第5讲函数综合 · 章法数学

知识模块 01 · 原讲小节

一次函数的图像变换

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

一次函数 $y = k_{1} x + b_{1}$ （ $k_{1} \neq 0$ ）的图像变换

知识模块 02 · 原讲小节

直线的平移

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

当直线 $y = k x + b$ 向左（右）平移 $m (m > 0)$ 个单位时，

可得： $y = k (x + m) + b$ （ $y = k (x - m) + b$ ）；

当直线 $y = k x + b$ 向上（下）平移 $n (n > 0)$ 个单位时，

可得： $y = k x + b + n$ （ $y = k x + b - n$ ）．

口诀：上加下减，左加右减

知识模块 03 · 原讲小节

直线的对称

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

直线 $y = k x + b$ 关于 $x$ 轴对称后得到的直线解析式为 $y = - k x - b$ ；
直线 $y = k x + b$ 关于 $y$ 轴对称后得到的直线解析式为 $y = - k x + b$ ；
直线 $y = k x + b$ 关于原点对称后得到的直线解析式为 $y = k x - b$ ．

直线的旋转

直线的旋转问题一般都是用点的旋转来处理，然后进一步转化为全等三角形（或三角比）解决．

题目SH-087-001难度 A · 基础

⑴ 把函数 $y = - 2 x + 4$ 的图像向上平移 $2$ 个单位，所得函数图像的解析式为________；

⑵ 把函数 $y = - 2 x + 4$ 的图像向左平移 $3$ 个单位，所得函数图像的解析式为________；

⑶ 直线 $y = - \frac{1}{2} x + 1$ 向________（“左”或“右”）平移________个单位可得直线 $y = - \frac{1}{2} x - 5$ ．

题目SH-087-002难度 B · 巩固

⑴ 若直线 $y = k x (k \neq 0)$ 经过点 $(1, 3)$ ，则该直线关于轴对称的直线的解析式为________．

⑵ 函数 $y = - x + 2$ 的图像关于 $y$ 轴对称，得到的函数的解析式为________．

⑶ 函数 $y = 2 x - 3$ 的图像先关于 $y$ 轴对称，再关于 $x$ 轴对称，得到函数的解析式为________．

题目SH-087-003难度 C · 综合

⑴ 直线 $y = - 2 x - 4$ 关于 $y = 1$ 对称的直线解析式为________；

⑵ 函数 $y = - x + 2$ 的图像关于 $x = 1$ 对称，得到的函数的解析式为________；

⑶ 函数 $y = x + 1$ 的图像关于点 $(2, 1)$ 对称后所得到的直线解析式为________．

知识模块 04 · 原讲小节

两大函数综合

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

题目SH-087-004难度 A · 基础

⑴函数 $y = k x + k$ 与 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 在同一直角坐标系中的图像大致是（）

题目SH-087-005

⑵在同一坐标系内,表示函数 $y = k x + b$ 与 $y = \frac{k b}{x}$ ( $k \neq 0$ ， $b \neq 0$ )的图像只可能是下图中的（）

题目SH-087-006

⑶若 $\frac{a}{b + c} = \frac{b}{c + a} = \frac{c}{a + b} = t$ ，则一次函数 $y = t x + t^{2}$ 和反比例函数 $y = \frac{t}{x}$ 的图像是().

$A$ $B$

$C$ $D$

题目SH-087-007难度 C · 综合

如图，直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于点 $A$ ， $C$ ，点 $P$ 是直线 $A C$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 在第一象限内的交点， $P B ⊥ x$ 轴，垂足为点 $B$ ， $△ A P B$ 的面积为 $4$ ．

⑴求点 $P$ 的坐标；

⑵求双曲线的解析式及直线与双曲线另一交点 $Q$ 的坐标．

题目SH-087-008难度 D · 提升

已知直线 $y = - \frac{1}{2} x$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ $(k < 0)$ 交于 $A$ 、 $B$ ，若 $A$ 的横坐标为 $- 4$ .

⑴求 $k$ 的值.

⑵过原点的另一直线交双曲线 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 于 $P$ 、 $Q$ 两点， $P$ 在第二象限，若 $A$ 、 $B$ 、 $P$ 、 $Q$ 组成的四边形面积为 $24$ ，求 $P$ 的坐标.

题目SH-087-009难度 D · 提升

如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 内，点 $P$ 在直线 $y = \frac{1}{2} x$ （点 $P$ 在第一象限），过点 $P$ 作 $P A ⊥ x$ 轴，垂足为 $A$ ，且 $O P = 2 \sqrt{5}$ .

⑴求点 $P$ 的坐标.

