第11讲 解直角三角形初步

⑵在$△ABC$中，如果$sinA=\frac{1}{2}$，$cotB=\frac{\sqrt{3}}{3}$，那么这个三角形一定是（）

（A）等腰三角形 （B）锐角三角形： （C）钝角三角形： （D）直角三角形．

⑴ 如图，在$2\times 2$的网格中，以顶点$O$为圆心，以$2$个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点$A$，则$tan\angle ABO=$________．

⑵ 已知等腰直角三角形$ABC$中，$\angle C=90°$，点$D$在直线$BC$上，且$BD=AB$，求$\angle ADB$的余切值．

⑶【$2020$徐汇】如图，在$△ABC$中，点$D$在边$BC$上，$AD\perp AC$，$\angle BAD＝\angle C$，$BD＝2$，$CD＝6$，那么$tanC\text{=}$________．

⑴如图，点$P$在线段$BC$上，$AB\perp BC$，$DP\perp AP$，$CD\perp DP$，如果$BC=10$，$AB=2$，$tanC=\frac{1}{2}$，那么$DP$的长是________.

⑵新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形．如图，已知在对余四边形$ABCD$中，$AB=10$，$BC=12$，$CD=5$，$tanB=\frac{3}{4}$，那么边$AD$的长为________．

⑶如图，在$△ABC$中，$BC$上的一点$D$在边$AB$的垂直平分钱上，$A{B}^2=BD\cdot BC$.如果$AB=2\sqrt{10}$，$BC=10$，则$cos\angle ADC$的值为________.

⑶如图，小明在教学楼$AB$的楼顶$A$测得：对面实验大楼$CD$的顶端$C$的仰角为$\alpha$，底部$D$的俯角为$\beta$ . 如果教学楼$AB$的高度为$m$米，那么两栋教学楼的高度差$CH$为________米．

【$2021$黄浦】

如图，是小明家房屋的纵截面图，其中线段$AB$为屋内地面，线段$AE$、$BC$为房屋两侧的墙，线段$CD$、$DE$为屋顶的斜坡．已知$AB=6$米，$AE=BC=3.2$米，斜坡$CD$、$DE$的坡比均为$1:2$．

⑴求屋顶点$D$到地面$AB$的距离；

⑵已知在墙$AE$距离地面$1.1$米处装有窗$ST$，如果阳光与地面的夹角$\angle MNP=\beta =53°$，为了防止阳光通过窗$ST$照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙$AE$端点$E$处安装一个旋转式遮阳棚（如图中线段$EF)$，公司设计的遮阳棚可作$90°$旋转，即$0°<\angle FET=\alpha \le 90°$，长度为$1.4$米，即$EF=1.4$米．试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求？说说你的理由．（参考数据：$\sqrt{2}\approx 1.41$，$\sqrt{3}\approx 1.73$，$\sqrt{5}\approx 2.24$，$\sqrt{10}\approx 3.16$，$sin53°=0.8$，$cos53°=0.6$，$tan53°=\frac{4}{3})$．

【$2021$奉贤】

如图$1$是一个手机的支架，由底座、连杆$AB$、$BC$、$CD$和托架组成（连杆$AB$、$BC$、$CD$始终在同一平面内），连杆$AB$垂直于底座且长度为$8.8$厘米，连杆$BC$的长度为$10$厘米，连杆$CD$的长度可以进行伸缩调整．

⑴如图$2$，当连杆$AB$、$BC$在一条直线上，且连杆$CD$的长度为$9.2$厘米，$\angle BCD=143°$时，求点$D$到底座的高度（计算结果保留一位小数）．

⑵如图$3$，如果$\angle BCD=143°$保持不变，转动连杆$BC$，使得$\angle ABC=150°$，假如$AD\parallel BC$时为最佳视线状态，求最佳视线状态时连杆$CD$的长度（计算结果保留一位小数）．

（参考数据：$sin53°\approx 0.80$，$cos53°\approx 0.60$，$cot53°\approx 0.75)$

【$2021$长宁】

某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门.如图为该“测温门”截面示意图.身高$1.6$米的小聪做了如下实验：当他在地面$M$处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头$B$处测得$A$的仰角为$30°$；当他在地面$N$处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头$C$处测得$A$的仰角为$53°$.如果测得小聪的有效测温区间$MN$的长度是$0.98$米，求测温门顶部$A$处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，$sin53°\approx 0.8$，$cos53°\approx 0.6$，$cot53°\approx 0.75$，$\sqrt{3}\approx 1.73$.）

如图，锐角$△ABC$中，$AB=AC$，$sinA=\frac{3}{5}$，$BC=5$．⑴ 求$tanB$的值；⑵ 求$AB$的长．

如图，某人在山坡坡脚$A$处测得电视塔尖点$C$的仰角为$60°$，沿山坡向上走到$P$处再测得点$C$的仰角为$45°$，已知$OA=100$米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）$i=1:2$，且$O$、$A$、$B$在同一条直线上．求电视塔$OC$的高度以及此人所在位置点$P$的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）

$Rt△ABC$中，$\angle C=90°$，$S_{△ABC}=\frac{m}{2}$，且两条直角边长满足条件$3a+2b=m$，当$m$取最小值时，求$\Delta ABC$中最小内角的正切值．

如图，$AB=6$，$BC=8$，$BD=4$，$sinB:sinC=2:3$，$S_{\Delta BDE}:S_{\Delta ABC}=1:6$，求$DE$．

如图，拦水坝的横断面为梯形$ABCD$，坝顶宽$AD=5$米，斜坡$AB$的坡度$i=1:3$（指坡面的铅直高度$AE$与水平宽度$BE$的比），斜坡$DC$的坡度$i=1:1.5$，已知该拦水坝的高为$6$米．

⑴ 求斜坡$AB$的长；

⑵ 求拦水坝的横断面梯形$ABCD$的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）