第10讲锐角三角比初步

知识模块 01 · 原讲小节

锐角三角比的定义

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

01

知识讲解定义、性质与方法

锐角 $A$ 的正弦、余弦、正切、余切统称为 $∠ A$ 的锐角三角比．
正弦（sine）： $R t △ A B C$ 中，锐角 $A$ 的对边与斜边的比叫做 $∠ A$ 的正弦，记作 $s i n A = \frac{a}{c}$ ；
余弦（cosine）： $R t △ A B C$ 中，锐角 $A$ 的邻边与斜边的比叫做 $∠ A$ 的余弦，记作 $c o s A = \frac{b}{c}$ ；
正切（tangent）： $R t △ A B C$ 中，锐角 $A$ 的对边与邻边的比叫做 $∠ A$ 的正切，记作 $t a n A = \frac{a}{b}$ ；
余切（cotangent）： $R t △ A B C$ 中，锐角 $A$ 的邻边与对边的比叫做 $∠ A$ 的余切，记作 $c o t A = \frac{b}{a}$ ．

TIPS①：在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，直角边 $B C$ 和 $A C$ 分别叫做 $∠ A$ 的对边和邻边．

TIPS②：在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ 、 $∠ B$ 、 $∠ C$ 的对边通常分别用 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 表示．

前铺

⑴ 已知 $s i n α = \frac{4}{5}$ ，求锐角 $α$ 的其它三角比．

⑵ 已知 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $t a n A = \frac{5}{12}$ ，求 $∠ B$ 的四个三角比．

⑴已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $B C = 2$ ，那么 $t a n B$ 的值等于（）

A． $\frac{2}{3}$ ； B． $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ； C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ； D． $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

⑵在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $B C = 10$ ，那么下列结论正确的是（）

（A） $t a n C = \frac{4}{3}$ ；（B） $c o t C = \frac{4}{5}$ ；

（C） $s i n C = \frac{3}{4}$ ；（D） $c o s C = \frac{4}{5}$ .

⑶在直角坐标平面内有一点 $A (12, 5)$ ，点 $A$ 与原点 $O$ 的连线与 $x$ 轴的正半轴的夹角为 $θ$ ，那么 $c o s θ =$ ________ .

⑴已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = α$ ， $A C = 2$ ，那么 $A B$ 的长等于（）

（A） $\frac{2}{s i n α}$ ；（B） $2 s i n α$ ；（C） $\frac{2}{c o s α}$ ；（D） $2 c o s α$ .

⑵已知在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 50 °$ ， $A B = 10$ ，那么 $B C$ 的长为________ .

（A） $10 c o s 50 °$ ；（B） $10 s i n 50 °$ ；

题目SH-125-001

（C） $10 t a n 50 °$ ；（D） $10 c o t 50 °$ .

⑶在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $C D$ 是高，如果 $A B = m$ ， $∠ A = α$ ，那么 $C D$ 的长为（）

（A） $m \cdot s i n α \cdot t a n α$ （B） $m \cdot s i n α \cdot c o s α$

（C） $m \cdot c o s α \cdot t a n α$ （D） $m \cdot c o s α \cdot c o t α$

⑴如图，己知在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 10$ ， $c o t B = \frac{1}{2}$ ，正方形 $D E F G$ 的顶点 $G$ 、 $F$ 分别在边 $A C$ 、 $B C$ 上，点 $D$ 、 $E$ 在斜边 $A B$ 上，那么正方形 $D E F G$ 的边长为________．

题目SH-125-002

⑵如图，正方形 $A B E F$ 和正方形 $B C D E$ 的边长相等，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在同一条直线上，联结 $A D$ 、 $B D$ ，那么 $c o t ∠ A D B$ 的值为________．

题目SH-125-003

⑶如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 是边 $A B$ 上一点，过 $D$ 作 $D F ⊥ A B$ 交边 $B C$ 于点 $E$ ，交 $A C$ 的延长线于点 $F$ ，联结 $A E$ ．如果 $t a n ∠ E A C = \frac{1}{3}$ ， $S_{△ C E F} = 1$ ，那么 $S_{△ A B C}$ 的值是（）

A． $3$ ； B． $6$ ； C． $9$ ； D． $12$ ．

知识模块 02 · 原讲小节

特殊锐角三角比

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01

知识讲解定义、性质与方法

三角比	$0 °$	$30 °$	$45 °$	$60 °$	$90 °$
$s i n A$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$c o s A$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$t a n A$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	不存在
$c o t A$	不存在	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$

题目SH-125-004

⑴计算： $3 | t a n 30 ° - 1 | + \frac{2}{c o t 30 ° - 1} - \frac{s i n^{2} 60 °}{c o s^{2} 45 °}$ ．

⑵计算： $2 c o s 60 ° - c o t 30 ° + \frac{4 s i n^{2} 45 °}{t a n 60 ° - 1}$ .

