几何1-几何初步 · 第 092 讲

第10讲命题与证明

19 道题5 个知识模块答案解析精校中

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知识模块 01 · 原讲小节

综合练习

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题目SH-092-001

如图，已知 $△ A B C$ ，求证： $△ A B C$ 的角平分线交于一点．

题目SH-092-002

如图，已知 $△ A B C$ ， $B D$ 和 $C E$ 分别为 $A B$ 和 $A C$ 的延长线．

求证： $∠ B A C 、 ∠ D B C 、 ∠ B C E$ 的角平分线交于一点．

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命题与证明

知识模块 02 · 原讲小节

定义

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知识讲解定义、性质与方法

能说明一个名词的含义，能界定某一个对象含义的句子叫做定义．

例如角的平分线定义：以一个角的顶点为端点，将这个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线．

命题

命题的定义：判断一件事情的句子叫做命题．
数学命题：通常由题设、结论两部分组成．

题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．

这样的命题可以写成“如果……，那么……”的形式，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论；

真假命题

其判断为正确的命题叫做真命题；
其判断为错误的命题叫做假命题．

逆命题与否命题

在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．

在两个命题中，如果第一个命题的题设与结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题．

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的否命题．

注意

如果用

α

和

β

分别表示原命题的条件和结论，用

\bar{α}

和

\bar{β}

分别表示

α

和

β

的否定，

那么四种命题的形式就是：

原命题：如果 $α$ ，那么 $β$ ；

否命题：如果 $\bar{α}$ ，那么 $\bar{β}$ ；命题的否定：如果 $α$ ，那么 $\bar{β}$ ；

逆命题：如果 $β$ ，那么 $α$ ；逆否命题：如果 $\bar{β}$ ，那么 $\bar{α}$ ；

注意

命题的否定就是对原命题的结论进行否定．

四者相互关系如图所示．

公理

人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其它命题真假的原始依据．
严格意义的几何公理，其正确性不需证明，也不能证明．
等量公理：
公理 $1$ ：等于第三个量的两个的量相等．
公理 $2$ ：等量加上等量，它们的和相等．
公理 $3$ ：等量减去等量，它们的差相等．
公理 $4$ ：等量乘以等量，它们的积相等．
公理 $5$ ：等量除以等数（不为 $0$ ），它们的商相等．
公理 $6$ ：全量等于它的各部分的和．
公理 $7$ ：在等式中，一个量可以用它的等量来代替（简称等量

题目SH-092-003

代换）．

欧式几何中的五大公设：
公设 $1$ ：任意一点到另外任意一点可以画直线．
公设 $2$ ：一条有限线段可以继续延长．
公设 $3$ ：以任意点为心及任意的距离可以画圆．
公设 $4$ ：凡直角都彼此相等．
公设 $5$ ：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧

的两个内角和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交．

知识模块 03 · 原讲小节

定理

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知识讲解定义、性质与方法

有些命题是从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．
如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理．
常见定理与逆定理

中垂线

定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线．

知识模块 04 · 原讲小节

角平分线定理

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知识讲解定义、性质与方法

定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的

平分线上．

题目SH-092-004难度 A · 基础

⑴下列语句是命题是（）

$A$ ．我真希望我们国家今年不要再发生自然灾害了

$B$ ．多么希望国际金融危机早日结束啊

$C$ ．钓鱼岛自古就是我国领土不容许别国霸占

$D$ ．你知道如何预防“ $H 1 N 1$ ”流感吗

⑵以下命题中假命题的个数是______________

① 一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等；

②有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等；

③有一边相等的两个等腰三角形全等．

④若根式 $\sqrt{2 x + 2}$ 和 $\sqrt{3 x - 1}$ 是同类二次根式，则 $x = 3$ ．

$A$ ． $1$ $B$ ． $2$ $C$ ． $3$ $D$ ． $4$

⑶下列命题中，真命题是（）

$A$ ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等；

$B$ ．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等；

$C$ ．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；

$D$ ．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．

题目SH-092-005难度 A · 基础

数学命题通常由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．这样的命题可以写成“如果……，那么……”的形式．指出该命题的题设和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式．

