函数 · 第 085 讲

第3讲正比例函数与反比例函数（二）

28 道题7 个知识模块答案解析精校中

本讲答案与解析正在逐题精校，完成后在题卡下方开放。当前请先独立作答，再回来对照。

知识模块 01 · 原讲小节

正比例函数

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

概念

解析式形如 $y = k x$ (常数 $k \neq 0$ )的函数，称 $y$ 是 $x$ 的正比例函数，其中常数 $k$ 叫做比例系数．正比例函数的定义域是一切实数．

知识模块 02 · 原讲小节

图像

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

一般地，正比例函数 $y = k x$ (常数 $k \neq 0$ )的图像是经过原点 $(0, 0)$ 和 $(1, k)$ 的一条直线．我们把正比例函数 $y = k x$ (常数 $k \neq 0$ )的图像叫做直线 $y = k x$ ．

知识模块 03 · 原讲小节

性质

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

当 $k > 0$ ，直线 $y = k x$ 经过一、三象限，从左向右上升，即 $y$ 随着 $x$ 的增大而增大；
当 $k < 0$ ，直线 $y = k x$ 经过二、四象限，从左向右下降，即 $y$ 随着 $x$ 的增大而减小．

题目SH-085-001

待定系数法求正比例函数解析式

题目SH-085-002

设：设解析式为 $y = k x$ (常数 $k \neq 0$ )，其中系数 $k$ 待定；
列：把题目当中已知条件代入所设解析式中，列出关于待定系数 $k$ 的方程；
解：解这个方程，得到待定系数 $k$ 的值；
代：将解出的待定系数的值代入 $y = k x$ ，从而得到完整的函数解析式．

知识模块 04 · 原讲小节

反比例函数

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

概念

解析式形如 $y = \frac{k}{x}$ (常数 $k \neq 0$ )的函数，称 $y$ 是 $x$ 的反比例函数，其中常数 $k$

叫做比例系数．反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的定义域是不为零的一切实数．

知识模块 05 · 原讲小节

图像

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ (常数 $k \neq 0$ )的图像叫做双曲线，它有两支．

知识模块 06 · 原讲小节

性质

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

当 $k > 0$ 时，反比例函数的图像在第一、三象限；

在每个象限内， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；

当 $k < 0$ 时，反比例函数的图像在第二、四象限；

在每个象限内， $y$ 随 $x$ 的增大而增大；

图像的两支无限接近于 $x$ 轴和 $y$ 轴，但不会与 $x$ 轴和 $y$ 轴相交；
双曲线上的点是关于原点成中心对称的，双曲线也是轴对称图形．

题目SH-085-003

待定系数法求反比例函数解析式：

题目SH-085-004

设：设解析式为 $y = \frac{k}{x}$ (常数 $k \neq 0$ )，其中系数 $k$ 待定；
列：把题目当中已知条件代入所设解析式中，列出关于待定系数 $k$ 的方程；
解：解这个方程，得到待定系数 $k$ 的值；
代：将解出的待定系数的值代入 $y = \frac{k}{x}$ ，从而得到完整的函数解析式．

题目SH-085-005难度 B · 巩固

⑴已知正比例函数 $y = (m + 1) x + m^{2} - 4$ ，若 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，则 $m$ 的值是．

⑵已知 $y = y_{1} - 2 y_{2}$ ， $y_{1}$ 与 $x - 1$ 成正比例， $y_{2}$ 与 $x^{2}$ 成正比例，当 $x = 2$ 时， $y = - 1$ ；当 $x = - 2$ 时， $y = 1$ ，求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式．

题目SH-085-006难度 C · 综合

若 $P (a, b)$ 是正比例函数图像上的一点，且 $| a |$ 是 $2 \sqrt{3}$ 的整数部分， $| b |$ 是 $2 \sqrt{3}$ 的小数部分，求正比例函数解析式．

题目SH-085-007难度 C · 综合

⑴已知 $y = y_{1} + y_{2}$ ，其中 $y_{1}$ 与 $x$ 成正比例， $y_{2}$ 与 $x^{2}$ 成反比例，且当 $x = 2$ 和 $x = 3$ 时， $y$ 的值都为 $19$ ，则 $y$ 与变量 $x$ 的函数关系式为________．

