第5讲全等三角形的判定（二）

知识模块 01 · 原讲小节

常见的角度模型

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

在全等证明中，我们经常需要寻找两个三角形之间的角度关系．此时，往往需要结合题目中的垂直等条件，进行角度的一系列推导．应用“同角（等角）的余角相等”，我们可以得到一些有用的角度结论．

以下，我们总结几个与直角有关的基本角度结论：

垂直模型	图形	理由	基本结论
一点双垂直		$\begin{matrix} ∠ 1 + ∠ 2 = 90 ° \\ ∠ 2 + ∠ 3 = 90 ° \end{matrix}$ 所以 $∠ 1 = ∠ 3$	$∠ 1 = ∠ 3$
一点双垂直		$∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$	$∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$
沙漏模型		$\begin{matrix} ∠ 1 + ∠ B = 90 ° \\ ∠ 2 + ∠ D = 90 ° \end{matrix}$ 而 $∠ 1 = ∠ 2$ 所以 $∠ B = ∠ D$	$∠ B = ∠ D$
双高模型		$\begin{matrix} ∠ 1 + ∠ 3 = 90 ° \\ ∠ 2 + ∠ 3 = 90 ° \end{matrix}$ 所以 $∠ 1 = ∠ 2$	$∠ 1 = ∠ 2$
射影模型		$\begin{matrix} ∠ 1 + ∠ 2 = 90 ° \\ ∠ 2 + ∠ 3 = 90 ° \\ ∠ 3 + ∠ 4 = 90 ° \end{matrix}$ 所以 $∠ 1 = ∠ 3$ $∠ 2 = ∠ 4$	$∠ 1 = ∠ 3$ $∠ 2 = ∠ 4$

编者注

：学生版此处“理由”与“结论”栏均为空白，需各位老师带领学生进行总结．

题目SH-112-001难度 A · 基础

已知：如图，点 $E$ 是正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 上任意一点，过点 $D$ 作 $D F ⊥ D E$ ，交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ，求证： $D E = D F$ ．

题目SH-112-002难度 B · 巩固

如图，已知四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B A D = ∠ B C D = 90 °$ ，过 $A$ 作 $A E ⊥ A C$ 交 $C D$ 的延长线于点 $E$ ，求证： $∠ E = 45 °$ ．

题目SH-112-003难度 B · 巩固

已知：如图， $△ A B C$ 的高 $A D$ 、 $B E$ 相交于 $H$ ，且 $B H = A C$ ，求 $∠ B C H$ 的大小．

题目SH-112-004难度 C · 综合

如图，已知 $A D / / B C$ ， $A E ⊥ A D$ ， $A F ⊥ A B$ ， $A E = B C$ ， $A B = A F$ ．

求证：⑴ $A C = E F$ ; ⑵ $A C ⊥ E F$ .

题目SH-112-005难度 C · 综合

如图， $B D$ 、 $C E$ 分别是 $△ A B C$ 的边 $A C$ 和 $A B$ 上的高，点 $P$ 在 $B D$ 的延长线上， $B P = A C$

点 $Q$ 在 $C E$ 上， $C Q = A B$ ．求证： $A P = A Q$ 且 $A P ⊥ A Q$ ．

题目SH-112-006难度 D · 提升

已知 $B D$ 、 $C E$ 是 $△ A B C$ 的高，点 $P$ 在 $B D$ 的延长线上，且 $B P = A C$ ；点 $Q$ 在 $C E$ 的

延长线上，且 $C Q = A B$ .求证： $A P = A Q$ 且 $A P ⊥ A Q$ .

题目SH-112-007难度 D · 提升

已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于 $D$ ， $A E ⊥ B C$ 于 $E$ 交 $B D$ 于 $G$ ，点 $F$ 为 $B C$ 上一点，且满足 $∠ A C E = ∠ G F B$ ，联结 $D F$ ．求证： $D F ⊥ B C$ ．

初识辅助线

题目SH-112-008难度 C · 综合

已知 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $D$ 是斜边 $A B$ 的中点.求证： $A B = 2 C D$ .

题目SH-112-009难度 C · 综合

已知： $A C$ 平分 $∠ B A D$ ， $C E ⊥ A B$ , $∠ B + ∠ D = 180 °$ .求证： $A E = A D + B E$ .

题目SH-112-010

如图，已知 $B E ⊥ A C$ 于 $E$ ， $C D ⊥ A B$ 于 $D$ ， $∠ A O D = ∠ A O E$ ，求证： $O B = O C$ ．

题目SH-112-011

如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 45 °$ ， $A C = 4$ ， $H$ 是高 $A D$ 和 $B E$ 的交点，求线段 $B H$ 的长度．

题目SH-112-012

已知：如图， $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 45 °$ ， $C D ⊥ A B$ 于 $D$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，且 $B E ⊥ A C$ 于 $E$ ，与 $C D$ 相交于点 $F$ ． $H$ 是 $B C$ 边的中点，联结 $D H$ 与 $B E$ 相交于点 $G$ ．

⑴ 求证： $B F = A C$ ；

⑵ 求证： $C E = \frac{1}{2} B F$ ；

题目SH-112-013

下列说法中一定正确的是（）．

题目SH-112-014

$A$ ．底边相等的两个等腰三角形是全等三角形

$B$ ．斜边相等的两个直角三角形是全等三角形

$C$ ．两个等边三角形是全等三角形

$D$ ．斜边相等的两个等腰直角三角形是全等三角形

下列说法中，错误的是（）．

$A$ ．两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等

$B$ ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等

$C$ ．两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等

$D$ ．两角和其中一角所对的边对应相等的两个三角形全等

如图所示， $△ A B C ≌ △ A E F$ ， $A B = A E$ ，有以下结论：

① $A C = A F$ ；② $∠ F A B = ∠ E A B$ ；③ $E F = B C$ ；④ $∠ E A B = ∠ F A C$ ，

其中正确的个数是（）．

$A$ ． $1$ $B$ ． $2$ $C$ ． $3$ $D$ ． $4$

题目SH-112-015

如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 、 $E$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上，且满足 $A D = A E$ ，下列结

论：① $△ A B E ≌ △ A C D$ ；② $A O$ 平分 $∠ B A C$ ；③ $O B = O C$ ；④ $A O ⊥ B C$ ；⑤若 $A D = \frac{1}{2} B D$ ，则 $O D = \frac{1}{3} O C$ ，其中正确的有（）个．

$A$ ． $2$ $B$ ． $3$ $C$ ． $4$ $D$ ． $5$

⑴ 已知： $△ A B C$ 和 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A_{1} B_{1}$ ， $B C = B_{1} C_{1}$ ， $∠ B A C = ∠ B_{1} A_{1} C_{1} = 90 °$ ，

则 $△ A B C$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是否全等？

⑵ 已知： $△ A B C$ 和 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A_{1} B_{1}$ ， $B C = B_{1} C_{1}$ ， $∠ B A C = ∠ B_{1} A_{1} C_{1} = 70 °$ ，

则 $△ A B C$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是否全等？

⑶ 已知： $△ A B C$ 和 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A_{1} B_{1}$ ， $B C = B_{1} C_{1}$ ， $∠ B A C = ∠ B_{1} A_{1} C_{1} = 110 °$ ，

则 $△ A B C$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是否全等？

综合⑴⑵⑶，你能总结出什么结论？