⑴将命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果…那么…”的形式：．

⑵将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式：．

⑶将命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果…那么…”的形式：．

题目SH-092-006难度 B · 巩固

⑴已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”，写出它的逆命题

．

⑵请写出以下命题的逆命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．逆命题：．

⑶写出下列命题的逆命题，并判断他们的逆命题是真命题还是假命题．

①若 $a$ 、 $b$ 都是奇数，则 $a + b$ 是偶数．

②在三角形中有两个角是锐角，则另一个角一定是钝角．

③绝对值相等的两个数互为相反数．

④质数都是奇数．

题目SH-092-007难度 B · 巩固

先写出下述所有命题的否命题，然后写出最后三个命题的否定：

⑴面积相等的三角形是全等三角形；

⑵末尾数是 $0$ 或 $5$ 的整数，能被 $5$ 整除；

⑶菱形的对角线互相垂直；

⑷若 $x^{2} + y^{2} = 0$ ，则 $x$ ， $y$ 全为零；

⑸若 $a b c = 0$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 中至少有一个为零；

⑹若一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角都为锐角；

题目SH-092-008难度 B · 巩固

对于一些常见命题，通常可以改为一道几何证明题．例如命题：两条平行线之间的距离处处相等．可改为：

如图，已知： $l_{1} / / l_{2}$ ， $A$ 、 $B$ 是直线 $l_{1}$ 上任意两点，且 $A C ⊥ l_{2}$ ， $B D ⊥ l_{2}$ ．

求证： $A C = B D$ ．

根据下列命题，请画出几何图形，并写出“已知”和“求证”．

⑴在直角三角形中 $3 0^{\circ}$ 角所对的直角边等于斜边的一半．

⑵在三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

题目SH-092-009难度 C · 综合

如图，已知：在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 是 $A B$ 上一点，延长 $A C$ 到 $E$ 使 $E C = B D$ ，联结 $D E$ 交 $B C$ 于 $F$ ，求证： $D F = E F$ ．

【方法一】证明：过点 $D$ 作 $D G / / A E$ ，交 $B C$ 于 $G$ ，
$\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} A B = A C \\ \Rightarrow \\ ∠_______= ∠_______ \end{matrix} \\ \begin{matrix} D G / / A E \\ \Rightarrow \\ ∠_______= ∠_______ \end{matrix} \end{matrix}} \\ \Rightarrow \\ ∠_______= ∠_______ \end{matrix}$
$\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \Rightarrow \\ _______=_______ \end{matrix} \\ B D = E C \end{matrix}} \\ \Rightarrow \\ _______=_______ \end{matrix}$ ，
从而为证明 $Δ D G F ≌ Δ E C F$ （ $A . A . S$ ）创造了条件．

【方法二】证明：过点 $E$ 作 $E G / / A B$ ，交 $B C$ 的延长线于 $G$ ，

$\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} E G / / A B \\ \Rightarrow \\ ∠_______= ∠_______ \end{matrix} \\ \begin{matrix} A B = A C \\ \Rightarrow \\ ∠_______= ∠_______ \end{matrix} \end{matrix}} \\ \Rightarrow \\ ∠_______= ∠_______ \end{matrix} \\ ∠_______= ∠_______ \end{matrix}}$
$\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \Rightarrow \\ ∠_______= ∠_______ \\ \Rightarrow \\ _______=_______ \end{matrix} \\ B D = E C \end{matrix}} \\ \Rightarrow \\ B D = E G \end{matrix}$ ，
从而为证明 $Δ B D F ≌ Δ G E F$ （ $A . S . A$ 或 $A . A . S$ ）创造了条件．