⑵已知双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 经过点 $A (a, a + 4)$ 和点 $B (2 a, 2 a - 1)$ ，求 $k$ 和 $a$ 的值．

⑶已知实数 $a, b$ 满足 $a - b = 1, a^{2} - a b + 2 > 0$ ，当 $1 \leq x \leq 2$ 时，函数 $y = \frac{a}{x} (a \neq 0)$ 的最大值与最小值之差是 $1$ ，求 $a$ 的值．

题目SH-085-008难度 C · 综合

⑴如果正比例函数 $y = k_{1} x$ 的图像与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图像在第一象限内有一个交点 $P$ ， $P$ 的坐标为 $(\frac{1}{2}, 5)$ ，那么这两个函数必有另一个交点 $Q$ 点坐标为________．

⑵直线 $y = k x$ ( $k > 0$ )与双曲线 $y = \frac{4}{x}$ 交于 $A$ ( $x_{1}$ ， $y_{1}$ )， $B$ ( $x_{2}$ ， $y_{2}$ )两点，则 $2 x_{1} y_{2} - 7 x_{2} y_{1}$ 的值为________．

知识模块 07 · 原讲小节

反比例函数K的几何意义

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

题目SH-085-009

矩形面积不变性：

如图，在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图像上任取

点 $A, B, C$ ，过 $A, B, C$ 向 $x, y$ 轴作垂线，

垂足分别为 $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}, C_{1}, C_{2}$ ，

则 $S_{矩形 A A_{1} O A_{2}} = S_{矩形 B B_{1} O B_{2}} = S_{矩形 C C_{1} O C_{2}} = | k |$ ．

题目SH-085-010

三角形面积不变性

如图，在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图像上任取

点 $A, B, C$ ，过 $A, B, C$ 向 $x$ 或 $y$ 轴作垂线，

垂足分别为 $A_{1}, B_{1}, C_{2}$ ，

则 $S_{R t △ A A_{1} O} = S_{R t △ B B_{1} O} = S_{R t △ O C C_{2}} = \frac{1}{2} | k |$ ．

梯形面积不变性

如图，在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图像上任取

点 $A, B$ ，过 $A, B$ 向 $x, y$ 轴作垂线，垂足分别

为 $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}$ ，

则 $S_{梯形 A B B_{1} A_{1}} = S_{梯形 A B B_{2} A_{2}} = S_{△ O A B}$ ．

题目SH-085-011难度 B · 巩固

⑴点 $P$ 在反比例函数的图像上，过 $P$ 点作 $P A ⊥ y$ 轴于 $A$ 点， $O$ 为原点， $△ O A P$ 的面积为 $9$ ，则该反比例函数的解析式为________________．

⑵如图，正比例函数 $y = 3 x$ 的图像与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图像交于点 $A$ ,若 $k$ 取 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $\dots$ 、 $20$ ，对应的 $R t △ A O B$ 的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $\dots$ 、 $S_{20}$ ，则 $S_{1} + S_{2} + \dots + S_{20} =$ ________

题目SH-085-012难度 C · 综合

⑴如图，过 $x$ 轴正半轴上的任意一点 $P$ ，作 $y$ 轴的平行线，分别与反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 和 $y = \frac{4}{x}$ 的图像交于 $A$ 、 $B$ 两点．若点 $C$ 是 $y$ 轴上任意一点，联结 $A C$ 、 $B C$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

题目SH-085-013

⑵函数 $y = \frac{4}{x}$ 和 $y = \frac{1}{x}$ 在第一象限内的图像如图，点 $P$ 是 $y = \frac{4}{x}$ 的图像上一动点， $P C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，交 $y = \frac{1}{x}$ 的图像于点 $A$ ， $P D ⊥ y$ 轴于点 $D$ ，交 $y = \frac{1}{x}$ 的图像于点 $B$ ．给出如下结论：① $△ O D B$ 与 $△ O C A$ 的面积相等；② $P A$ 与 $P B$ 始终相等；③四边形 $P A O B$ 的面积大小不会发生变化；④ $C A = \frac{1}{3} A P$ ．其中所有正确结论的序号是________．

题目SH-085-014难度 C · 综合

如图，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 经过点 $A (2 ， 2)$ 与点 $B (4, m)$ ，求 $△ A O B$ 的面积．

