代数4-整式、分式、因式分解 · 第 053 讲

第6讲整式综合

33 道题5 个知识模块答案解析精校中

本讲答案与解析正在逐题精校，完成后在题卡下方开放。当前请先独立作答，再回来对照。

知识模块 01 · 原讲小节

单项式

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

单项式和多项式

一、整式：单项式和多项式统称为整式．

二、单项式：

定义：数或字母的积，这样的代数式叫做单项式．如 $4 x, v t, 6 a^{2}, a^{3}, - n, 2 π r$ ．

单独的一个数或一个字母也是单项式．

两个概念

①系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；

②次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．

知识小结

：

①数字单项式的系数是它本身，次数为 $0$ ．如 $- 7$ 的系数是 $- 7$ ，次数为 $0$ ；

②圆周率 $π$ 是常数．如 $2 π r$ 的系数是 $2 π$ ，次数是 $1$ ； $π r^{2}$ 的系数是 $π$ ，次数是 $2$ ；

③系数是 $1$ 或 $- 1$ 时，通常省略不写，如 $a^{2} b c$ , $- a b c$ 等，系数是带分数时，写成假分数，如 $1 \frac{3}{4} x y^{2}$ 写成 $\frac{7}{4} x y^{2}$ ．

知识模块 02 · 原讲小节

多项式

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知识讲解定义、性质与方法

定义：几个单项式的和叫做多项式．例如： $a^{2} - 2 a b + b^{2}, m n - 3$ 等．

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．

如：多项式 $x^{2} - 3 x + 2$ ，它的项分别是 $x^{2}, - 3 x, 2$ ，常数项是 $2$ ．

两个概念

①项数：多项式含有的单项式个数；

②次数：多项式里次数最高的项的次数．

两者统称为几次几项式．

如： $x^{2} y - 3 x^{2} y^{2} + 4 x^{3} y^{2} + y^{4}$ 是五次四项式，最高次项是 $4 x^{3} y^{2}$ ．

知识模块 03 · 原讲小节

多项式的排列

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知识讲解定义、性质与方法

降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来叫做这个多项式按这个字母的降幂排列；

升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来叫做这个多项式按这个字母的升幂排列．

（移动多项式的项时，需连该项的符号一起移动；进行多项式的排列时，要先确定按哪个字母的指数来排列．）

注意区分整式和分式：分式看形式，整式看结果．

题目SH-053-001难度 B · 巩固

在代数式： $a$ ， $\frac{x}{π}$ ， $\frac{4}{3} a b$ , $a - b$ , $\frac{a + b}{2}$ ， $x^{2} + x + 1$ ， $5$ ， $2 a$ ， $\frac{1 + x}{x}$ 中，整式有个；单项式有个；次数为 $2$ 的单项式是；系数为 $1$ 的单项式是； $\frac{x}{π}$ 的系数是．

题目SH-053-002难度 B · 巩固

⑴若 $x^{m - 1} y^{2}$ 与 $\frac{2}{5} x^{5} y^{n + 8}$ 是同类项，则 $m + n =$ ．

⑵如果二次三项式 $4 x^{2} + m x + \frac{1}{4}$ 是一个完全平方式，那么常数 $m =$ ．

⑶已知多项式 $a (x^{3} - x^{2} + 3 x) + b (2 x^{2} + x) + x^{3} - 5$ 是关于 $x$ 的二次三项式，当 $x = 2$ 时，多项式的值为 $- 17$ ；那么当 $x = - 2$ 时，多项式的值为．

整式的加减

知识模块 04 · 原讲小节

计算

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知识讲解定义、性质与方法

⑴ $4 x (x^{2} + 1) - (x - 2) (3 x + 1) - 2 (x - 1) (2 x^{2} - 5 x + 1)$

⑵ $(3 x - y) (x + 2 y) + {(x - 2 y)}^{2} - (2 x + y) (2 x - y)$

⑶ $(x^{2} + 3 x - 5) (x^{2} + 5 x - 7)$

题目SH-053-006难度 C · 综合

题目SH-053-007

⑴已知 $(3 x^{2} - 2 x + 1) (x + a)$ 展开后不含 $x^{2}$ 的项，求 $a$ 的值

题目SH-053-008

⑵已知 $x^{2} - n x + 1$ 与 $m x^{2} + 2 x - 1$ 的积不含 $x^{3}$ 的项，也不含 $x$ 的项，试求 $m$ 与 $n$ 的值．

题目SH-053-009难度 C · 综合

题目SH-053-010

⑴阅读上述材料后，试判断 $x^{3} - x^{2} - 5 x - 3$ 能否被 $x + 1$ 整除，说明理由；

题目SH-053-011

⑵利用上述方法解决：若多项式 $2 x^{4} - 3 x^{3} + a x^{2} + 7 x + b$ 能被 $x^{2} + x - 2$ 整除，求 $\frac{a}{b}$ 的值．

题目SH-053-012难度 B · 巩固

【铺垫】长除法

如果 $x^{2} + x - 1 = 0$ ，求代数式 $x^{3} + 2 x^{2} - 7$ 的值．

题目SH-053-013难度 C · 综合

长除法

题目SH-053-014

⑴若 $x^{2} + 3 x - 2 = 0$ ，则 $x^{3} + 4 x^{2} + x + 2018 =$ .

题目SH-053-015

⑵已知 ${(x + 1)}^{2} = 3$ ，则代数式 $2 x^{4} + 3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 3 =$ .

