代数3-一次方程与不等式 · 第 025 讲

第2讲二元一次方程组

27 道题10 个知识模块答案解析精校中

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知识模块 01 · 原讲小节

二元一次方程（组）的概念

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知识讲解定义、性质与方法

二元一次方程
1. 概念：含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程；
2. 一般形式： $a x + b y + c = 0$ （ $a \neq 0, b \neq 0$ ）；
3. 二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值；

注意：二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解的全体叫做这个二元一次方程的解集．

二元一次方程组
1. 概念：由几个一次方程组成并且共含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组．

注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元（一元方程在这里也可看作另一未知数系数为 $0$ 的二元方程）．

如 ${\begin{matrix} 2 x = 6 \\ 3 x - y = 1 \end{matrix}$ 也是二元一次方程组．

二元一次方程组的解：满足方程组中的每一个方程的两个未知数的值；同时它也必须是一个数对，而不能是一个数．

题目SH-025-001难度 A · 基础

⑴ 下列方程：① $x + 3 = 7$ ； ② $a + b = 0$ ； ③ $3 a + 4 t = 9$ ； ④ $x y - 1 = 0$ ；⑤ $\frac{1}{x} - y = 0$ ；

⑥ $x + y + z = 4$ ； ⑦ $x^{2} + y - 6 = 2 x$ ； ⑧ $2 x^{2} + x + 1 = 2 x^{2} + y + 5$ 其中二元一次方程的个数为（）个．

A． $2$ B． $3$ C． $4$ D． $5$

⑵ 若方程 $(m - 2) x^{n - 1} + 2 y^{| m - 1 |} = m$ 是关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程，求 $m, n$ 的值．

⑶ 已知方程 $(a - 2) x^{| a | - 1} - (b + 5) y^{(b^{2} - 24)} = 3$ 是关于 $x, y$ 的二元一次方程，求 $a, b$ 的值．

知识模块 02 · 原讲小节

二元一次方程组的基本解法

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知识讲解定义、性质与方法

解任何方程组的核心思路：消元、降次（高次方程组）

我们可以把二元一次方程组这种新问题转化归结为已解决的老问题——一元一次方程的问题，从而解决这个新问题．这是我们处理问题的常用方法．

代入消元法
1. 介绍：代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一．“消元”体现了数学研究中转化的重要思想，代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法．
2. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤：

⑴ 从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如 $y$ ，用另一个未知数如 $x$ 的代数式表示出来，即写成 $y = a x + b$ 的形式；

⑵ 将 $y = a x + b$ 代入另一个方程中，消去 $y$ ，得到一个关于 $x$ 的一元一次方程；

⑶ 解这个一元一次方程，求出 $x$ 的值；

⑷ 回代求解：把求得的 $x$ 的值代入 $y = a x + b$ 中求出 $y$ 的值，从而得出方程组的解；

⑸ 把这个方程组的解写成 ${\begin{matrix} x = a \\ y = b \end{matrix}$ 的形式．

如：解方程组： ${\begin{matrix} 2 x - y = 5 ① \\ 7 x - 3 y = 20 ② \end{matrix}$

由①得 $y = 2 x - 5$ ③

把③代入②得

解得 $x =$

把代入③，得 $y =$

∴原方程组的解是．

加减消元法
1. 介绍：加减消元法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一．加减法不仅在解二

元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法．

知识模块 03 · 原讲小节

加减法解二元一次方程组的一般步骤

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知识讲解定义、性质与方法

⑴ 变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；

⑵ 加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

⑶ 解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；

⑷ 回代求解：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值；

⑸ 把这个方程组的解写成 ${\begin{matrix} x = a \\ y = b \end{matrix}$ 的形式．

如：解方程组： ${\begin{matrix} 3 x - 7 y = 1 ① \\ 2 x + 8 y = 26 ② \end{matrix}$

$① \times 2$ ， $② \times 3$ ，得

${\begin{matrix} 6 x - 14 y = 2 ③ \\ \underline{} ④ \end{matrix}$

由 $④ - ③$ ，得

解得 $y =$

把代入，得 $x =$

∴原方程组的解是．

题目SH-025-002

加减消元方法的选择：

⑴ 一般选择系数绝对值最小的未知数消元；

⑵ 当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元；

⑶ 某一未知数系数成倍数关系时，直接使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解；

⑷ 当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解．

题目SH-025-003难度 B · 巩固

知识模块 04 · 原讲小节

用代入消元法解方程组

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知识讲解定义、性质与方法

⑴ ${\begin{matrix} x - 4 y = - 1 \\ 2 x + y = 16 \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} 2 x = y - 3 \\ 4 x + 3 y = 9 \end{matrix}$ ．