题目SH-085-015难度 D · 提升

⑴如图，等边三角形 $A O B$ 的顶点 $A$ 的坐标为 $(- 4, 0)$ ，顶点 $B$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图像上，则 $k =____________$ ．

题目SH-085-016

⑵如图所示，正方形 $O A P B$ 、 $A D F E$ 的顶点 $A, D, B$ 在坐标轴上，点 $E$ 在 $A P$ 上，点 $P 、 F$ 在函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像上，已知正方形 $O A P B$ 的面积为 $9$ ，求正方形 $A D F E$ 的边长．

题目SH-085-017

⑶如图，点 $A$ 、 $C$ 都在函数 $y = \frac{4 \sqrt{3}}{x}$ （ $x > 0$ ）的图像上，点 $B$ 、 $D$ 都在 $x$ 轴上，且使得 $△ O A B$ 和 $△ B C D$ 都是等边三角形，则点 $C$ 的坐标为________．

题目SH-085-018难度 D · 提升

在反比例函数 $y = \frac{12}{x} (x > 0)$ 的图像上，有一系列点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $\dots$ ， $A_{n}$ ，若 $A_{1}$ 的横坐标为 $2$ ，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差为 $2$ ，现分别过点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $\dots$ ， $A_{n}$ ， $A_{n + 1}$ 作 $x$ 轴和 $y$ 轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $\dots$ ， $S_{n}$ ，则 $S_{1} =$ ________， $S_{1} + S_{2} + S_{3} + . . . + S_{n} =$ ________．（用 $n$ 的代数式表示）

如果函数 $y = k x^{2 k^{2} + k - 2}$ 的图像是双曲线，且在第二、四象限，那么 $k$ 的值是多少？

已知 $(x_{1}, y_{1})$ , $(x_{2}, y_{2})$ , $(x_{3}, y_{3})$ 是反比例函数 $y = - \frac{4}{x}$ 图像上的三个点，且 $x_{1} < x_{2} < 0$ ， $x_{3} > 0$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

$A$ ． $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ $B$ ． $y_{2} < y_{1} < y_{3}$

$C$ ． $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ $D$ ． $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

如图，点 $A$ 在双曲线 $y = \frac{1}{x}$ 上，点 $B$ 在双曲线 $y = \frac{3}{x}$ 上，且 $A B_{}^{} / /_{}^{} x$ 轴， $C$ 、 $D$ 在 $x$ 轴上，若四边形 $A B C D$ 为矩形，则它的面积为__________

题目SH-085-019

如图，直线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ，与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点， $P$ 是线段 $A B$ 上的点（不与 $A$ 、 $B$ 重合）， $Q$ 为线段 $B C$ 上的点（不与 $B$ 、 $C$ 重合），过点 $A$ 、 $P$ 、 $Q$ 分别向 $x$ 轴作垂线，垂足分别为 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ，联结 $O A$ 、 $O P$ 、 $O Q$ ，设 $△ A O D$ 的面积为 $S_{1}$ 、 $△ P O E$ 的面积为 $S_{2}$ 、 $△ Q O F$ 的面积为 $S_{3}$ ，则有（）

题目SH-085-020

$A$ ． $S_{1} < S_{2} < S_{3}$ $B$ ． $S_{3} < S_{1} < S_{2}$

$C$ ． $S_{3} < S_{2} < S_{1}$ $D$ ． $S_{1} = S_{2} = S_{3}$

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $O D E F$ 和四边形 $A B C D$ 都是正方形，点 $F$ 在 $x$ 轴的正半轴上，点 $C$ 在边 $D E$ 上，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ $(k \neq 0, x > 0)$ 的图像过点 $B, E$ ．若 $A B = 2$ ，则 $k$ 的值为 $_________$ ．

题目SH-085-021

如图， $△ P_{1} O A_{1}$ 、 $△ P_{2} A_{1} A_{2}$ 都是等腰直角三角形，点 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 在函数 $y = \frac{4}{x}$ （ $x > 0$ ）的图像上，斜边 $O A_{1}$ 、 $A_{1} A_{2}$ 都在 $x$ 轴上，求点 $A_{2}$ 的坐标．

