代数4-整式、分式、因式分解 · 第 039 讲

第16讲因式分解二（配方、拆添项）

11 道题2 个知识模块答案解析精校中

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知识模块 01 · 原讲小节

拆项与添项

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

拆添项

一、拆项与添项：

拆项：把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项，如 $a^{2} = 3 a^{2} - 2 a^{2}$ ；

添项：在代数式中添上两个相反项，叫做添项，如 $a^{2} + 1 = a^{2} + 2 a - 2 a + 1$ .

拆项和添项都是代数式的恒等变形.

在对所给多项式直接分组难以进行因式分解时，常常可以通过拆项或添项的变形，创造出因式分解的条件，如能提取公因式或运用乘法公式，使原式的某些项之间能够建立起联系，便于采用分组法进行因式分解.

这种通过拆项或添项来进行因式分解的方法，形式多样，技巧性较灵活，因此具有一定的难度，需要同学们通过多做练习来掌握.

题目SH-039-001难度 B · 巩固

分解因式： $a^{3} - 4 a + 3$

（法一）拆常数项：

原式 $= (a^{3} - 1) - (4 a - 4) = (a - 1) (a^{2} + a + 1) - 4 (a - 1) = (a - 1) (a^{2} + a - 3)$

（法二）拆一次项：

原式 $= (a^{3} - a) + (- 3 a + 3) = a (a^{2} - 1) - 3 (a - 1) = a (a - 1) (a + 1) - 3 (a - 1)$

$= (a - 1) (a^{2} + a - 3)$

（法三）拆三次项：

原式 $= (4 a^{3} - 4 a) - (3 a^{3} - 3) = 4 a (a + 1) (a - 1) - 3 (a - 1) (a^{2} + a + 1)$

$= (a - 1) [4 a (a + 1) - 3 (a^{2} + a + 1)] = (a - 1) (a^{2} + a - 3)$

（法四）添二次项：

原式 $= (a^{3} - a^{2}) + (a^{2} - 4 a + 3) = a^{2} (a - 1) + (a - 1) (a - 3) = (a - 1) (a^{2} + a - 3)$

题目SH-039-002难度 B · 巩固

分解因式： $x^{3} - 8 x + 7$

题目SH-039-003难度 C · 综合

⑴用拆添项分解因式 $x^{3} + x - 2$ ，那么下列拆添项方法无效的是（）

A. $(x^{3} - x^{2}) + (x^{2} + x - 2)$ B. $(x^{3} - x) + (2 x - 2)$

C. $(x^{3} - 1) + (x - 1)$ D. $(x^{3} - 2 x) + (x - 2)$

⑵用拆添项分解因式 $y^{3} + 2 y - 12$ ，那么下列拆添项方法无效的是（）

A. $(y^{3} - 6) + (2 y - 6)$ B. $(y^{3} - 8) + (2 y - 4)$

C. $(y^{3} - 4 y) + (6 y - 12)$ D. $(y^{3} - 2 y^{2}) + (2 y^{2} + 2 y - 12)$

题目SH-039-004难度 C · 综合

分解因式：

⑴ $x^{4} + 2020 x^{2} + 2019 x + 2020$

⑵ $x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - 4 x - 4$

题目SH-039-005难度 C · 综合

分解因式：

⑴ $x^{4} - x - 14$

⑵ $x^{3} + x^{2} - 36$

题目SH-039-006难度 D · 提升

分解因式： $x^{5} + x + 1$

知识模块 02 · 原讲小节

配方法

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

⑴定义：在代数式中，利用添项的方法，将原多项式配上某些需要的缺项，使添项后的多项式的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．

⑵方法：配方主要是配中项 $2 a b$ ，或配一个平方项 $b^{2}$ （或 $a^{2}$ ）．如何配方依赖于对题目特点的观察和分析．

应用配方法进行因式分解时，常将多项式配成平方差公式 $A^{2} - B^{2}$ 的形式，使多项式可分解为 $(A - B) (A + B)$ 的形式．

题目SH-039-007难度 A · 基础

分解因式： $x^{4} + x^{2} + 1$

题目SH-039-008难度 B · 巩固

分解因式：

⑴ $x^{4} + 4 y^{4}$

⑵ $x^{4} + 5 x^{2} + 9$

⑶ $a^{4} - 23 a^{2} b^{2} + b^{4}$

题目SH-039-009难度 C · 综合

分解因式： $a^{4} + b^{4} + c^{4} - 2 a^{2} b^{2} - 2 b^{2} c^{2} - 2 c^{2} a^{2}$

题目SH-039-010难度 D · 提升

分解因式：

⑴ $x^{4} + 7 x^{3} + 14 x^{2} + 7 x + 1$ ⑵ $4 x^{4} + 4 x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 4$

因式分解： $a^{3} + a^{2} + 4$

观察下列因式分解的过程：

$x^{4} + 4 = x^{4} + 4 x^{2} + 4 - 4 x^{2} = (x^{2} + 2)^{2} - 4 x^{2} = (x^{2} + 2 + 2 x) (x^{2} + 2 - 2 x)$

请用上述方法分解下列因式：

⑴ $x^{4} + 64$

⑵ $x^{4} + x^{2} + 1$

因式分解： $x^{8} + x^{4} + 1$

分解因式：

⑴ $x^{3} - 3 x + 2$

⑵ $x^{3} + x^{2} - 12$

⑶ $2 x^{3} - 3 x + 1$

分解因式：

⑴ $x^{3} + 2020 x^{2} + 2020 x + 2019$

⑵ $x^{4} - 6 x^{2} - 7 x - 6$

分解因式：

⑴ $x^{4} + \frac{1}{4} y^{4}$

⑵ $x^{4} - x^{2} y^{2} + 16 y^{4}$

⑶ $x^{4} - 20 x^{2} + 4$

分解因式： $x^{4} + y^{4} + 1 - 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} - 2 y^{2}$
分解因式： $x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + x + 1$

题目SH-039-011

分解因式： $x^{3} - 9 x + 8$
分解因式： $x^{9} + x^{6} + x^{3} - 3$
分解因式： $4 x^{4} y^{4} + 1$
分解因式： $a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4}$
已知 $n$ 是正整数，且 $n^{4} - 16 n^{2} + 100$ 是质数，那么 $n =$ _______.

分解因式： $x^{3} + 3 x^{2} - 4$
分解因式： $x^{4} - 3 x^{2} + 1$
分解因式： $a^{4} + 2 a^{3} b + 3 a^{2} b^{2} + 2 a b^{3} + b^{4}$
分解因式： $x^{2} + {(x + 1)}^{2} + x^{2} {(x + 1)}^{2}$
分解因式： $x^{8} + x + 1$

分解因式： $x^{3} - 2020 x + 2019$
分解因式： $x^{3} + 3 x^{2} + 50$
分解因式： $x^{3} + 2 x^{2} - 11 x - 12$
分解因式： $x^{4} - 7 x^{2} y^{2} + 81 y^{4}$
分解因式： $t^{2} - 2 (m + n) t - m n (n + 2) (m - 2)$