⑵如果点 $M$ 和点 $P$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图像上，过点 $M$ 作 $M N ⊥ x$ 轴，垂足为点 $N$ ，如果 $△ M N A$ 和 $△ O A P$ 全等（点 $M$ 、 $N$ 、 $A$ 分别和点 $O$ 、 $A$ 、 $P$ 对应），求点 $M$ 的坐标.

题目SH-087-010难度 D · 提升

如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 与正比例函数 $y = a x$ 相交于 $A (1, k)$ $B (- k, - 1)$ 两点．

⑴求反比例函数和正比例函数的解析式；

⑵将正比例函数 $y = a x$ 的图像平移，得到一次函数 $y = a x + b$ 的图像，与函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图像交于 $C (x_{1}, y_{1}), D (x_{2}, y_{2})$ ，且 $| x_{1} - x_{2} | \cdot | y_{1} - y_{2} | = 5$ ，求 $b$ 的值．

题目SH-087-011难度 E · 挑战

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A$ 的坐标为 $(a, 3)$ （其中 $a > 4$ ），射线 $O A$ 与反比例函数 $y = \frac{12}{x}$ 的图像交于点 $P$ ，点 $B, C$ 分别在函数 $y = \frac{12}{x}$ 的图像上，且 $A B ∥ x$ 轴， $A C ∥ y$ 轴．

⑴当点 $P$ 横坐标为 $6$ ，求直线 $A O$ 的表达式；

⑵联结 $B O$ ，当 $A B = B O$ 时，求点 $A$ 坐标；

⑶联结 $B P, C P$ ，试猜想： $\frac{S_{△ A B P}}{S_{△ A C P}}$ 的值是否随 $a$ 的变化而变化？如果不变，求出 $\frac{S_{△ A B P}}{S_{△ A C P}}$ 的值；如果变化，请说明理由．

题目SH-087-012

⑴若将直线 $y = k x (k \neq 0)$ 的图像向上平移 $3$ 个单位长度后经过点 $(2 ， 7)$ ，则平移后直线的解析式为________．

⑵若直线 $l$ 与直线 $y = - 2 x - 1$ 关于原点对称，则直线 $l$ 的解析式是________．

⑴ $y = 2 x + 3$ ⑵ $y = - 2 x + 1$

已知关于 $x$ 的函数 $y = k (x + 1)$ 和 $y = - \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 它们在同一坐标系中的大致图像是（）

题目SH-087-013

⑴已知一次函数 $y = x + m$ 与反比例函数 $y = \frac{m + 1}{x}$ ( $m \neq - 1$ )，它们的图像在第一象限内的交点为 $P$ $(x_{0}, 3)$ ．求： $x_{0}$ 的值，一次函数和反比例函数的解析式．

⑵直线 $y = a x (a > 0)$ 与双曲线 $y = \frac{3}{x}$ 交于 $A (x_{1} ， y_{1}) 、 B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，

则 $4 x_{1} y_{2} - 3 x_{2} y_{1} =$ ．

如图，直线 $y = - x + 3$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图像交于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $C B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ， $A O = 3 B O$ ，则反比例函数的解析式为（）

$A . y = \frac{4}{x}$ $B . y = - \frac{4}{x}$ $C . y = \frac{2}{x}$ $D . y = - \frac{2}{x}$

如图，双曲线 $y = \frac{m}{x}$ 在第一象限的一支上有一点 $C (1 ， 5)$ ，经过点 $C$ 的直线 $y = - k x + b (k > 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (a ， 0)$ ．

题目SH-087-014

⑴求点的横坐标与之间的函数关系式；

⑵当这条直线与双曲线在第一象限的另一交点的横坐标为 $9$ 时，求 $△ C O A$ 的面积．

题目SH-087-015

如图，已知 $A (- 4 ， n) ， B (2 ， - 4)$ 是一次函数 $y = k x + b$ 的图像和反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图像的两个交点．

⑴求反比例函数和一次函数的解析式；

⑵求直线 $A B$ 与 $x$ 轴的交点 $C$ 的坐标及 $Δ A O B$ 的面积；

题目SH-087-016

如图，直线 $y = - \frac{4}{3} x + 8$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点，线段 $A B$ 的垂直平分线分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $C$ 、 $D$ 两点．

⑴求点 $C$ 的坐标；

⑵求 $△ B C D$ 的面积．

题目SH-087-017

如图，已知双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 与直线 $y = \frac{1}{4} x$ 相交于 $A 、 B$ 两点．第一象限上的点 $M (m ， n)$ （在 $A$ 点左侧）是双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上的动点．过点 $B$ 作 $B D ∥ y$ 轴交 $x$ 轴于点 $D$ ．过 $N (0 ， - n)$ 作 $N C ∥ x$ 轴交双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 于点 $E$ ，交 $B D$ 于点 $C$ ．

