中考 · 第 162 讲

第1讲中考题集之函数

20 道题9 个知识模块答案解析精校中

本讲答案与解析正在逐题精校，完成后在题卡下方开放。当前请先独立作答，再回来对照。

知识模块 01 · 原讲小节

㈠一次函数

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

⑴解析式： $y = k x + b$ （ $k$ 、 $b$ 是常数，且 $k \neq 0$ ）

① 一次函数与正比例函数之间的关系：当 $b = 0$ 时，解析式 $y = k x + b$ 就成为 $y = k x$ （ $k$ 、 $b$ 是常数，且 $k \neq 0$ ），这时 $y$ 是 $x$ 的正比例函数．所以，正比例函数是一次函数的特例．

② 一般地，解析式形如 $y = c$ （ $c$ 为常数）叫做常值函数．

知识模块 02 · 原讲小节

⑶性质

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

增减性（单调性）：

当 $k > 0$ 时，函数值 $y$ 随自变量 $x$ 的值增大而增大；

当 $k < 0$ 时，函数值 $y$ 随自变量 $x$ 的值增大而减小．

位置情况：

当 $k > 0$ 且 $b > 0$ 时，直线 $y = k x + b$ 经过第一、二、三象限；

当 $k > 0$ 且 $b < 0$ 时，直线 $y = k x + b$ 经过第一、三、四象限；

当 $k < 0$ 且 $b > 0$ 时，直线 $y = k x + b$ 经过第一、二、四象限；

当 $k < 0$ 且 $b < 0$ 时，直线 $y = k x + b$ 经过第二、三、四象限．

知识模块 03 · 原讲小节

⑷平移、对称和旋转

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

变换

平移

对称

旋转

关于

x

轴

关于

y

轴

关于垂直于轴的直线

旋转图像上的两个点，由旋转后的两点坐标确定解析式

方法

⑴ $k$ 值不变，平移图像上的一个点；

⑵ $k$ 值不变，“上加下减，左加右减”

⑴对称图像上的两个点；

⑵ $k 、 b$ 均变为相反数

⑴对称图像上的两个点；

⑵ $k$ 变为相反数， $b$ 不变

对称图像上的两个点，由对称后的两点坐标确定解析式

知识模块 04 · 原讲小节

㈡反比例函数

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知识讲解定义、性质与方法

⑴解析式： $y = \frac{k}{x}$ （常数 $k \neq 0$ ），常数 $k$ 叫做比例系数．

知识模块 05 · 原讲小节

⑶性质

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

①当 $k > 0$ 时，反比例函数的图像经过第一、三象限；在每个象限内， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；

②当 $k < 0$ 时，反比例函数的图像经过第二、四象限；在每个象限内， $y$ 随 $x$ 的增大而增大；

③图像的两支无限接近于 $x$ 轴和 $y$ 轴，但不会与 $x$ 轴和 $y$ 轴相交．

知识模块 06 · 原讲小节

㈢二次函数

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

⑴解析式： $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a ， b ， c$ 为常数， $a \neq 0$ ）．

⑵图像：抛物线．抛物线是轴对称图形，有且只有一条对称轴，对称轴与抛物线的交点是这个抛物线的顶点．

知识模块 07 · 原讲小节

⑶性质

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

①当 $a > 0$ 时，当 $x < - \frac{b}{2 a}$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；当 $x > - \frac{b}{2 a}$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大．

②当 $a < 0$ 时，当 $x < - \frac{b}{2 a}$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大；当 $x > - \frac{b}{2 a}$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小．

知识模块 08 · 原讲小节

⑷图像与系数的关系

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知识讲解定义、性质与方法

① $a \to$ 开口 ${\begin{matrix} a > 0 上 \\ a < 0 下 \end{matrix}$ ： $| a |$ 的大小决定开口的大小， $| a |$ 越大开口越小．

② $b \to$ 对称轴：左同右异．

③ $c \to$ $y$ 轴交点，称为截距．

⑸平移规律：“左加右减，上加下减”．

知识模块 09 · 原讲小节

⑹对称变换

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知识讲解定义、性质与方法

$y = a x^{2} + b x + c \overset{关于 x 轴对称}{\to} y = - a x^{2} - b x - c$ ； $y = a {(x - h)}^{2} + k \overset{关于 x 轴对称}{\to} y = - a {(x - h)}^{2} - k$

$y = a x^{2} + b x + c \overset{关于 y 轴对称}{\to} y = a x^{2} - b x + c$ ； $y = a {(x - h)}^{2} + k \overset{关于 y 轴对称}{\to} y = a {(x + h)}^{2} + k$