题目SH-053-016

若 $x^{2} + b x + 25$ 是一个完全平方式，则 $b =$ ．

题目SH-053-017

计算：

⑴ $(\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{3}{5}) \cdot {(- 2 x^{2})}^{2}$

⑵ $(3 x + y) (x + 3 y) - (2 x - 3 y) (3 y + 2 x)$

题目SH-053-018

如果 $3 x^{m + 5} y^{2}$ 与 $x^{3} y^{n}$ 的和是单项式，那么 $m^{n}$ 的值是．

题目SH-053-019

多项式 $3 x^{2} - 2 x + 1$ 减去一个多项式 $A$ 的差是 $4 x^{2} - 3 x + 4$ ，求这个多项式 $A$ ．

题目SH-053-020

若 $(x + p)$ 与 $(x + 3)$ 的乘积中，不含 $x$ 的一次项，则 $p$ 的值是．

题目SH-053-021

将下列代数式分别填入相应的括号内：

$\frac{1}{π} ， \frac{5}{3} a^{2} b^{3} ， \frac{x^{2}}{x} ， a^{2} + 2 a b ， m^{3} - 3 m^{2} n + 3 m n^{2} - n^{3} ， \frac{x - 2}{3} ， x^{4} + \frac{1}{x^{2}} + 2020 ， \frac{1}{a^{2} + b^{2}}$

单项式（）；

多项式（）；

二次多项式（）；

整式（）

题目SH-053-022

已知 $A = 3 x^{3} - 2 x + 1$ ， $B = 3 x^{2} + 2 x - 1$ ， $C = 2 x^{3} + 1$ ，求：

⑴ $A - B - C$ ；

⑵ $B - [- (- 2 A) + (- C)]$ ．

题目SH-053-023

计算：

题目SH-053-024

⑴ $(x + 2 y) (3 x - 5 y) - (6 x^{4} y^{2} - 2 x^{2} y^{2}) \div (2 x^{2} y^{2})$

⑵ $(2 x - 3 y) (2 x + 3 y) - {(y - 2 x)}^{2} + (x - y) (x + 2 y)$

已知多项式 $x^{3} - 2 x^{2} + a x - 1$ 的除式为 $b x - 1$ ，商式为 $x^{2} - x + 2$ ，余式为 $1$ ，求 $a 、 b$ 的值．
计算：

⑴ $(x^{3} - 1) \div (x - 1)$ ;

⑵ $(3 x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 2) \div (x^{2} + 3)$

如果 $x^{2} + x - 1 = 0$ ，则代数式 $x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 5 =$ .

题目SH-053-025

下列各式中，哪些是多项式？并指出它是几次几项式．

⑴ $\frac{4}{5} x^{4} + 2 x^{2} - 1$ ；⑵ $2 a b + \frac{a}{b}$ ；⑶ $a^{3} + 2 a b^{3} + b^{3} - a^{3} b$ ；⑷ $\frac{x + y}{x}$ .

题目SH-053-026

已知 $a^{\frac{m}{3}} b^{\frac{n}{3}}$ 和 $- 3 a b^{3}$ 是同类项，且 $A = m x^{2} - 9 x y + y^{2}$ ， $B = 3 x^{2} - n x y + y^{2}$ ，求 $2 A - {3 B - [A + 2 (B - A)]}$ 的值．
已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足：⑴ $5 {(a + 3)}^{2} + 2 | b - 2 | = 0$ ；⑵ $\frac{1}{3} x^{2 - a} y^{1 + b + c}$ 是7次单项式；

求多项式 $a^{2} b - [a^{2} b - (2 a b c - a^{2} c - 3 a^{2} b) - 4 a^{2} c] - a b c$ 的值．

题目SH-053-027

计算：

题目SH-053-028

⑴ $9 a^{m - n} b^{2 m - n} c^{3 n - 2 m} \div 3 a^{2} b^{3}$

题目SH-053-029

⑵ $(\frac{3}{5} a^{8} b^{2} - \frac{6}{5} a^{3} b^{4} - 1.8 a^{2} b^{3}) \div 0.6 a b^{2}$

题目SH-053-030

⑶ $(\frac{1}{3} a^{3} b^{2})^{3} \div (\frac{3}{4} a b^{2})^{2}$

题目SH-053-031

⑷ $(\frac{2}{3} a^{4} b^{7} - \frac{1}{9} a^{2} b^{6}) \div (- \frac{1}{3} a b^{3})^{2}$

题目SH-053-032

计算： $(- x^{3} + 2 x^{2} - 5) (2 x^{2} - 3 x + 1)$
计算： $(x^{2} - 2 x + 3) (x - 1) (x + 1)$
计算：

⑴ $(2 x + 6) (x^{2} - 9) \div (x^{2} + 6 x + 9)$

⑵ ${(3 x y)}^{2} (x^{2} - y^{2}) - (4 x^{2} y^{2})^{2} \div 8 y^{2} + 9 x^{2} y^{4}$

题目SH-053-033

将一多项式 $(17 x^{2} - 3 x + 4) - (a x^{2} + b x + c)$ ，除以 $(5 x + 6)$ 后，得商式为 $(2 x + 1)$ 余式为 $0$ ．求 $a - b - c =$ 　　　　　．
⑴已知 $x^{2} - 3 x = 2$ ，则 $3 x^{5} - 11 x^{4} + 4 x^{3} - 14 x^{2} + 10 x - 2006 =$ .

⑵已知 $3 x^{3} - x = 1$ ，则 $9 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} - 7 x + 2017 =$ .