⑶计算： $c o s 3 0^{°} - 2 s i n^{2} 4 5^{°} + \frac{2}{2 s i n 6 0^{°} + t a n 4 5^{°}}$ .

⑷计算： $s i n 45 ° c o t 45 ° - t a n 60 ° + | 2 c o s 45 ° - c o t 30 ° |$ .

⑸如图，已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ．求 $t a n B s i n A + | 1 - c o s B | + \frac{t a n A}{4 t a n^{2} 30 °}$ 的值．

题目SH-125-005

⑴若 $α$ 是锐角， $s i n (α + 15 °) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，那么锐角 $α$ 等于 $($ 　　 $)$

A． $15 °$ B． $30 °$ C． $45 °$ D． $60 °$

⑵ 已知 $t a n \frac{α}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $s i n^{2} α + {(c o s \frac{α}{2})}^{2}$ 的值（其中 $α$ 为锐角）．

知识模块 03 · 原讲小节

锐角三角比的性质

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01

知识讲解定义、性质与方法

1、同角三角比关系： $s i n^{2} A + c o s^{2} A = 1$ ， $t a n A = \frac{s i n A}{c o s A}$ ， $t a n A \cdot c o t A = 1$ ．

2、互余角三角比关系：

⑴ 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值： $s i n A = c o s (90 ° - A)$ ；

⑵ 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值： $c o s A = s i n (90 ° - A)$ ；

⑶ 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值： $t a n A = c o t (90 ° - A)$ ；

⑷ 任意锐角的余切值等于它的余角的正切值： $c o t A = t a n (90 ° - A)$ ．

已知 $t a n α = \frac{4}{3}$ （ $0 < α < 90 °$ ），那么 $\frac{4 c o s α - 5 s i n α}{2 c o s α + 3 s i n α} =$ ________．

⑴已知 $α$ 为锐角，且 $2 s i n^{2} α - 5 c o s α + 1 = 0$ ，求 $α$ 的度数；

⑵已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是 $3 \frac{1}{3}$ ，则这个锐角的正切值为________．

知识模块 04 · 原讲小节

锐角三角比的取值范围

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01

知识讲解定义、性质与方法

在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $a > 0 ， b > 0 ， c > 0 ， a < c ， b < c$ ，又 $s i n A = \frac{a}{c}$ ， $c o s A = \frac{b}{c}$ ， $t a n A = \frac{a}{b}$ ，

$c o t A = \frac{b}{a}$ ，所以 $0 < s i n A < 1 ， 0 < c o s A < 1 ， t a n A > 0 ， c o t A > 0$ ．

锐角的正弦值和正切值随角度的增大而增大，余弦值和余切值随角度的增大而减小．

题目SH-125-006

比较大小(在空格处填写“ $>$ ”、“ $<$ ”或“ $=$ ”号)

⑴ $s i n 60 °$ ________ $s i n 30 °$ ⑵ $c o s 45 °$ ________ $c o s 60 °$

⑶ $t a n 20 °$ ________ $c o t 70 °$ ⑷ $s i n 60 °$ ________ $s i n 50 °$

⑸ $t a n 70 °$ ________ $c o t 40 °$ ⑹ $s i n 80 °$ ________ $t a n 50 °$

⑺ 若 $α = 45 °$ ，则 $s i n α$ ________ $c o s α$ ；

若 $0 ° < α < 45 °$ ，则 $s i n α$ ________ $c o s α$ ；

若 $45 ° < α < 90 °$ ，则 $s i n α$ ________ $c o s α$ ．

⑴【 $2017$ 静安】如果锐角 $α$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，那么下列结论中正确的是（）