$y = a x^{2} + b x + c \overset{关于原点对称}{\to} y = - a x^{2} + b x - c$ ； $y = a {(x - h)}^{2} + k \overset{关于原点对称}{\to} y = - a {(x + h)}^{2} - k$

题型

Ⅰ函数交点：联立解析式 $\Rightarrow$ 解方程组 $\Rightarrow$ 方程组的解对应函数的交点坐标；

Ⅱ解析式：待定系数法

Ⅲ面积问题：①公式法；②割补法；③等积变形；④铅垂线法．

题目SH-162-001难度 B · 巩固

函数定义域

题目SH-162-002

⑴函数 $y = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 3}$ 的自变量 $x$ 取值范围是________．

⑵函数 $y = \frac{\sqrt{x + 2}}{x^{2} + x - 2}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是________．

⑶函数 $y = \frac{\sqrt{2 - x}}{x - 1}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是________．

⑷在函数 $y = \frac{5}{\sqrt{x - 3}}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是________．

⑸函数 $y = \sqrt{4 - x^{2}} + \frac{1}{| x | - 1}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是________．

⑹函数 $y = \frac{\sqrt{2 x + 1}}{x^{2} + x - 2}$ 中自变量 $x$ 的取值范围是________．

题目SH-162-003难度 B · 巩固

图像性质

题目SH-162-004

⑴直线 $y = x + 3 - m$ 不过第二象限，则 $m =$ ________．

⑵一次函数 $y = (m - 1) x + 3 - m$ 一定过第________象限．

⑶已知点 $M (1, a)$ 和点 $N (2, b)$ 是一次函数 $y = - 2 x + 1$ 图像上的两点，则 $a$ 与 $b$ 的大小关系是

________．

⑷点 $P_{1} (- 1, y_{1})$ ， $P_{2} (3, y_{2})$ ， $P_{3} (5, y_{3})$ 均在二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + c$ 的图像上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是______________.

⑸已知点 $A (- 2, y_{1})$ 、 $B (3, y_{2})$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 图像上两点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的大小关系是______________.

题目SH-162-005难度 B · 巩固

一次函数的解析式

题目SH-162-006

⑴若一次函数图像过点 $A (- 1, 2)$ ，且平行于直线 $y = 3 x + 1$ ，则函数的解析式为______________.

⑵若直线 $y = k x + 2$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $△ A B O$ 的面积为 $4$ ，则直线的解析式为_____________.

题目SH-162-007难度 C · 综合

二次函数的解析式

题目SH-162-008

⑴已知抛物线的顶点为 $(- 1, - 3)$ ，与 $y$ 轴的交点为 $(0, - 5)$ ，则此抛物线的解析式为________.

⑵已知二次函数当 $x = 4$ 时有最小值 $- 3$ ，且它的图像与 $x$ 轴两交点间的距离为 $6$ ，则这个二次函数的解析式为______________.

⑶已知抛物线与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ 、 $B (1, 0)$ 两点，且经过点 $M (0, 1)$ ，则此抛物线的解析式为______________.

⑷已知二次函数的图像经过点 $A (3, - 2)$ 和 $B (1, 0)$ ，且对称轴是直线 $x = 3$ ，则二次函数的解析式为______________.

题目SH-162-009难度 B · 巩固

二次函数图像的平移

⑴把抛物线 $y = - x^{2}$ 向上平移 $2$ 个单位，那么所得抛物线与 $x$ 轴的两个交点之间的距离是

________．

⑵抛物线 $y = - 3 {(x - 1)}^{2}$ 可由抛物线 $y = - 3 x^{2}$ 向________平移________个单位得到．

⑶二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 5$ 的图像是由 $y = x^{2}$ 的图像先向________平移________个单位，再向________平移________个单位得到的．

题目SH-162-010难度 C · 综合

二次函数图像与系数

题目SH-162-011

⑴二次函数 $y = a x^{2} + (a - b) x - b$ 的图像如图所示，那么化简 $\frac{\sqrt{a^{2} - 2 a b + b^{2}} - | b |}{a}$ 的结果是

________．

⑵二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像如图所示，化简 $| b - a - c | - \sqrt{{(3 b + 2 c)}^{2}} + | a - b | =$ ________．

⑶已知如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ $(- 1, 0)$ 和点 $B$ ，化简： $\sqrt{{(a + c)}^{2}} + \sqrt{{(c - b)}^{2}}$ 的结果为________．

题目SH-162-012难度 C · 综合

反比例函数与一次函数综合

⑴如图，点 $A$ 为双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 的图像上一点，点 $B$ 是直线 $y = x$ 的图像上一点，且 $A B ⊥ O B$ ，

