x y + 4 y^{2})$ ．

知识模块 02 · 原讲小节

乘法公式综合应用

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

题目SH-052-005难度 B · 巩固

计算：⑴ $9996 \times 10004$ ； ⑵ $39.75 \times 40.25$ ； ⑶ $199 8^{2}$

题目SH-052-006难度 B · 巩固

⑴已知 $a - b = 2$ ， $b + c = 1$ ，求 $a^{3} + 3 a^{2} c + 3 a c^{2} + c^{3}$ 的值．

⑵已知 $x = 9 + a$ ， $y = 4 + a$ ， $z = 11 + a$ ，求 $x^{2} + 4 y^{2} + 9 z^{2} + 4 x y - 12 y z - 6 z x$ 的值．

题目SH-052-007难度 C · 综合

已知一个三角形的三边长为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且满足 $3 a b + 3 b c + 3 c a = {(a + b + c)}^{2}$ ．试判断此三角形的形状．

题目SH-052-008难度 D · 提升

⑴已知 ${(a + b)}^{2} = 60$ ， ${(a - b)}^{2} = 80$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 和 $a b$ 的值．

⑵已知 $x + y = 3$ ， $x y = 1$ ，求① $x^{2} + y^{2}$ ；② $x^{3} + y^{3}$ ；③ $x^{4} + y^{4}$ ；④ $x^{5} + y^{5}$ ．

题目SH-052-009难度 D · 提升

⑴已知 $x + y \neq 0$ ， $x^{3} = x + 1$ ， $y^{3} = y - 1$ ，求 $x^{2} - x y + y^{2}$ 的值．

⑵已知 $x > y$ ， $x + y = 2$ 且 $x^{3} + 8 y = y^{3} + 8 x$ ，求 $x y$ 和 $x^{4} + y^{4}$ 的值．

知识模块 03 · 原讲小节

乘法公式拓展

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知识讲解定义、性质与方法

欧拉公式： $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a)$

$a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = \frac{1}{2} (a + b + c) [{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2}]$

题目SH-052-010难度 C · 综合

⑴已知 $x + y + z = 0$ ，求 $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z$ 的值．

⑵已知 $a + b = 1$ ，求 $a^{3} + b^{3} + 3 a b - 1$ 的值．

题目SH-052-011难度 D · 提升

已知 $a + b + c = 1$ ， $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = 3$ ，求 $a b + b c + c a$ 的值．

题目SH-052-012

已知 $x + 2 y = 4$ ， $x y = - 12$ ，则 $x^{2} + 4 y^{2} =$ _____________．

题目SH-052-013

已知 $x^{2} + x y = 12$ ， $x y + y^{2} = 15$ ，求 ${(x + y)}^{2} - (x + y) (x - y)$ 的值．

题目SH-052-014

已知 $a + b = 2$ ， $a^{2} + b^{2} = 3$ ，求：⑴ $a b$ 的值；⑵ $a^{4} + b^{4}$ 的值．

题目SH-052-015

若 $a + b = 7$ ， $a b = 12$ ，则 $a^{3} + b^{3} =$ ___________．

题目SH-052-016

已知： $x + y = 6$ ， $x y = - 4$ ;

求：⑴ ${(x - y)}^{2}$ ；⑵ $(x - 2 y) (2 x - y)$ ；⑶ $x^{5} + y^{5}$ ．

题目SH-052-017

若 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ ，则 $x^{4} + \frac{1}{x^{4}} =$ ____________．

题目SH-052-018

计算：

⑴ $(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x + 1)$ ； ⑵ $(2 x^{2} + y^{3}) (4 x^{4} - 2 x^{2} y^{3} + y^{6})$ ．

题目SH-052-019

化简： $(a + 2) (a^{6} - 8 a^{3} + 64) (a^{2} - 2 a + 4)$ ．
计算：

⑴ ${(\frac{3}{2} x + \frac{1}{2} y)}^{3}$ ; ⑵ $(4 a^{2} - \frac{5}{2} b)^{3}$ ．

题目SH-052-020

化简 $(3 a - 2 b) (9 a^{2} + 6 a b + 4 b^{2}) - (3 a + 2 b) (9 a^{2} - 6 a b + 4 b^{2})$ ．
用简便方法计算：

计算：⑴ $998 \times 1002$ ； ⑵ $999.9 \times 1000.1$ ．

题目SH-052-021

已知 $a + b = 1$ ， $a^{2} + b^{2} = 3$ ，求 $a^{3} + b^{3}$ 和 $a^{5} + b^{5}$ 的值．

题目SH-052-022

计算：

⑴ $(2 a - b) (16 a^{4} + 4 a^{2} b^{2} + b^{4}) (2 a + b)$ ； ⑵ $(x + 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ ．

题目SH-052-023

计算： $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) \dots (1 - \frac{1}{201 7^{2}}) =$ ．
已知 $x + y = 3$ ， $x^{2} + y^{2} = 10$ ，求 $x^{3} + y^{3}$ 与 $x^{5} + y^{5}$ 的值．
已知 $a ， b$ 满足 $x = a^{2} + b^{2} + 20$ ， $y = 4 (2 b - a)$ ，比较 $x$ 与 $y$ 的大小．
已知 $x > y$ ，且 $x^{2} + x = 3$ ， $y^{2} + y = 3$ ，求出 $x y$ 和 $x^{4} + y^{4}$ 的值．