第9讲 相似综合

如图，在$△ABC$中，点$D$、$F$是边$AB$上的点，点$E$是边$AC$上的点，如果$\angle ACD=\angle B$，$DE\parallel BC$，$EF\parallel CD$，下列结论不成立的是（）

（A）$A{E}^2=AF\cdot AD$； （B）$A{C}^2=AD\cdot AB$；

（C）$A{F}^2=AE\cdot AC$； （D）$A{D}^2=AF\cdot AB$.

⑴如图，顶角为$36°$的等腰三角形，其底边和腰之比等于$k$，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰$AB=1$，$△ABC$为第一个黄金三角形，$△BCD$为第二个黄金三角形，$△CDE$为第三个黄金三角形，以此类推，第$2021$个黄金三角形的周长为（）

A．$k^{2020}$ B．$k^{2021}$ C．$\frac{k^{2020}}{2+k}$ D．$k^{2020}\left(2+k\right)$

⑵如图，在平行四边形$ABCD$中，$E$是$BC$中点，$DF\perp BA$交$BA$的延长线于点$F$，联结$FE$，若$AD=2AB=4$，$\angle DFE=54°$，则$FB=$________．

如图，在平行四边形$ABCD$中，$E$是$AB$的中点，$ED$和$AC$相交于点$F$，过点$F$作$FG//AB$，交$AD$于点$G$．

⑴ 求$\frac{FG}{AE}$的值．

⑵ 若$AB:AC=\sqrt{2}:\sqrt{3}$，求证：$D{F}^2=DG\cdot DA$．

如图，在$△ABC$中，$D$为$BC$中点，$AF=2BF$,$CE=3AE$，联结$CF$交$DE$于点$P$，则$\frac{EP}{DP}$的值为________．

如图，在$△ABC$中，$D$是$BC$边的中点，$DE\perp BC$交$AB$于点$E$，$AD=AC$，$EC$交$AD$于点$F$．求证：$FC=3EF$．

如图，$AB//CD$、$AD//CE$，$F$、$G$分别是$AC$和$FD$的中点，过$G$的直线依次交$AB$、$AD$、$CD$、$CE$于点$M$、$N$、$P$、$Q$，求证：$MN+PQ=2PN$．

如图，$P$为$△ABC$内一点，过$P$点平行于$AB$、$BC$、$CA$的直线在三角形区域内的部分分别为线段$DE$、$FG$、$HI$，且$DE=FG=HI=d$，已知$AB=510$，$BC=450$，$CA=425$，求$d$．

⑴如图，梯形$ABCD$中，$AD\parallel BC$，$BC=2AD$，$AF=2FC$，$BF$延长后交$CD$于点$E$，则$DE:EC$的值为________．

⑵如图，$\square ABCD$中，$\frac{AE}{EB}=\frac{5}{6}$，在$AC$上截取$CG=4AG$，$EG$交$AD$于$F$，则$\frac{AF}{FD}$的值为________，$\frac{FG}{GE}$的值为________．

如图，梯形$ABCD$中，$AD\parallel BC$，对角线$AC$，$BD$交于点$O$，$BE\parallel CD$交$CA$延长线于$E$．求证：$O{C}^2=OA\cdot OE$．

如图，在$Rt△ABC$中，$AD$是斜边$BC$上的高，$\angle ABC$的平分线$BE$交$AC$于$E$，交$AD$于$F$．求证：$\frac{BF}{AB}=\frac{BE}{BC}$．

如图，梯形$ABCD$中，$AD\parallel BC$，$AD=a$，$BC=b$，$E$、$F$分别是$AD$、$BC$的中点，且$AF$交$BE$于$P$，$CE$交$DF$于$Q$，求$PQ$的长．

如图所示，在$△ABC$中，$BC$、$AC$、$AB$所对边的长度分别为$a$、$b$、$c$，$\angle A=2\angle B$．求证：$a^2=b^2+bc$．