第2讲 特殊的平行四边形（一）

⑴如图，矩形$ABCD$的两条对角线相交于点$O$，$\angle AOB=60°$，$AB=2$，则矩形的对角线$AC$的长是（ ）

$A$．$2$ $B$．$4$ $C$．$2\sqrt{3}$ $D$．$4\sqrt{3}$

⑵如图，矩形$ABCD$的对角线$AC$、$BD$交于$O$，如果$\Delta ABC$的周长比$\Delta AOB$的周长大$10cm$，则边$AD$的长是__________．

⑴如图，延长矩形$ABCD$的边$BC$至点$E$，使$CE=BD$，联结$AE$，如果$\angle ADB=40°$，则$\angle E=$　　．

⑵如图，矩形$ABCD$中，$AC$、$BD$相交于点$O$，$AE$平分$\angle BAD$交$BC$于$E$，

若$\angle CAE=15°$，求$\angle BOE$=__________．

如图，已知矩形$ABCD$，作$CE\perp BD$于$E$，延长$EC$，与$\angle BAD$的平分线$AF$相交于点$F$，求证：$CF=BD$．

如图，在平行四边形$ABCD$中，对角线$AC$、$BD$相交于$O$，$EF$过点$O$，且$AF\perp BC$，求证：四边形$AFCE$是矩形．

如图，平行四边形$ABCD$中，$AQ$、$BN$、$CN$、$DQ$分别是$\angle DAB$、$\angle ABC$、$\angle BCD$、$\angle CDA$的平分线，$AQ$与$BN$交于$P$，$CN$与$DQ$交于$M$，证明：四边形$PQMN$是矩形．

如图，在$\Delta ABC$中，$AB=AC$，$M$是$BC$的中点．分别作$MD\perp AB$于$D$，$ME\perp AC$于$E$，$DF\perp AC$于$F$，$EG\perp AB$于$G$．$>DF、EG$相交于点$P$．求证：四边形$DMEP$是菱形．

如图，$\Delta ABC$中，$\angle ACB=90°$，$AD$是$\angle BAC$的平分线，交$BC$于$D$，$CH$是$AB$边上的高，交$AD$于$F$，$DE\perp AB$于$E$，求证：四边形$CDEF$是菱形．

如图，已知菱形$ABCD$中，$\angle BAD=120°$，$M$为$BC$上一点，$N$为$CD$上一点，$\angle MAN=60°$．

求证：$△AMN$为等边三角形．

如图，在菱形$ABCD$中，$AB=4a$，$E$在$BC$上，$BE=2a$，$\angle BAD=120°$，$P$点在$BD$上，则$PE+PC$的最小值为________．

如图，矩形$ABCD$中，对角线$AC$、$BD$交于$O$，$AE\perp BD$于$E$，$\angle DAE:\angle BAE=3:1$，则$\angle EAC=$__________．

已知，菱形$ABCD$中，$E$、$F$分别是$BC$、$CD$上的点，若$AE=AF=EF=AB$，求$\angle C$的度数．

如图，在$\Delta ABC$中，$BD$平分$\angle ABC$，$BD$的中垂线交$AB$于点$E$，交$BC$于点$F$，求证：四边形$BEDF$是菱形 .

如图，平行四边形$ABCD$的对角线$AC$的垂直平分线与边$AD$、$BC$分别交于$E$、$F$．

求证：四边形$AFCE$是菱形．

如图在矩形$ABCD$中，已知$AD=12$，$AB=5$，$P$是$AD$边上任意一点，$PE\perp BD，PF\perp AC，$$E$、$F$分别是垂足，求$PE+PF$的值．

2. $P$是矩形$ABCD$内一点，若$PA=3$，$PB=4$，$PC=5$，则$PD=$ ．

3. 【全国初中数学联赛题】

如图，设$P$为等腰直角三角形$ACB$斜边$AB$上任意一点，$PE\perp AC$于点$E$，$PF\perp BC$于点$F$，$PG\perp EF$于$G$点，延长$GP$并在其延长线上取一点$D$，使得$PD=PC$．

求证：$BC\perp BD$且$BC=BD$．

如图，在平行四边形$ABCD$中，$AD=2AB$，点$M$是$AD$的中点，$CE\perp AB$于$E$．如果$\angle CEM=40°$，那么$\angle DME$的值是___________．

如图，$M$是矩形$ABCD$内的任意一点，将$\Delta MAB$沿$AD$方向平移，使$AB$与$DC$重合，点$M$移动到点$M\text{'}$的位置

⑴画出平移后的三角形；

⑵连结$MD，MC，MM\text{'}$，试说明四边形$MDM\text{'}C$的对角线互相垂直，且长度分别等于$AB，AD$的长；

⑶当$M$在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形$MDM\text{'}C$是菱形？为什么？

如图，在矩形$ABCD$中，点$E$在边$BC$上，$BE=2CE$，将矩形沿着过点$E$的直线翻折后，点$C$、$D$分别落在边$BC$下方$C\text{'}$、$D\text{'}$处，且点$C\text{'}$、$D\text{'}$、$B$在同一条直线上，折痕与边$AD$交于点$F$，$D\text{'}F$与$BE$交于点$G$，设$AB=t$．那么$△EFG$的周长为________.（用含$t$的代数式表示．）

如图，在$Rt\Delta ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ }$，$\angle BAC=60^{\circ }$，$DE$垂直平分$BC$，垂足为$D$，交$AB$于点$E$．又点$F$在$DE$的延长线上，且$AF=CE$．求证：四边形$ACEF$是菱形．