【方法三】证明：过点 $E$ 作 $E G ⊥ B C$ ，交 $B C$ 的延长线于 $G$ ，过点 $D$ 作 $D H ⊥ B C$ 于 $H$ ，

交 $B C$ 于 $H$ ；

证明 $Δ B D H ≌ Δ C E G$ 的三个条件是：
$∠ B = ∠_______$ ； $∠ B H D = ∠_______= 9 0^{\circ}$ ， $B D =_______$ ，

由此可得， $D H =_______$ ，
从而为证明 $Δ D F H ≌ Δ E F G$ 创造了条件．

【方法四】过点 $D$ 作 $D G \underline{\underline{/ /}} B C$ （“ $\underline{\underline{/ /}}$ ”读作平行且相等），联结 $F G$ 、 $C G$ ；所以 $B D \underline{\underline{/ /}} C G$ ；

先证 $Δ C E F ≌ Δ C G F$ ：
$\begin{matrix} \begin{matrix} B D = C G \\ B D = E C \end{matrix}} \\ \Rightarrow \\ _______=_______ \end{matrix}$ ．
$\begin{matrix} ∠ E C F + ∠ A C B =_______^{\circ} \\ \begin{matrix} B D / / C G \\ \Rightarrow \\ ∠ B + ∠ A C B + ∠ A C G =_______^{\circ} \end{matrix} \end{matrix}}$
$\begin{matrix} \begin{matrix} \Rightarrow \\ ∠ B + ∠ A C B + ∠ A C G = ∠ E C F + ∠ A C B \end{matrix} \\ ∠ A C B + ∠ A C G = ∠ G C F \\ \begin{matrix} A B = A C \\ \Rightarrow \\ ∠ B = ∠ A C B \end{matrix} \end{matrix}}$
$\begin{matrix} \Rightarrow \\ ∠ E C F + ∠ A C B = ∠ A C B + ∠ G C F \\ \Rightarrow \\ ∠ E C F = ∠ G C F \end{matrix}$
因为 $C F = C F$ （公共边）
所以 $Δ C E F ≌ Δ C G F$ （ $_______$ ）

轨迹

知识模块 05 · 原讲小节

定义

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知识讲解定义、性质与方法

合乎某条件的点的集合叫做合乎某条件的点的轨迹．
某图形为合乎某条件的点的轨迹必须满足：

合乎某条件的任意一点都在图形上；
图形上任意一点都合乎某条件．

三个基本轨迹

到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；
在一个角的内部（包括顶点），且到这个角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
到一个定点距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆．

交轨法（轨迹交截法）

利用轨迹的相交来解题的方法．

在解作图题时，如果要确定某一个点的位置，这个点的位置由两个条件所确定，可以暂时放弃这个点满足的条件之一．这样，满足另一个条件的点，由于位置不定，形成一个轨迹．同样，暂时放弃这个点满足的另一个条件，也形成一个轨迹．这两个轨迹的交点同事满足两个条件，即为所求作的点．

题目SH-092-010难度 A · 基础

某城市要在新竣工的长方形广场上修建一个音乐喷泉．要求音乐喷泉 $M$ 到广场的两个入口 $A$ 、 $B$ 的距离相等，且到广场管理处 $C$ 的距离等于 $A$ 和 $B$ 之间距离的一半． $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的位置如图所示，请用直尺（无刻度）和圆规作出音乐喷泉 $M$ 的位置，（要求保留作图痕迹，不必写出做法）．

题目SH-092-011难度 B · 巩固

题目SH-092-012

如图，已知 $∠ A O B$ 内有一点 $C$ ．

求作：点 $P$ ,使 $P C = P O$ ，且点 $P$ 到 $∠ A O B$ 的两边 $O A$ 、 $O B$ 的距离相等．

题目SH-092-013

如图，已知 $∠ A O B$ 外有一点 $C$ 、 $D$ 两点，

求作：点 $P$ ,使 $P A = P B$ ，且点 $P$ 到直线 $O C$ 、 $O D$ 的距离相等．

题目SH-092-014难度 C · 综合

如图，有一条长度为 $1$ 的线段 $E F$ ，其端点 $E$ 、 $F$ 在边长为 $3$ 的正方形 $A B C D$ 的四边上滑动一周时，求 $E F$ 的中点 $M$ 所形成的轨迹的长．

