第11讲二元二次方程组

知识模块 01 · 原讲小节

二元二次方程

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

01

知识讲解定义、性质与方法

定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是 $2$ 的整式方程．
一般形式： $a x^{2} + b x y + c y^{2} + d x + e y + f = 0$ （ $a 、 b 、 c 、 d 、 e 、 f$ 都是常数，且 $a 、 b 、 c$

中至少有一个不是零；当 $b$ 为零时， $a$ 与 $d$ 以及 $c$ 与 $e$ 分别不全为零）．

其中， $a x^{2}, b x y, c y^{2}$ 叫做这个方程的二次项， $a, b, c$ 分别叫做二次项系数； $d x, e y$ 叫做这个方程的一次项， $d, e$ 分别叫做一次项系数； $f$ 叫做这个方程的常数项．

知识模块 02 · 原讲小节

二元二次方程组

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

01

知识讲解定义、性质与方法

定义：仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为 $2$ 的方程组．
两种基本类型：

“二·一”型：由一个二元二次方程和一个二元一次方程所组成的方程组；

“二·二”型：由两个二元二次方程所组成的方程组．

知识模块 03 · 原讲小节

二元二次方程组的解法

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01

知识讲解定义、性质与方法

解二元二次方程组的基本思想：消元和降次，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组．

⑴“二·一”型：代入法，利用二元一次方程转化后代入另一个方程．

⑵“二·二”型：转化：①因式分解；

②加加减减出奇迹；

③换元法．

说明
“二·一”型方程组最多有两组解，“二·二”型方程组最多有四组解．要防止漏解多解的错误．

题目SH-063-001难度 B · 巩固

⑴解方程组： ${\begin{matrix} x^{2} - 2 y^{2} = - 2 \\ x - y = 1 \end{matrix}$ ．

⑵解方程组： ${\begin{matrix} x^{2} + 6 x y + 9 y^{2} = 0 \\ x - y - 4 = 0 \end{matrix}$ ．

知识模块 04 · 原讲小节

因式分解

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题目SH-063-002难度 B · 巩固

⑴解方程组： ${\begin{matrix} 4 x^{2} - y^{2} = 0 \\ 3 x^{2} - x y + x + 2 y + 6 = 0 \end{matrix}$ ．

⑵解方程组： ${\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 1 \\ {(x - y)}^{2} + (x - y) - 2 = 0 \end{matrix}$ ．

题目SH-063-003难度 C · 综合

解方程组： ${\begin{matrix} 4 x^{2} + 4 x y + y^{2} + 4 x + 2 y - 3 = 0 \\ y^{2} - x^{2} - 5 = 0 \end{matrix}$ ．

知识模块 05 · 原讲小节

两方程对称时构造 x − y

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题目SH-063-004难度 C · 综合

⑴解方程组： ${\begin{matrix} x^{2} = 5 x + y \\ y^{2} = x + 5 y \end{matrix}$ ．

⑵解方程组： ${\begin{matrix} x^{2} + 2 x y - 10 x = 0 \\ y^{2} + 2 x y - 10 y = 0 \end{matrix}$ ．

题目SH-063-005

解方程组： ${\begin{matrix} 5 x^{2} - 5 x y + 3 y^{2} = 3 \\ x^{2} + 2 y^{2} = 1 \end{matrix}$ ．

知识模块 06 · 原讲小节

齐次消常数

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题目SH-063-006难度 C · 综合

⑴解方程组： ${\begin{matrix} 3 x^{2} - y^{2} = 8 \\ x^{2} + x y + y^{2} = 4 \end{matrix}$ ；

⑵解方程组： ${\begin{matrix} x^{2} + 3 x y = 28 \\ x y + 4 y^{2} = 8 \end{matrix}$ ．

知识模块 07 · 原讲小节

加减消元

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题目SH-063-007难度 D · 提升

解方程组： ${\begin{matrix} 2 x^{2} - 4 x y + y^{2} + 2 x - y + 2 = 0 \\ x^{2} - 2 x y - y^{2} + x - 2 y + 4 = 0 \end{matrix}$ ．

题目SH-063-008

解方程组： ${\begin{matrix} x + y - x y = 7 \\ x^{2} + y^{2} + x y = 13 \end{matrix}$ ．（换元）

题目SH-063-009难度 C · 综合

解方程组： ${\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + x + y = 18 \\ x^{2} + x y + y^{2} = 19 \end{matrix}$ ．

知识模块 08 · 原讲小节

综合练习

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题目SH-063-010难度 D · 提升

解方程组： ${\begin{matrix} 2 x^{2} + 4 x y - 2 x - y + 2 = 0 \\ 3 x^{2} + 6 x y - x + 3 y = 0 \end{matrix}$ ．

题目SH-063-011难度 D · 提升

解方程组： ${\begin{matrix} 2 x^{2} + y^{2} + 9 x y + 3 x + y = 0 \\ x^{2} + 2 y^{2} + 9 x y + x + 3 y = 0 \end{matrix}$ ．

题目SH-063-012

解方程组： ${\begin{matrix} x - y = - 1 \\ {(x + y)}^{2} + 2 (x + 3 y) = 7 \end{matrix}$ ．
⑴解方程组： ${\begin{matrix} x^{2} + 5 x y + 6 y^{2} = 0 \\ x + y = 2 \end{matrix}$ ．

⑵解方程组： ${\begin{matrix} y - x = 1 \\ x^{2} + y^{2} = 13 \end{matrix}$ ．

⑴解方程组： ${\begin{matrix} x^{2} + 2 x y + y^{2} = 9 \\ {(x - y)}^{2} - 3 (x - y) + 2 = 0 \end{matrix}$ ．

⑵解方程组： ${\begin{matrix} x^{2} - 2 x y - 3 y^{2} = 0 \\ x^{2} - x y + y^{2} = 3 \end{matrix}$ ．

题目SH-063-013

解方程组： ${\begin{matrix} x^{2} = 4 x + 2 y \\ y^{2} = 2 x + 4 y \end{matrix}$ ．
解方程组： ${\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 100 \\ x y = 48 \end{matrix}$ ．
解方程组： ${\begin{matrix} 2 (x^{2} + 3 y) + x^{2} - 3 y = 15 ① \\ x^{2} + 3 y - 4 (x^{2} - 3 y) = 3 ② \end{matrix}$

题目SH-063-014

解方程组： ${\begin{matrix} a + b^{2} + a b = 31 \\ b + a^{2} + a b = 25 \end{matrix}$
解方程组： ${\begin{matrix} x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4} = 91 \\ x^{2} - x y + y^{2} = 7 \end{matrix}$
解方程组： ${\begin{matrix} x y = 2 (x + y) \\ y z = 3 (y + z) \\ z x = 4 (x + z) \end{matrix}$ ．
已知方程组 ${\begin{matrix} x^{2} - y + a + 2 = 0 \\ x - y + 1 = 0 \end{matrix}$ 的两组解为 ${\begin{matrix} x = x_{1} \\ y = y_{1} \end{matrix}$ 和 ${\begin{matrix} x = x_{2} \\ y = y_{2} \end{matrix}$ ，且 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是两个不相等的实数，若 ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 3 x_{1} x_{2} = 8 a^{2} - 6 a - 11$ ．

⑴求 $a$ 的值；

⑵不解方程组判断方程组的两个解能否都是正数，为什么？

题目SH-063-015

已知正整数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足方程组 ${\begin{matrix} x y + z = 13 \\ x + y z = 23 \end{matrix}$ ，那么 $x + y + z$ 的最小值为．