若 $O B^{2} - A B^{2} = 5$ ，则 $k =$ ________．

⑵如图，直线 $y = - 2 x + 6$ 与坐标轴相交于点 $A$ 、点 $B$ ， $B C ⊥ A B$ ，且 $\frac{C D}{A D} = \frac{4}{3}$ ，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 过点 $C$ ，则 $k =$ ________．

⑶如图，一次函数 $y = \frac{1}{2} x - 2$ 的图像分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $A$ 、 $B$ ， $P$ 为 $A B$ 上一点且 $P C$ 为 $△ A O B$ 的中位线， $P C$ 的延长线交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ $(k > 0)$ 的图像于 $Q$ ， $S_{△ O Q C} = \frac{3}{2}$ ，则 $k$ 的值和 $Q$ 点的坐标分别为 $k =$ ________， $Q$ ________．

题目SH-162-013难度 B · 巩固

二次函数与面积

抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + 2$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与 $x$ 轴交于点 $A (1, 0)$ 和点 $B$ （点 $B$ 在点 $A$ 右侧）．

⑴求该抛物线的顶点 $D$ 的坐标；

⑵求四边形 $C A D B$ 的面积．

题目SH-162-014难度 D · 提升

二次函数与等角存在性问题

题目SH-162-015

已知：如图，抛物线 $y = x^{2} - 2 x + 3$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，顶点是点 $P$ ，过点 $P$ 作 $P B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ．平

移该抛物线，使其经过 $A$ 、 $B$ 两点．

⑴求平移后抛物线的解析式及其与 $x$ 轴另一交点 $C$ 的坐标；

⑵设点 $D$ 是直线 $O P$ 上的一个点，如果 $∠ C D P = ∠ A O P$ ，求出点 $D$ 的坐标．

题目SH-162-016难度 D · 提升

二次函数与等角存在性问题

题目SH-162-017

已知：在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + x$ 的对称轴为直线 $x = 2$ ，顶点为 $A$ ．

⑴求抛物线的表达式及顶点 $A$ 的坐标；

⑵点 $P$ 为抛物线对称轴上一点，联结 $O A$ 、 $O P$ ．

①当 $O A ⊥ O P$ 时，求 $O P$ 的长；

②过点 $P$ 作 $O P$ 的垂线交对称轴右侧的抛物

线于点 $B$ ，联结 $O B$ ，当 $∠ O A P = ∠ O B P$ 时，

求点 $B$ 的坐标．

⑴已知函数 $y = k x + k - 2$ 的图像经过第一、三、四象限，则 $k$ 的取值范围是．

⑵一次函数 $y = k x + b$ 的图像与 $y$ 轴交点的纵坐标为 $- 3$ ，且当 $x = 1$ 时， $y = - 1$ ，则该一次函数的解析式是.

⑶在直线 $y = x + 1$ 上且位于 $x$ 轴上方的所有点，它们的横坐标的取值范围是　　．

题目SH-162-018

⑴将一次函数 $y = x - 2$ 的图像平移，使其经过点 $(2, 3)$ ，则所得直线的函数解析式是_______________.

⑵把抛物线 $y = x^{2} - 2 x$ 向左平移一个单位，所得抛物线的表达式为：．

⑶将抛物线 $y = 2 x^{2} - 1$ 向上平移 $4$ 个单位后，以所得抛物线为图像的二次函数解析式是

题目SH-162-019

已知二次函数 $y = x^{2} - k x - (k + 1)$ 的图像与 $y$ 轴交于点 $A$ ，且经过点 $(4, 5)$ .

⑴求此二次函数的解析式；

⑵将点 $A$ 沿 $x$ 轴方向平移，使其落到该函数图像上另一点 $B$ 处，求点 $B$ 的坐标.

题目SH-162-020

如图，已知直线 $l$ 经过点 $A (1, 0)$ ，且与曲线 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 交于点 $B (2, 1)$ ．过点 $P (p, p - 1)$ （ $p > 1$ ）作 $x$ 轴的平行线分别交曲线 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 和 $y = - \frac{m}{x} (x < 0)$ 于 $M$ 、 $N$ 两点．

⑴求 $m$ 的值及直线 $l$ 的解析式；

⑵若点 $P$ 在直线 $y = 2$ 上，求证： $△ P M B ∽ △ P N A$ ；

⑶是否存在实数 $p$ ，使得 $S_{△ A M N} = 4 S_{△ A P M}$ ？若存在，请求出所有满足条件的 $p$ 的值；若不存在，请说明理由．