⑴下列语句中，称为命题的是（）．

$A .$ 把 $Δ A B C$ 沿 $A B$ 边翻折

$B .$ 经过直线外一点画这条直线的平行线

$C .$ 等角的补角相等

$D .$ 经过两点画一条直线

⑵ 下列命题中，是真命题的是（）．

$A .$ 相等的角是对顶角

$B .$ 如果两个角是同旁内角，那么这两个角的角平分线互相垂直

$C .$ 到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上

$D .$ 面积相等的两个三角形必定全等

⑶ 下列命题中，（）是假命题．

$A .$ 同角的余角相等

$B .$ 周长相等的两个三角形全等

$C .$ 两个三角形全等，那么它们的周长一定相等

$D .$ 有一个角等于 $60 °$ 的等腰三角形是等边三角形

⑷下列命题是假命题的是（）

$A$ ．两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等

$B$ ．一条直角边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等

$C$ ．一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等

$D$ ．一条直角边及斜边对应相等的两个直角三角形全等

题目SH-092-015

⑴下列命题中，（）的逆命题是假命题．

$A .$ 直角三角形的两个锐角互余

$B .$ 两个内角相等的三角形是等腰三角形

$C .$ 两直线平行，同位角相等

$D .$ 如果两个角互余，那么这两个角都是锐角

⑵下列命题中，逆命题是真命题的是（）

$A$ ．对顶角相等

$B$ ．全等三角形的对应角相等

$C$ ．若 $b^{2} - 4 a c < 0$ ，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 没有实数根

$D$ ．若 $a = b$ ，则 $| a | = | b |$

题目SH-092-016

下列定理中没有逆定理的是（）．

$A .$ 同旁内角互补，两直线平行

$B .$ 直角三角形两个锐角互余

$C .$ 如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等

$D .$ 等腰三角形两腰上的高相等

写出下列命题的题设与结论．并写出它们的逆命题．

⑴ 等底等高的两个三角形，面积相等．

题设，结论，逆命题．

⑵ 等腰三角形两底角的平分线相等.

题设，结论，逆命题．

题目SH-092-017

原命题：等腰三角形顶角的外角平分线平行于底边．
逆命题： $__________________________________________________$
判断这个逆命题是否为真命题，并说明理由．
如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B = 30 °$ ．

⑴在 $B C$ 边上求作一点 $N$ ，使得 $A N = B N$ （不要求写作法，但要保留作图痕迹）

⑵在⑴的条件下，求证： $C N = 2 B N$ ．

有下列四个命题：

① “若 $x + y = 0$ ，则 $x$ ， $y$ 互为相反数”的逆命题

② “两直线平行，内错角相等”的逆命题

③ “若 $x \leq - 3$ ，则 $x^{2} + x - 6 ＞ 0$ ”的否命题

④ “若 $a$ ， $b$ 是有理数，则 $a^{b}$ 是有理数”的逆命题

其中真命题的个数是（）

$A .$ $0$ $B .$ $1$ $C .$ $2$ $D .$ $3$

题目SH-092-018

证明下列命题是假命题．
⑴有三个角对应相等的两个三角形全等．
⑵有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形全等．
写出下列命题的逆命题．
⑴若 $∠ α$ 和 $∠ β$ 互补， $∠ α$ 是锐角，则 $∠ β$ 是钝角．

⑵若 $a$ 是有理数， $b$ 是无理数，则 $a b$ 是无理数．

题目SH-092-019

⑴ 求证：等腰三角形底边上的任意一点，到两腰的距离之和等于定长．

⑵ 如果这个点在底边延长线上，你可以得到什么结论？给出你得出的命题，并证明．

⑶ 如果将⑴中等腰三角形推广为更特殊的等边三角形，你能得到更强的结论吗？给出你推广的命题，并证明．