第6讲 相似综合

如图，已知$△ABC$中，点$D$在边$BC$上，$\angle DAB=\angle B$，点$E$在边$AC$上，

满足$AE·CD=AD·CE$．

⑴求证：$DE\parallel AB$；

⑵如果点$F$是$DE$延长线上一点，且$BD$是$DF$和$AB$的比例中项，联结$AF$．求证：$DF=AF$．

如图，在$△ABC$中，$AB=AC$，点$D$、$E$是边$BC$上的两个点，且$BD=DE=EC$，过点$C$作$CF\parallel AB$交$AE$延长线于点$F$，联结$FD$并延长与$AB$交于点$G$；

⑴求证：$AC=2CF$；

⑵联结$AD$，如果$\angle ADG=\angle B$，求证：$C{D}^2=AC·CF$．

如图，已知对称轴为直线$x=-1$的抛物线$y=a{x}^2+bx+3$与$x$轴交于$A$、$B$两点，与$y$轴交于点$C$，其中点$A$的坐标为$(1,0)$．

⑴求点$B$的坐标及抛物线的表达式；

⑵记抛物线的顶点为$P$，对称轴与线段$BC$的交点为$Q$，将线段$PQ$绕点$Q$，按顺时针方向旋转$120°$，请判断旋转后点$P$的对应点$P\prime$是否还在抛物线上，并说明理由；

⑶在$x$轴上是否存在点$M$，使$△MOC$与$△BCP$相似？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点$M$的坐标【不必书写求解过程】．

如图，在$Rt△ABC$中，$\angle ACB=90°$，$AC=12$，$BC=5$，点$D$是边$AC$上的动点，以$CD$为边在$△ABC$外作正方形$CDEF$，分别联结$AE$、$BE$，$BE$与$AC$交于点$G$.

⑴当$AE\perp BE$时，求正方形$CDEF$的面积；

⑵延长$ED$交$AB$于点$H$，如果$△BEH$和$△ABG$相似，求$\text{s}\text{i}\text{n}\angle ABE$的值；

⑶当$AG=AE$时，求$CD$的长.

如图，在矩形$ABCD$中，$AB=2$，$AD=1$，点$E$在边$AB$上（点$E$与端点$A$、$B$不重合），联结$DE$，过点$D$作$DF\perp DE$，交$BC$的延长线于点$F$，联结$EF$，与对角线$AC$、边$CD$分别交于点$G$、$H$.设$AE=x$，$DH=y$.

⑴求证：$△ADE\backsim △CDF$，并求$\angle EFD$的正切值；

⑵求$y$关于$x$的函数解析式，并写出该函数的定义城；

⑶联结$BG$.当$△BGE$与$△DEH$相似时，求$x$的值.

（备用图）

如图，点$E$是正方形$ABCD$的对角线$AC$上的一个动点（不与$A$、$C$重合），作$EF\perp AC$交边$BC$于点$F$，联结$AF$、$BE$交于点$G$．

⑴求证：$△CAF\backsim △CBE$；

⑵若$AE:EC=2:1$，求$tan\angle BEF$的值．

已知：如图，在$△ABC$中，点$D$，$E$分别在边$AB$，$BC$上，$BA·BD=BC·BE$

⑴求证：$DE·AB=AC·BE$；

⑵如果$A{C}^2=AD·AB$，求证：$AE=AC$．

如图，正方形$ABCD$的边长为$4$，$E$是$BC$的中点，点$P$在射线$AD$上，过点$P$作$PF\perp AE$，垂足为$F$．

⑴求证：$△PFA\backsim △ABE$．

⑵当点$P$在射线$AD$上运动时，设$PA=x$，是否存在实数$x$，使以$P$，$F$，$E$为顶点的三角形也与$△ABE$相似?若存在，求出$x$的值；若不存在，说明理由．

（宝山一模）

如图⑴所示，$E$为矩形$ABCD$的边$AD$上一点，动点$P$、$Q$同时从点$B$出发，点$P$以$1cm/$秒的速度沿折线$BE-ED-DC$运动到点$C$时停止，点$Q$以$2cm/$秒的速度沿$BC$运动到点$C$时停止．设$P$、$Q$同时出发$t$秒时，$\Delta BPQ$的面积为$yc{m}^2$．已知$y$与$t$的函数关系图象如图⑵（其中曲线$OG$为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．

①$AF$；②$FP$；③$BP$；④$\angle BDG$；⑤$\angle GAC$；⑥$\angle BPA$；

⑵设正方形的边长为$x$，线段$AP$的长为$y$，求$y$与$x$之间的函数关系式，并写出定义域；

⑶如果$△PFG$与$△AFG$相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．