题目SH-085-022

在平面直角坐标系的第一象限内，边长为 $1$ 的正方形 $A B C D$ 的边均平行于坐标轴， $A$ 点的坐标为 $(a, a)$ ．如图，若曲线 $y = \frac{3}{x} (x > 0)$ 与此正方形的边有交点，则 $a$ 的取值范围是 $___________$ ．

题目SH-085-023

如图，正方形 $A B C O$ 和正方形 $C D E F$ 的顶点 $B$ 、 $E$ 在双曲线 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 上，连接 $O B$ 、 $O E$ 、 $B E$ ，则 $S_{Δ O B E}$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5

如图，直线 $y = k$ 和双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 相交于点 $P$ ，过 $P$ 点作 $P A_{0}$ 垂直于 $x$ 轴，垂

足为 $A_{0}$ ， $x$ 轴上的点 $A_{0}$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，…， $A_{n}$ 的横坐标是连续的整数，过点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，…， $A_{n}$ 分别作 $x$ 轴的垂线，与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）及直线 $y = k$ 分别交于点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，…， $B_{n}$ 和 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ，…， $C_{n}$ ．

⑴求 $A_{0}$ 点坐标；

⑵求 $\frac{C_{1} B_{1}}{A_{1} B_{1}}$ 及 $\frac{C_{2} B_{2}}{A_{2} B_{2}}$ 的值；

⑶试猜想 $\frac{C_{n} B_{n}}{A_{n} B_{n}}$ 的值并加以证明．

题目SH-085-024

双曲线 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 上有点 $A$ 、 $C$ ，关于原点对称.过 $A$ 、 $C$ 分别作两坐标轴的平行线，围成矩形 $A B C D$ ，如图所示．

⑴已知矩形 $A B C D$ 的面积等于 $8$ ，求双曲线的解析式；

⑵若已知矩形 $A B C D$ 的周长为 $8$ ，能否由此确定双曲线的解析式？如果能够确定，请予求出；如果不能确定，试说明原因．

题目SH-085-025

如图，点 $A$ 、 $B$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象上的两点，延长线段 $A B$ 交 $y$ 轴

于点 $C$ ，且点 $B$ 为线段 $A C$ 中点，过点 $A$ 作 $A D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，点 $E$ 为线段 $O D$ 的三等分点，且 $O E < D E$ ．连接 $A E$ 、 $B E$ ，若 $S_{Δ A B E} = 7$ ，

则 $k$ 的值为 $($ 　　 $)$

A． $- 12$ B．C． D．

⑴如图，反比例函数 $y = \frac{5}{x}$ 的图像与直线 $y = k x (k > 0)$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点， $A C / / y$ 轴， $B C / / x$ 轴，则 $△ A B C$ 的面积等于________个面积单位．

题目SH-085-026

⑵如图所示，过原点作直线交双曲线 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 于点 $A$ 、 $C$ ，过 $A$ 、 $C$ 分别作两坐标轴的平行线，围成矩形 $A B C D$ ．

①已知矩形 $A B C D$ 的面积等于 $8$ ，求双曲线的解析式；

②若已知矩形 $A B C D$ 的周长为 $8$ ，能否由此确定双曲线的解析式？如果能够确定，请求出；如果不能确定，试说明原因．

题目SH-085-027

如图所示，已知正方形 $O A B C$ 的面积为 $9$ , 点 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 在 $x$ 轴上，

点 $C$ 在 $y$ 轴上，点 $B$ 在函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像上，点 $P (m, n)$ 是函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ， $x > 0$ ）的图像上的动点（与点 $B$ 不重合），过点 $P$ 分别作 $x$ 轴、 $y$ 轴的垂线，垂足分别为 $E$ 、 $F$ ．并设矩形 $O E P F$ 和正方形 $O A B C$ 不重合部分（见图中阴影）的面积为 $S$ ．

①求点 $B$ 坐标和 $k$ 的值．

②当 $p$ 在 $B$ 右侧且 $S = \frac{9}{2}$ 时，求点 $P$ 的坐标．

③写出 $S$ 关于 $m$ 的函数关系式．

题目SH-085-028

双曲线 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 经过四边形 $O A B C$ 的顶点 $A$ 、 $C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $O C$ 平分 $∠ A O D$ ， $A B / / x$ 轴，将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 翻折后得到 $△ A B' C$ ， $B'$ 点落在 $O A$ 上，求四边形 $O A B C$ 的面积．