题目SH-025-004难度 B · 巩固

知识模块 05 · 原讲小节

用加减消元法解方程组

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知识讲解定义、性质与方法

⑴ ${\begin{matrix} 3 x - 2 y = 7 \\ 5 x + 3 y = - 1 \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} 2 x - 3 y = 2 \\ 5 x - 4 y = - 2 \end{matrix}$ ．

题目SH-025-005难度 C · 综合

知识模块 06 · 原讲小节

用适当的方法解方程组

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知识讲解定义、性质与方法

⑴ ${\begin{matrix} \frac{x + 1}{3} = 2 y \\ 2 (x + 1) - y = 11 \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} 4 (x - y - 1) = 3 (1 - y) - 2 \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 2 \end{matrix}$ ．

题目SH-025-006难度 C · 综合

知识模块 07 · 原讲小节

解下列方程组

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知识讲解定义、性质与方法

⑴ ${\begin{matrix} \frac{x + 2}{3} + \frac{y - 1}{2} = 2 \\ \frac{x + 2}{3} + \frac{1 - y}{2} = 1 \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} 2021 x + 2020 y = 10102 \\ 2020 x + 2021 y = 10103 \end{matrix}$ ．

知识模块 08 · 原讲小节

多元一次方程组

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题目SH-025-007难度 A · 基础

⑴ 如果方程组中含有个未知数，且未知数的项的次数都是次，这样的方程组叫做三元一次方程组．

⑵解三元一次方程组的思路是，目的是把三元一次方程组转化为，

再转化为．

⑶ 解方程组 ${\begin{matrix} 2 x + 5 y + z = 3 ① \\ 3 x - 2 y - z = - 7 ② \\ 4 x + 2 y - z = - 14 ③ \end{matrix}$ 时，选择消元，先消未知数比较简单，

可先由式与式相得方程：，

再由式与式相得方程：，最后解二元二次方程组．

⑷ 解方程组 ${\begin{matrix} 3 x + y + 3 z = 14 \\ 2 x - 3 y - 2 z = - 2 \\ 2 y - z = 3 \end{matrix}$ 时，选择消元，将 $z = 2 y - 3$ 代入前两式，可化简得二元一次方程组：　．

题目SH-025-008难度 C · 综合

知识模块 09 · 原讲小节

解方程组

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知识讲解定义、性质与方法

⑴ ${\begin{matrix} 2 x - 3 y + z = 8 \\ 3 x - 2 y - z = 7 \\ x - 2 y = 5 \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} x - 2 y + z = 9 \\ 2 x + y + 3 z = 10 \\ 3 x + 2 y - 4 z = - 3 \end{matrix}$ ．

题目SH-025-009难度 C · 综合

知识模块 10 · 原讲小节

解下列方程组

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知识讲解定义、性质与方法

⑴ ${\begin{matrix} \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} \\ 5 x + 2 y - 3 z = 8 \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} 20 x : 15 y : 12 z = 4 : 5 : 2 \\ x + 2 y + 3 z = 123 \end{matrix}$ ．

题目SH-025-010难度 D · 提升

已知 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足方程组 ${\begin{matrix} x - 2 y + z = 0 \\ 7 x + 4 y - 5 z = 0 \end{matrix}$ ，且 $x y z \neq 0$ ，求 $\frac{x + y + z}{x - y + z}$ 的值．

写出一个以 ${\begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 \end{matrix}$ 为解的二元一次方程．

题目SH-025-011

解方程组： ${\begin{matrix} 4 x + y = 2 \\ 2 x - 3 y = 8 \end{matrix}$ ．

题目SH-025-012

解方程组： ${\begin{matrix} 7 x + 8 y = 38 \\ 8 x + 7 y = 37 \end{matrix}$ ．

题目SH-025-013

解方程组： ${\begin{matrix} 2 x + 4 y + 3 z = 9 \\ 3 x - 2 y + 5 z = 11 \\ 5 x - 6 y + 7 z = 13 \end{matrix}$ ．