A． $α = 30 °$ B． $α = 45 °$ C． $30 ° < α < 45 °$ $D$ ． $45 ° < α < 60 °$

题目SH-125-007

⑵【 $2021$ 静安】如果锐角 $α$ 的正切值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，那么下列结论中正确的是（）

（A） $α = 30 °$ （B） $α = 60 °$ （C） $30 ° < α < 45 °$ （D） $45 ° < α < 60 °$

【 $2021$ 虹口】

如图，图中提供了一种求 $c o t 15 °$ 的方法．作 $R t △ A B C$ ，使 $∠ C = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，再延长 $C B$ 到点 $D$ ，使 $B D = B A$ ，联结 $A D$ ，即可得 $∠ D = 15 °$ ．如果设 $A C = t$ ，则可得 $C D = (2 + \sqrt{3}) t$ ，

那么 $c o t 15 ° = c o t D = \frac{C D}{A C} = 2 + \sqrt{3}$ ．请参考此方法，求出 $15 °$ 的三角比．

知识模块 05 · 原讲小节

附上常见角的三角比

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题目SH-125-008

评定： $lALPDgQ9rN7UgP_M2s0Eaw_1131_218$

Com]

$R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，已知 $c o t A = \frac{3}{4}$ ，求 $(s i n B + c o s B) \cdot t a n B$ 的值．

菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 的长为 $10$ ，菱形面积为 $30$ ，求 $t a n \frac{∠ A B C}{2}$ 的值．

⑴计算： $s i n^{2} 45 ° + c o t 30 ° \cdot t a n 60 °$

⑵计算： $3 s i n 60 ° - 2 c o s 30 ° - t a n 60 ° \cdot c o t 45 °$ ；

⑶计算： $\frac{c o t 45 °}{t a n 60 ° - 2 s i n 45 °} - c o s 30 ° + {(2017 - π)}^{0}$ ；

⑷计算： $\frac{2 s i n 30 °}{4 c o s 60 ° - 1} + \frac{1}{s i n 45 ° \cdot c o s 30 °} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot c o s 45 ° + t a n 15 ° \cdot t a n 75 °$ ；

在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$

⑴ 若 $a = \sqrt{6}$ ， $b = \sqrt{2}$ ，那么 $∠ B =$ ________；

⑵ 如果 $s i n A = c o s 60 °$ ，那么 $t a n B =$ ________．

⑴ 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，如果 $s i n A = \frac{1}{3}$ ， $A B = 6$ ，那么 $B C =$ ________．

题目SH-125-009

⑵ 在 $△ A B C$ 中，若 $c o s A = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $t a n B = \sqrt{3}$ ，则这个三角形一定是（）．

A．直角三角形；　 B．等腰三角形；　 C．钝角三角形；　D．锐角三角形．

将 $□ A B C D$ （如图）绕点 $A$ 旋转后，点 $D$ 落在边 $A B$ 上的点 $D'$ ，点 $C$ 落到 $C'$ ，且点 $C'$ 、 $B$ 、 $C$ 在一直线上，如果 $A B = 13$ ， $A D = 3$ ，那么 $∠ A$ 是余弦值为________．

题目SH-125-010

已知 $α$ 为锐角， $s i n α - c o s α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $s i n α + c o s α =$ ________．

∵ $s i n α - c o s α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，

∴ ${(s i n α - c o s α)}^{2} = s i n^{2} α + c o s^{2} α - 2 s i n α c o s α = 1 - 2 s i n α c o s α = \frac{1}{2}$ ，

∴ $2 s i n α c o s α = \frac{1}{2}$ ，

∵ $α$ 为锐角，∴ $s i n α + c o s α > 0$

∴ $s i n α + c o s α = \sqrt{{(s i n α + c o s α)}^{2}} = \sqrt{1 + 2 s i n α c o s α} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

⑴ 若锐角 $A$ 满足 $t a n A + c o t A = 3$ ，则 $t a n^{2} A + c o t^{2} A =$ ________； $t a n^{3} A + c o t^{3} A =$ ________；

⑵ 化简 $\sqrt{t a n^{2} 40 ° + t a n^{2} 50 ° - 2}$ 的结果是________．

化简 $| 1 - c o t α | + | \sqrt{3} - c o t α |$ $(0 < α < 90 °)$

已知 $t a n α = \sqrt{2}$ ，求 $s i n^{2} α + 2 s i n α c o s α + 3 c o s^{2} α$ 的值．