⑴若点 $D$ 坐标是 $(- 8 ， 0)$ ，求 $A$ 、 $B$ 两点坐标及 $k$ 的值．

⑵若 $B$ 是 $C D$ 的中点，四边形 $O B C E$ 的面积为 $4$ ，求直线 $C M$ 的解析式．

题目SH-087-018

如图，已知直线 $B D ∥ y$ 和双曲线 $y = \frac{k + 1}{x}$ （ $k$ 为正整数）交于 $N (0 ， - n)$ 两点．

⑴当 $N C ∥ x$ 时，求 $y = \frac{k}{x}$ 两点的坐标；

⑵当 $E$ 时，求 $B D$ 的面积；

⑶当 $C$ 时， $△ A O B$ 的面积记为 $(- 8 ， 0)$ ，当 $A$ 时， $B$ 的面积记为 $k$ ，依此类推，当 $B$ 时， $C D$ 的面积记为 $O B C E$ ，若 $S_{1} + S_{2} + \cdot \cdot \cdot + S_{n} = \frac{133}{2}$ ，求 $C M$ 的值．

$P$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ $(x > 0, k > 0)$ 的图像上的一点， $P N$ 垂直 $x$ 轴于点 $N$ ，

$P M$ 垂直 $y$ 轴于点 $M$ ，矩形 $O M P N$ 的面积为 $2$ ，且 $O N = 1$ ，一次函数 $y = x + b$ 的图像经过点 $P$ ．

⑴求该反比例函数和一次函数的解析式；

题目SH-087-019

⑵设直线 $y = x + b$ 与 $x$ 轴的交点为 $A$ ，点 $Q$ 在 $y$ 轴上，当 $Δ Q O A$ 的面积等于 $Δ Q M N$ 的面积时，直接写出点 $Q $ 的坐标．

已知：在矩形 $y = \frac{5}{x}$ 中， $O B = 4$ ， $O A = 3$ ．分别以 $O B ， O A$ 所在直线为 $D (9, \frac{5}{9})$ 轴

和 $y$ 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． $F$ 是边 $B C$ 上的一个动点（不与 $B ， C$ 重合），过 $F$ 点的反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图像与 $A C$ 边交于点 $E$ ．

⑴求证： $△ A O E$ 与 $△ B O F$ 的面积相等；

⑵记 $S = S_{△ O E F} - S_{△ E C F}$ ，求当 $k$ 为何值时， $S$ 有最大值，最大值为多少？

题目SH-087-020

已知:如图，反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图像上的一点 $A (m, n)$ 在第一象限内，点 $B$ 在 $x$ 轴的正半轴上，且 $A B = A O$ ，过点 $B$ 作 $B C ⊥ x$ 轴，与线段 $O A$ 的延长线相交于点 $C$ ，与反比例函数的图像相交于点 $D$ .

⑴用含 $m$ 的代数式表示点 $D$ 的坐标

⑵求证： $C D = 3 B D$

⑶连接 $A D$ 、 $O D$ ，试求 $△ A B D$ 的面积与 $△ A O D$ 的面积的比值

题目SH-087-021

如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = 3 x + 2$ 的图像与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 在第一象限内的图像交于点 $B$ ，且点 $B$ 的横坐标为 $1$ ．过点 $A$ 作 $A C ⊥ y$ 轴交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图像于点 $C$ ，联结 $B C$ ．

⑴求反比例函数的表达式．

⑵求 $△ A B C$ 的面积．

如图，已知点 $A, P$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图像上，点 $B, Q$ 在直线 $y = x - 3$ 的图像上，点 $B$ 的纵坐标为 $- 1$ ， $A B ⊥ x$ 轴，且 $S_{△ O A B} = 4$ ，若 $P, Q$ 两点关于 $y$ 轴对称，设点 $P$ 的坐标为 $(m, n)$ ．

⑴求点 $A$ 的坐标和 $k$ 的值；

⑵求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值．

题目SH-087-022

如图，已知反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 与一次函数 $y = k_{2} x + b$ 的图像交于点 $A (1, 8) 、 B (- 4, m)$ ．

⑴求 $k_{1}, k_{2}, b$ 的值；

⑵求 $△ A O B$ 的面积；

⑶若 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ 是反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 图像上的两点，且 $x_{1} < x_{2}, y_{1} < y_{2}$ ，指出点 $M, N$ 各位于哪个象限，并简要说明理由．

题目SH-087-023

如图，在平面直角坐标系中有 $R t Δ A B C$ ， $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $A (- 2, 0)$ 、 $B (0, 1)$ 、 $C (d, 2)$ .

⑴求 $d$ 的值；

⑵将 $Δ A B C$ 沿 $x$ 轴的正方向平移，在第一象限内 $B$ 、 $C$ 两点的对应点 $B'$ 、 $C'$ 正好落在某反比例函数图像上，请求出这个反比例函数和此时的直线 $B'$ $C'$ 的解析式.