题目SH-025-014

解方程组： ${\begin{matrix} 3 x + y + 2 z = 10 \\ 2 x + 3 y - z = 9 \\ x + y + z = 6 \end{matrix}$ ．

题目SH-025-015

解方程组： ${\begin{matrix} x : y = 1 : \frac{5}{3} \\ y : z = 5 : 6 \\ x + z = 27 \end{matrix}$ ．

题目SH-025-016

已知关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程 $y = k x + b$ 的解有 ${\begin{matrix} x = 3 \\ y = 4 \end{matrix}$ 和 ${\begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \end{matrix}$ ．

求⑴ $k$ ， $b$ 的值；⑵ 当 $x = 2$ 时， $y$ 的值；⑶ 当 $x$ 为何值时， $y = 3$ ？

题目SH-025-017

⑴ 方程 $2 x - 3 y = 5, x y = 3, x + \frac{3}{y} - 1, 3 x - y + 2 z = 0, x {}^{2}+ y = 6$ 中是二元一次方程的有（）

A．1个； B．2个； C．3个； D．4个．

⑵ 下列方程组中，是二元一次方程组的是（）

A． ${\begin{matrix} x - y = 1 \\ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 2 \end{matrix}$ ； B． ${\begin{matrix} x + y = 0 \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = \frac{1}{4} \end{matrix}$ ； C． ${\begin{matrix} 2 x - y = 2 \\ y - 7 z = 8 \end{matrix}$ ； D． ${\begin{matrix} x y = 1 \\ 3 x + y = 5 \end{matrix}$ ．

题目SH-025-018

若 $2 x^{m + n - 1} - 3 y^{m - n - 3} + 5 = 0$ 是关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程，则 $m =$ _________， $n =$ _________．
用适当的方法解方程组：

⑴ ${\begin{matrix} 2 x + 3 y = 3 \\ x + 2 y = 1 \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} y = 2 x - 5 \\ x + 3 y = - 1 \end{matrix}$ ；

⑶ ${\begin{matrix} 3 x - 2 y = 10 \\ 4 x - 3 y = 13 \end{matrix}$ ； ⑷ ${\begin{matrix} \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 2 \\ 0.4 x + 0.7 y = 2.8 \end{matrix}$ ．

题目SH-025-019

解方程组：

${\begin{matrix} \frac{2 (x - y)}{3} = \frac{x + y}{4} - 1 \\ 6 (x + y) = 4 (2 x - y) + 16 \end{matrix}$

题目SH-025-020

解方程组： ${\begin{matrix} 3 x - y + 3 z = 14 \\ 2 x + y - 4 z = - 1 \\ x + y + z = 6 \end{matrix}$ ．

题目SH-025-021

判断题：

⑴ 方程 $y = x$ 不是二元一次方程（）

⑵ 任何一个二元一次方程都有无数个解（）

题目SH-025-022

填空题：

⑴ 如果 ${\begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \end{matrix}$ 是二元一次方程 $2 a x - 3 y = 8$ 的一个解，那么 $a =$ ；

⑵ 如果 ${\begin{matrix} x = 3 \\ y = 1 \end{matrix}$ 是二元一次方程 $2 x - k y = 4$ 的一个解，那么 $k =$ ；

⑶ 如果方程组 ${\begin{matrix} x - 2 y = 0 \\ 2 x + m y = 8 \end{matrix}$ 有正整数解，那么整数 $m$ 的值为．

题目SH-025-023

选择题：

⑴ 下列方程组中，是二元一次方程组的为（）

A． ${\begin{matrix} 2 : x^{2} = 3 : y \\ 2 x + 3 y = 10 \end{matrix}$ ； B． ${\begin{matrix} y = 2 x - 3 \\ x y = 1 \end{matrix}$ ；

C． ${\begin{matrix} x + y = 5 \\ x - 2 y = - 4 \end{matrix}$ ； D． ${\begin{matrix} x + 2 y = 5 \\ y + z = 4 \end{matrix}$ ．

⑵ 二元一次方程 $2 x + 3 y = 14$ 的正整数解有（）

A． $1$ 个； B． $2$ 个；

C． $3$ 个； D．无数个．

⑶ 张亮在解方程组 ${\begin{matrix} 4 x + b y = 2 \\ c x - 7 y = 8 \end{matrix}$ 时，因看错了 $b$ ，结果解得 ${\begin{matrix} x = - 1 \\ y = 1 \end{matrix}$ ，那么下列结论中正确的是（）

A． $b \neq 6$ ， $c = - 15$ ； B． $b = 6$ ， $c = - 15$ ；

C． $b \neq 6$ ， $c \neq - 15$ ； D． $b = 6$ ， $c \neq - 15$ ．

题目SH-025-024

用合适方法解下列方程组：

⑴ ${\begin{matrix} 2 x + 3 y = 3 \\ x = - 2 y + 1 \end{matrix}$ ；⑵ ${\begin{matrix} y = 2 x - 5 \\ x + 3 y = - 1 \end{matrix}$ ；

⑶ ${\begin{matrix} 4 x - 3 y = 0 \\ 10 x + 9 y - 66 = 0 \end{matrix}$ ； ⑷ ${\begin{matrix} 3 x - 2 y = 10 \\ 4 x - 3 y = 13 \end{matrix}$ ；

⑸ ${\begin{matrix} x - 2 y + 5 = 0 \\ \frac{x - 2 y + 5}{5} - \frac{5 x + 2 y - 11}{6} = 0 \end{matrix}$ ； ⑹ ${\begin{matrix} 323 x + 457 y = 1103 \\ 177 x + 543 y = 897 \end{matrix}$ ．

⑴ 已知 $x y z \neq 0$ ， $\frac{x + 2 y}{3} = \frac{y + 3 z}{4} = \frac{z + 4 x}{5}$ ，那么 $x : y : z =$ ；

⑵ 解方程组： ${\begin{matrix} z = x + y \\ 2 x - 3 y + 5 z = 5 \\ 3 x + y - z = 2 \end{matrix}$ ．

题目SH-025-025

用合适方法解下列方程组：

⑴ ${\begin{matrix} 2 x + 3 y = 5 \\ 3 x - 2 y = 1 \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} 2 x - 5 y = 1 \\ 2 y - 5 x = 8 \end{matrix}$ ；

⑶ ${\begin{matrix} x - 4 y = 6 \\ 3 x + 2 y = 32 \end{matrix}$ ；⑷ ${\begin{matrix} 5 x - 3 y = - 7 \\ 6 x + 8 y = 9 \end{matrix}$ ；

⑸ ${\begin{matrix} 4 x + y = 5 \\ 3 x - 2 y = 1 \end{matrix}$ ； ⑹ ${\begin{matrix} x - 2 y = 6 \\ 3 x + 2 y = 10 \end{matrix}$ ；

⑺ ${\begin{matrix} x - 3 y - 5 = 0 \\ 3 x + 4 y - 2 = 0 \end{matrix}$ ； ⑻ ${\begin{matrix} 217 x + 314 y = 2 \\ 314 x + 217 y = 2 \end{matrix}$ ；

⑼ ${\begin{matrix} 4 (s + 2) = 1 - 5 t \\ 3 (t + 2) = 3 - 2 s \end{matrix}$ ； ⑽ ${\begin{matrix} \frac{2 x - 1}{2} + \frac{y - 2}{3} = \frac{1}{4} \\ \frac{2 x - 1}{4} - \frac{y - 2}{3} = \frac{1}{2} \end{matrix}$ ；

⑾ ${\begin{matrix} \frac{2 x}{3} + \frac{3 y}{4} = \frac{1}{2} \\ \frac{4 x}{5} + \frac{5 y}{6} = \frac{7}{15} \end{matrix}$ ； ⑿ ${\begin{matrix} 5 (x - 2 y) - 4 (x + 2 y) = - 1 \\ \frac{x - 2 y}{3} - \frac{x + 2 y}{2} = - 1 \end{matrix}$ ．

题目SH-025-026

解下列方程组：

⑴ ${\begin{matrix} 3 x + 2 y + 5 z = 2 \\ x - 2 y - z = 6 \\ 4 x + 2 y - 7 z = 30 \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} \frac{x - 4}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z + 2}{5} \\ x - 2 y + 3 z = 30 \end{matrix}$

题目SH-025-027

已知 ${\begin{matrix} 2 x + 5 y + 4 z = 6 \\ 3 x + y - 7 z = - 4 \end{matrix}$ ，

⑴ 求 $x + y - z$ 的值；

⑵ 若 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 为非负数，求 $2 x - 4 y + 5 z$ 的取值范围．